UNIVERSITÀ DEGLISTUDIDIPAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

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1 Soluzione del Problema 1 In circuito da considerare per il calcolo della tensione equivalente di Thevenin è il seguente: I 0 a La caduta di potenziale sulla resistenza è nulla, poiché il morsetto a è aperto. Pertanto, applicando la KVL alla maglia che include il generatore comandato si ha: = α da cui = 1 α =2 = 200 V Per il calcolo della resistenza equivalente di Thevenin si devono spegnere i generatori indipendenti. Inoltre, poiché nel circuito è presente un generatore dipendente, per il calcolo di R Th è necessario collegare un generatore di prova ai morsetti ab, ad esempio di tensione, come mostrato nella seguente figura: i X av X v X Applicando la KVL all unica maglia del circuito, si ha αv X i X v X =0 da cui R Th = v X = i X 1 α =2 = 100 Ω Se si volesse ottenere il generatore equivalente di Norton, il circuito da considerare per il calcolo della corrente di corto circuito è il seguente: I 0 av ab v ab i N Poiché v ab = 0, applicando la KVL alla maglia di destra si ottiene I N =0 I N = =2A

2 La resistenza del generatore di Norton coincide con quella del generatore di Thevenin: e, inoltre, vale la relazione R N = R Th = 100 Ω = R N I N Quando si chiude l interruttore, si innesca un transitorio che può essere studiato considerando il seguente circuito: R Th v C (t) C i L (t) R L Prima della chiusura dell interruttore (t =0 )siha i L (0 )=0 v C (0 )=0 Immediatamente dopo la chiusura dell interruttore, la tensione sul condensatore non può cambiare repentinamente e quindi si ha v C (0 )=v C (0 )=0 i L (0 )= v C(0 ) R L =0 Trascorso un tempo sufficientemente lungo (t ), il circuito ritorna in regime stazionario e il condensatore si comporta come un circuito aperto. Pertanto il generatore indipendente vede come carico le due resistenze poste in serie, e la corrente diventa: i L ( ) = R Th R L = =1A Per il calcolo della costante di tempo del circuito si spegne il generatore di tensione (sostituendolo con un corto circuito) e si determina la resistenza equivalente vista ai morsetti del condensatore che, per il circuito dato, coincide con il parallelo fra R Th e R L. Si ha quindi τ = R eq C = R ThR L R Th R L C = L espressione della corrente risulta quindi: =1μs 0 t<0 i L (t) = 1 e t [µs] A t>0 e il grafico del suo andamento è mostrato nella seguente figura: 1 i L [A] t [ms]

3 Soluzione del Problema 2 Passando al dominio dei fasori il circuito diventa: I 1 R Z 1 Z C V C I L Z L dove = =20V Z 1 = jωl 1 = j = j10 Ω Z L = jωl = j = j20 Ω Z C = j 1 ωc = j = j20 Ω L impedenza del parallelo fra il condensatore C e l induttore L è Z LC = Z CZ L Z C Z L = j20j20 j20 j20 = e quindi i due elementi risuonano e si comportano come un corto circuito. Pertanto la corrente I 1 è nulla e, poiché nonc è caduta di potenziale su R esuz 1,siha V C = =20V Poiché taletensioneè la stessa che c è ai capi dell induttore, si ha anche Dalle espressioni precedenti si deduce I L = V C Z L = 20 j20 = j A=1e π/2 A v C (t) =20cosωt V i L (t) =cos(ωt π/2) A = sin ωt A Le espressioni delle energie immagazzinate dal condensatore e dall induttore risultano w C = 1 2 Cv2 C(t) = cos 2 ωt =10cos 2 ωt μj w L = 1 2 Li2 L(t) = sin 2 ωt =10sin 2 ωt μj e il loro andamento temporale è indicato nella figura seguente:

4 10 [mj] w L w C T/2 T 3T/2 2T t [ms] dove T = 2π ω =6.28 μs È interessante osservare come negli elementi L e C fluisca corrente, anche se, complessivamente, la corrente che entra dall esterno nell elemento LC è nulla. La corrente i L fa sì che l energia immagazzinata nel circuito risonante si trasferisca dal condensatore C all induttore L (e viceversa) ogni mezzo periodo, come risulta evidente dal grafico delle energie.

5 Soluzione del Problema 3 Con riferimento ai simboli introdotti nella seguente figura Y I2 Z 0 Z 2 generatore l/2 P d Z g V in jb l/4 Y in Z 0 Z 1 Y I1 per le proprietà delle linee in mezz onda e in quarto d onda si ha: Y I1 = Z 1 Z 2 0 = 1 j 1 Y I2 = 1 Z 2 = 1 Affinché il generatore eroghi la potenza disponibile, si deve avere che: Y in = Y I1 Y I2 jb = 1 1 j 1 jb = 1 Zg = 1 Z 0 da cui si ottiene B = 1 = 10 ms Il generatore è adattato e quindi eroga tutta la potenza disponibile. D altra parte, ipotizzando che le linee siano senza perdite, gli unici carichi in grado di assorbire potenza sono Z 1 e Z 2.Si ha quindi P 1 P 2 = P d Inoltre, Z 1 assorbe la stessa potenza erogata a Y I1,mentreZ 2 assorbe la stessa potenza erogata a Y I2. si ha quindi P 1 = V in 2 Re Y I1 } = V in 2 2 4Z 0 P 2 = V in 2 2 Re Y I2 } = V in 2 e quindi, tenendo conto della relazione precedente, si ottiene 4Z 0 P 1 = P 2 = P d 2 =15mW