Fluidodinamica Applicata. 1.5 Equazioni Costitutive

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1 Equazioni costitutive Devo fornire e (q) in funzione delle variabili dinamiche del sistema. Iniziamo a considerare il caso in cui il fluido sia in quiete: FIG.6 Idea intuitiva di fluido: ) Se è in quiete (=fermo) non possono esserci sforzi di taglio ( non sarebbe in grado di stare fermo: non è un solido elastico! Fig.7 ) Appurato che lo sforzo, in fluido in quiete, possa essere applicato soltanto normalmente ad una superficie, questo può essere soltanto di compressione τ ( x, t; n) = p( x, t)n dove p è la pressione (p 0 ) = pi oppure ij = pδ ij Fig.8 Per completare le equazioni devo specificare soltanto p in funzione delle variabili di stato del sistema: p=(ρ,) ; : temperatura termodinamica assoluta. Politecnico di orino Pagina

2 Es: gas perfetto: p = ρ : costante universale dei gas M = 8, 4 J Kmol M 0 =massa molare media O : M o = 0 - Kg mol - N : M o =8 0 - Kg mol - CH 4 : M o =6 0 - Kg mol - H : M o = 0 - Kg mol - Ecc. Come si ricava Se p,, ρ uniformi, allora pv=n N=n di moli m n m=ρv p = n p = ρ = ρ ρ m M ma è anche m=n M 0 (M 0 : massa di una mole; n: numero di moli) N K anche pv=nk p kp = ρ m M * (k: costante di Boltzman = ; M* : massa di una molecola) N A Situazione generale: possono esserci anche sforzi di taglio. Fluido ideale: si ammette che non ci siano sforzi di taglio in nessuna situazione : = pi sempre. Diciamo che, più o meno, = pi + *( u) Possibile sforzo di taglio, dipendente dal u + u cioè dalla velocità con cui il fluido si sta trasformando U0 Es: Newton dice (esperimento) che µ h n. Stokes: )dipende linearmente dalle trasformazioni, ) è isotropo = pi + µ ( u + u) λ ui con λ = µ [Perché λ = µ : voglio che lo sforzo normale medio sia ancora p allora : + + = p da imporre: u u u + + = p + µ + = + ( + ) + = λ u p µ λ u µ λ ] x x x EQUAZIONI FLUIDO IDEALE (DEE ANCHE EQUAZIONI DI EULEO ) Politecnico di orino Pagina

3 ρ + ( ρu) = 0 Incognite: ρ,u, u ρ + ( u ) u = p + ρ f + t.d. p=p(ρ,) eq. stato ; e=f() t.d.: ρ = ( u) p u = 0 u ρ0 ( ) = 0 Se è incompressibile: + u u p ρ f t. d.eventuale ρ = 0 Incognite: u, p ρ 0 non è più un incognita, ma non ho più l eq. di stato! Inoltre la t.d. è disaccoppiata! Equazioni costitutive Devo fornire e (q) in funzione delle variabili dinamiche del sistema. Iniziamo a considerare il caso in cui il fluido sia in quiete: FIG.6 Idea intuitiva di fluido: ) Se è in quiete (=fermo) non possono esserci sforzi di taglio ( non sarebbe in grado di stare fermo: non è un solido elastico! Fig.7 Politecnico di orino Pagina

4 4) Appurato che lo sforzo, in fluido in quiete, possa essere applicato soltanto normalmente ad una superficie, questo può essere soltanto di compressione ( x, t; n) = p( x, t)n τ dove p è la pressione (p 0 ) = pi oppure ij = pδ ij Fig.8 Per completare le equazioni devo specificare soltanto p in funzione delle variabili di stato del sistema: p=(ρ,) ; : temperatura termodinamica assoluta. J Es: gas perfetto: p = ρ : costante universale dei gas = 8, 4 M Kmol M 0 =massa molare media O : M o = 0 - Kg mol - N : M o =8 0 - Kg mol - CH 4 : M o =6 0 - Kg mol - H : M o = 0 - Kg mol - Ecc. Come si ricava Se p,, ρ uniformi, allora pv=n N=n di moli m n m=ρv p = n p = ρ = ρ ρ m M ma è anche m=n M 0 (M 0 : massa di una mole; n: numero di moli) N K anche pv=nk p kp = ρ m M * (k: costante di Boltzman = ; M* : massa di una molecola) N A Situazione generale: possono esserci anche sforzi di taglio. Fluido ideale: si ammette che non ci siano sforzi di taglio in nessuna situazione : = pi sempre 4. Diciamo che, più o meno, = pi + *( u) Possibile sforzo di taglio, dipendente dal u + u cioè dalla velocità con cui il fluido si sta trasformando Politecnico di orino Pagina 4

5 U0 Es: Newton dice (esperimento) che µ h n. Stokes: )dipende linearmente dalle trasformazioni, ) è isotropo = pi + µ ( u + u) λ ui con λ = µ [Perché λ = µ : voglio che lo sforzo normale medio sia ancora p allora : + + = p da imporre: u u u + + = p + µ + = + ( + ) λ u p µ λ u µ λ x x x = EQUAZIONI FLUIDO IDEALE (DEE ANCHE EQUAZIONI DI EULEO ) ρ + ( ρu) = 0 Incognite: ρ,u, u ρ + ( u ) u = p + ρ f + t.d. p=p(ρ,) eq. stato ; e=f() t.d.: ρ = ( u) p u = 0 u ρ0 ( ) = 0 Se è incompressibile: + u u p ρ f Incognite: u, p t. d.eventuale ρ = 0 ρ 0 non è più un incognita, ma non ho più l eq. di stato! Inoltre la t.d. è disaccoppiata! 0 ] Politecnico di orino Pagina 5