Inferenza statistica: intervalli di fiducia (confidenza)

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1 Università degli Studi di Padova Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Statistica Medica per le Scuole di Specializzazione A.A Modulo 1 Inferenza statistica: intervalli di fiducia (confidenza) Anna Chiara Frigo Aula A sede di Igiene 25 maggio 2010

2 dott. Frigo Anna Chiara Dipartimento di Medicina Ambientale e Sanità Pubblica - Sede di Igiene Facoltà di Medicina e Chirurgia via Loredan, Padova tel. 049/ annachiara.frigo@unipd.it

3 Testi consigliati: M. Pagano, K. Gauvreau Biostatistica II edizione II Edizione italiana a cura di I.F. Angelillo, M. Pavia, P. Villari, G. Di Natale. Ed. Idelson-Gnocchi, 2003

4 Una particolare funzione della statistica è questa: permettere al ricercatore di fare una valutazione numerica dell incertezza della sua conclusione Snedecor (1950)

5 Il fattore di rischio X è associato alla patologia Y? POPOLAZIONE SELEZIONE DEI SOGGETTI CAMPIONE INFERENZA Dal campione calcoliamo una stima dell effetto di X su Y (es. RR RR se studio longitudinale) L effetto è reale? Il caso può aver giocato un ruolo?

6 Perché preoccuparsi del caso? POPOLAZIONE CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 CAMPIONE K Perché c è la variabilità campionaria e il campione estratto è uno solo!

7 Interpretazione dei risultati POPOLAZIONE SELEZIONE DEI SOGGETTI CAMPIONE INFERENZA Produrre inferenza dai dati raccolti utilizzando i teoremi del calcolo delle probabilità e della statistica Intervalli di fiducia Verifica di ipotesi (valore di p)

8 Metodi di campionamento Probabilistici Ciascuna unità della popolazione ha la stessa probabilità di essere inclusa nel campione Dalla popolazione di N (finito o infinito) unità si estrae un insieme di n unità: con ripetizione (Bernoulliana) senza ripetizione (in blocco) Se N è infinito o la frazione sondata n / N è molto piccola, la differenza è irrilevante Non soggetti a distorsioni sistematiche Non probabilistici Non basati sulla randomizzazione, ma su altri criteri (comodità, accessibilità, ecc.) Soggetti a distorsione di selezione

9 La stima Stima puntuale x M o (media aritmetica campionaria) stima di μ s (deviazione standard campionaria corretta con al denominatore n-1 e non n) stima di σ p (proporzione campionaria) stima di π Stima intervallare Intervallo di fiducia Intervallo di possibili valori entro il quale si ritiene sia compreso il parametro che si vuole stimare (μ, σ, π) con un certo grado di fiducia

10 Criteri di stima Una regola con fondamento logico e intuitivo è quella di considerare gli stimatori naturali, cioè che abbiano lo stesso significato dei parametri incogniti della popolazione: M = n i= 1 n x i stima di μ s = n i= 1 ( x M) i n -1 2 stima di σ p x = (x numero di eventi di interesse) stima di π n

11 Teorema centrale della Statistica Il teorema centrale della Statistica, fornisce una base teorica per il vasto impiego della distribuzione Normale. Il teorema stabilisce che all aumentare della numerosità campionaria n, la distribuzione della media campionaria: 1. diventa approssimativamente Normale qualsiasi sia la distribuzione della variabile originaria; 2. ha come media la media (μ) della variabile nella popolazione e la deviazione standard della distribuzione delle medie campionarie, tende a σ/ n (errore standard della media campionaria).

12 Distribuzione delle Medie Campionarie (1) Ref: Brown & Hollander. Statistics: A Biomedical Introduction. John Wiley & Sons, 1977.

13 Distribuzione delle Medie Campionarie (2) Ref: Brown & Hollander. Statistics: A Biomedical Introduction. John Wiley & Sons, 1977.

14 Variabile Casuale Universo Variabile casuale campionaria associata alla media aritmetica σ σ n Errore Standard μ X μ x

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16 La distribuzione della media aritmetica campionaria (1) X N (μ, σ) X? (μ, σ) x x N (μ, σ/ n) Errore standard N (μ, σ/ n) per n Teorema del Limite Centrale

17 Distribuzione teorica normale (μ=35g/l; σ=6g/l) e distribuzione empirica di 100 campioni casuali di dimensione 10, 25 e 100. Densità di probabilità 0,08 0,04 0,00 Distribuzione teorica Albumina sierica (g/l) Frequenza Distribuzione empirica della media campionaria per n=10 Frequenza Distribuzione empirica della media campionaria per n=25 Frequenza Distribuzione empirica della media campionaria per n=100

18 La distribuzione della media aritmetica campionaria (2) Ne consegue che se: Errore standard x = p = x/n N [π, ([π (1- π)]/n)] per n (si ottiene una buona approssimazione quando n p (1- p) 5)

19 Distribuzione osservata del numero di donne con asma in 100 campioni casuali di numerosità 10, 25 e 100 (prevalenza dell asma π=0,2) Frequenza π=0,2 Distribuzione empirica della media campionaria per n=10 Frequenza π=0,2 Distribuzione empirica della media campionaria per n=25 Frequenza π=0,2 Distribuzione empirica della media campionaria per n=100

20 STIMA DELLA MEDIA DELLA POPOLAZIONE CON σ NOTO σ/ n μ -2σ/ n μ μ + 2σ/ n M M P(μ -4σ/ n M μ+ 4σ/ n) 100% P(μ -2σ/ n M μ+ 2σ/ n) 95%

21 Stima intervallare L intervallo di stima è costruito sulla base del valore della statistica campionaria e delle caratteristiche della distribuzione da cui è espressa. Si afferma che tale intervallo contiene il vero parametro della popolazione, avendo prefissato per tale affermazione un livello di fiducia pari a 1 - α. L affermazione può essere corretta o errata: si sa, tuttavia, che essa è estratta a caso da un insieme di siffatte affermazioni costituito per l (1-α)% da affermazioni corrette, e per l α% da affermazioni errate.

22 Intervallo di fiducia per μ quando σ è noto Sulla base delle proprietà della v.c. descritta dall informatore media campionaria, si può scrivere: σ σ P μ zα 2 M μ + zα 2 = 1 α n n oppure, dopo alcuni passaggi, l espressione equivalente: σ σ P M zα 2 μ M + zα 2 = 1 α n n Gli estremi dell intervallo (limiti di fiducia) dipendono dalla determinazione campionaria di M, e sono perciò casuali.

23 Relazione tra n, 1-α e i limiti dell intervallo 90% 95% 99% n Limiti intervallo Ampiezza intervallo Δ Limiti intervallo Ampiezza intervallo Δ Limiti intervallo Ampiezza intervallo Δ 10 M±0,520 σ 1,040 σ M±0,620 σ 1,240 σ M±0,815 σ 1,629 σ 100 M±0,164 σ 0,329 σ M±0,196 σ 0,392 σ M±0,258 σ 0,515 σ 1000 M±0,052 σ 0,104 σ M±0,062 σ 0,124 σ M±0,081 σ 0,163 σ

24 Distribuzione campionaria t di Student Di solito la deviazione standard è ignota e si stima mediante la seguente funzione dei dati campionari: s = n i= 1 ( x M ) i n 1 dove: n - 1 = ν èdetto numero di gradi di libertà. La funzione campionaria: t ν = M s μ n si distribuisce come una t di Student con ν gradi di libertà; si modifica al variare di ν e, per n 30, è pressoché uguale ad una normale standardizzata; può essere utilizzata per fare inferenza su μ quando σ è ignoto (come accade quasi sempre). 2

25 Intervallo di fiducia per μ quando σ è ignoto È pari a 1 - α la probabilità di ottenere un valore campionario della t compreso tra gli estremi: t M μ t n α 2 α 2 s Da ciò si deducono i limiti di fiducia per μ ad un fissato livello di fiducia pari a 1 - α: s tα μ M + t n M 2 α 2 s n

26 INTERVALLI DI FIDUCIA BASATI SULLA t DI STUDENT Generalmente si ha: t c z c (l uguaglianza vale solo per ν = ) Ripetuti intervalli si modificano anche in ampiezza: s M tα 2, M + tα 2 n s n μ M

27 Distribuzione t di Student per alcuni valori di ν υ = 1 υ = 10 Probabilità Probabilità Probabilità υ = 20 υ = 30 Probabilità

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29 Intervallo di fiducia per frequenze Si voglia stimare l ignota frequenza relativa π di unità che nella popolazione sono portatrici di una determinata caratteristica (es.: prevalenza del diabete = numero diabetici/totale popolazione). A tal fine, si estrae un campione di numerosità n. Si osservano x soggetti con la caratteristica in esame (es.: diabetici), ottenendo così p=x/n quale informatore (stima puntuale di π). Se n p (1- p) 5, si può far ricorso al teorema del limite centrale ed i limiti di fiducia possono essere così espressi: p(1 p) p zα 2 Π p + zα 2 n p(1 p) n

30 Calcolo dell intervallo di fiducia (IC) statistica campionaria ± c livello di fiducia misura della variabilità campionaria Statistica campionaria Dimensione dell effetto osservato o dell associazione (es. differenza tra medie, odds-ratio, rischio relativo, ) C livello di fiducia Coefficiente corrispondente al livello di fiducia specificato (90%, 95%, 99%) Variabilità campionaria Errore standard (ES) della statistica campionaria

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33 Come determinare se una associazione è significativa? Significativa è nel contesto della significatività statistica Intervallo di fiducia (confidence interval) Valori di p (p-value)

34 Intervallo di fiducia (confidenza) Il significato della Statistica è non dover dire di essere sicuri! Basare l informazione su un campione porta sempre ad un certo livello di incertezza Un intervallo di fiducia è un insieme di valori che cerca di quantificare questa incertezza Per esempio, un intervallo di fiducia al 95% indica che campionando ripetutamente, il 95% degli intervalli che si ottengono conterranno il vero parametro della popolazione

35 Intervallo di fiducia (confidenza) La stima puntuale e l intervallo di fiducia rispondono alla domanda Qual è la dimensione della differenza tra i trattamenti? e Qual è la precisione dello studio nello stimare la differenza tra i trattamenti?

36 Interpretazione dell intervallo di fiducia L ampiezza dell intervallo di fiducia (IC) Un intervallo stretto implica una alta precisione Un intervallo ampio implica scarsa precisione (di solito dovuta ad una bassa numerosità campionaria) L intervallo contiene un valore che implica nessun cambiamento o nessun effetto o nessuna associazione? Intervallo per la differenza di due medie: include lo zero? Intervallo per un rapporto (es. OR, RR): include l uno?

37 Differenza nulla IC Nessuna differenza statisticamente significativa Aumento statisticamente significativo Diminuzione statisticamente significativa

38 Risultati di sei studi controllati randomizzati sulla somministrazionedi nitrato per via endovenosa nell infarto acuto Studio Numero di morti/n. randomizzati Nitrato EV Controllo RR IC 95% p Chiche 3/50 8/45 0,33 (0,09;1,13) 0,08 Bussman 4/31 12/29 0,24 (0,08;0,74) 0,01 Flaherty 11/56 11/48 0,83 (0,33;2,12) 0,70 Jaffe 4/57 2/57 2,04 (0,39;10,71) 0,40 Lis 5/64 10/76 0,56 (0,19;1,65) 0,29 Jugdutt 24/154 44/156 0,48 (0,28;0,82) 0,007 Adattato da: Whitley and Ball. Critical Care; 6(3): , 2002

39 Interpretazione del l intervallo di fiducia Studio Numero di morti/n. randomizzati Nitrato EV Controllo RR IC 95% p Chiche 3/50 8/45 0,33 (0,09;1,13) 0,08 Intervallo ampio: suggerisce tanto una riduzione della mortalità del 91% quanto un aumento del 13% Jugdutt 24/154 44/156 0,48 (0,28; 0,82) 0,007 La riduzione di mortalità può essere solo del 18%, ma non vi è evidenza che il nitrato sia nocivo Adattato da: Whitley and Ball. Critical Care; 6(3): , 2002

40 Cosa possiamo dire dell importanza clinica? A difference, to be a difference, must make a difference. Gertrude Stein L intervallo di fiducia giace in parte o del tutto entro un intervallo di indifferenza clinica? L indifferenza clinica rappresenta valori di una dimensione talmente piccola che non modificano la pratica clinica corrente? Es. raccomandereste un farmaco per abbassare il colesterolo che riduce i livelli di LDL di 2 unità in 1 anno?

41 Cosa possiamo dire dell importanza clinica? (continua) L importanza clinica è un giudizio medico non statistico! I clinici modificherebbero la loro pratica solo se lo studio avesse dimostrato definitivamente una differenza significativa tra i trattamenti e tale differenza è abbastanza grande da essere clinicamente rilevante Dipende dalla conoscenza su Un insieme di possibili trattamenti Il loro costo I loro effetti collaterali

42 Interpretazione dell intervallo di Differenza nulla IC fiducia Insieme dei valori dell indifferenza clinica Continua a fare le cose nello stesso modo! Insieme dei valori dell indifferenza clinica La numerosità campionaria è troppo piccola? Significatività statistica ma non pratica Insieme dei valori dell indifferenza clinica Significatività statistica e pratica Insieme dei valori dell indifferenza clinica

43 Punti chiave L intervallo di fiducia Quantifica la fiducia che abbiamo circa il vero valore del parametro nella popolazione Indica una miglior precisione con ampie numerosità campionarie È molto più informativo del valore di p Tenere presente l importanza clinica quando si interpreta la significatività statistica

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