Misure di polarizzazione mediante ricevitori differenziali a microonde
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- Emma Pace
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1 Misure di polarizzazione mediante ricevitori differenziali a microonde Aniello Mennella Università degli Studi di Milano Dipartimento di Fisica Corso di laboratorio di strumentazione spaziale I A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
2 Introduzione Scomposizione di un onda in componenti polarizzate Consideriamo un onda piana che si propaga nel vuoto e fissiamo una terna cartesiana con l asse z nella direzione di propagazione dell onda. E possiamo scomporlo come: E = ˆxE x + ŷe y, (1) E x = E 1 sin(ωt kz) E y = E 2 sin(ωt kz + δ) (2) dove ω = 2πν, k = 2π/λ e δ rappresenta la differenza di fase fra le due componenti. A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
3 Introduzione Vettore campo elettrico nel sistema cartesiano scelto e sua scomposizione delle componenti linearmente polarizzate E x, E y A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
4 Introduzione Caso generale: polarizzazione ellittica Ora studiamo l andamento nel tempo di E x (z = 0, t) e E y (z = 0, t), cercando di stabilire la relazione fra E x ed E y in funzione delle ampiezze E 1, E 2 e dello sfasamento δ. Scrivendo la prima e la seconda equazione di (2) per z = 0 otteniamo, dopo un po di algebra, [ ] E x E y = E 2 cos δ + 1 E x 2 E 1 E1 2 sin δ. (3) che corrisponde a: Ey 2 E2 2 sin2 δ 2E xe y cos δ E 1 E 2 sin 2 δ + Ex 2 E1 2 sin2 δ = 1, ovvero (4) ae 2 y be x E y + ce 2 x = 1 che rappresenta l equazione di un ellisse nel piano E x, E y. A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
5 Introduzione Casi particolari: polarizzazione lineare L oscillazione armonica di E x ed E y combinandosi con lo sfasamento δ fa ruotare E lungo un ellisse nel piano x, y. Alcuni casi particolari: se E 1 o E 2 sono nulli onda polarizzata linearmente lungo x o y se δ = 0 allora l onda e polarizzata linearmente ed il vettore E è inclinato di un angolo γ = tan 1 E 2 E 1. Se E 1 = E 2 allora l onda e polarizzata linearmente a 45 rispetto all asse x. (a) (b) A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
6 Introduzione Casi particolari: polarizzazione circolare Un altro caso particolare è quello in cui δ = ±π/2 e E 1 = E 2. In questo caso l equazione (5) diventa E 2 x + E 2 y = E 2 che rappresenta un onda polarizzata circolarmente. Caso di polarizzazione circolare: δ = π/2 corrisponde a polarizzazione destrorsa, δ = π/2 corrisponde a polarizzazione sinistrorsa. A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
7 Introduzione Casi particolari: polarizzazione circolare Un altro caso particolare è quello in cui δ = ±π/2 e E 1 = E 2. In questo caso l equazione (5) diventa E 2 x + E 2 y = E 2 che rappresenta un onda polarizzata circolarmente. Caso di polarizzazione circolare: δ = π/2 corrisponde a polarizzazione destrorsa, δ = π/2 corrisponde a polarizzazione sinistrorsa. A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
8 I parametri di Stokes Polarizzazione totale e parziale Osservando una sorgente celeste, il segnale lo riceviamo in una banda ν di frequenze ed è costituito dalla sovrapposizione di un grande numero di modi statisticamente indipendenti con una grande varietà di polarizzazioni. Il caso estremo è quello in cui tutti i modi di polarizzazione si combinino in modo casuale con il risultato di un grado di polarizzazione medio nullo. Nel caso del fondo cosmico il segnale è costituito da una parte (statisticamente) non polarizzata ed una completamente polarizzata. Deriviamo ora i parametri di Stokes nel caso di onda completamente polarizzata A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
9 I parametri di Stokes Scriviamo il vettore E nelle sue componenti linearmente polarizzate A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
10 I parametri di Stokes Vogliamo passare ad un sistema di riferimento allineato con gli assi dell ellisse A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
11 I parametri di Stokes A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
12 I parametri di Stokes A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
13 I parametri di Stokes Con un po di algebra si ottiene E x = E 0 (cos ɛ cos τ sin ωt sin ɛ sin τ cos ωt) E y = E 0 (cos ɛ sin τ sin ωt + sin ɛ cos τ cos ωt) (5) A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
14 I parametri di Stokes Con un po di algebra si ottiene E x = E 0 (cos ɛ cos τ sin ωt sin ɛ sin τ cos ωt) E y = E 0 (cos ɛ sin τ sin ωt + sin ɛ cos τ cos ωt) (5) Inoltre dalle equazioni iniziali E x = E 1 sin ωt cos δ 1 E 1 cos ωt sin δ 1 (analogamente per E y ). A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
15 I parametri di Stokes Con un po di algebra si ottiene E x = E 0 (cos ɛ cos τ sin ωt sin ɛ sin τ cos ωt) E y = E 0 (cos ɛ sin τ sin ωt + sin ɛ cos τ cos ωt) (5) Inoltre dalle equazioni iniziali E x = E 1 sin ωt cos δ 1 E 1 cos ωt sin δ 1 (analogamente per E y ). Ancora con un po di algebra si ottiene: E 0 cos ɛ cos τ = E 1 cos δ 1 E 0 sin ɛ sin τ = E 1 sin δ 1. (6) A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
16 I parametri di Stokes Con un po di algebra si ottiene E x = E 0 (cos ɛ cos τ sin ωt sin ɛ sin τ cos ωt) E y = E 0 (cos ɛ sin τ sin ωt + sin ɛ cos τ cos ωt) (5) Inoltre dalle equazioni iniziali E x = E 1 sin ωt cos δ 1 E 1 cos ωt sin δ 1 (analogamente per E y ). Ancora con un po di algebra si ottiene: e infine: E 0 cos ɛ cos τ = E 1 cos δ 1 E 0 sin ɛ sin τ = E 1 sin δ 1. (6) E 1 = E 0 cos 2 ɛ cos 2 τ + sin 2 ɛ sin 2 τ E 2 = E 0 cos 2 ɛ sin 2 τ + sin 2 ɛ cos 2 τ, (7) da cui si ricava che E 2 0 = E E 2 2. A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
17 I parametri di Stokes Calcoliamo ora la densità di flusso media (potenza per unità di superficie) che è data da: S = S x + S y = E E 2 2 Z = E 2 0 Z, (8) dove Z è l impedenza caratteristica del mezzo (in Ω m 2 ) e E0,1,2 2 = 1/2E 0,1,2 2 (valor medio della potenza in un periodo). A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
18 I parametri di Stokes Calcoliamo ora la densità di flusso media (potenza per unità di superficie) che è data da: S = S x + S y = E E 2 2 Z = E 2 0 Z, (8) dove Z è l impedenza caratteristica del mezzo (in Ω m 2 ) e E0,1,2 2 = 1/2E 0,1,2 2 (valor medio della potenza in un periodo). Passiamo ora a definire i parametri di Stokes come segue: I = S x + S y = S Q = S x S y = S cos 2ɛ cos 2τ U = (S x S y ) tan 2τ = S cos 2ɛ sin 2τ = 2 E 1E 2 Z V = (S x S y ) tan 2ɛ sec 2τ = S sin 2ɛ = 2 E 1E 2 Z cos δ sin δ (9) A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
19 I parametri di Stokes I rappresenta l intensità totale dell onda, U e Q dipendono dalla polarizzazione lineare e V è legato alla polarizzazione circolare. Polarizzazione circolare. δ = ±π/2 e S x = S y e, di conseguenza, I = S, Q = U = 0 e V = ±S. Polarizzazione lineare. La polarizzazione lineare è definita da ɛ = 0 per cui si ha I = S x + S y, Q = S cos 2τ, U = S sin 2τ e V = 0. A seconda del valore di τ, inoltre, si hanno i casi di polarizzazione lungo x e lungo y (Q = S e U = 0) e polarizzazione a 45 (Q = 0, U = S). A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
20 La misura della radiazione parzialmente polarizzata Consideriamo ora il caso di polarizzazione lineare parziale; in questo caso anche i termini di ampiezza e gli sfasamenti sono dipendenti dal tempo: E x = E 1 (t) sin(ωt δ 1 (t)) E y = E 2 (t) sin(ωt δ 2 (t)). (10) A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
21 La misura della radiazione parzialmente polarizzata Consideriamo ora il caso di polarizzazione lineare parziale; in questo caso anche i termini di ampiezza e gli sfasamenti sono dipendenti dal tempo: E x = E 1 (t) sin(ωt δ 1 (t)) E y = E 2 (t) sin(ωt δ 2 (t)). (10) In questo caso nel definire i parametri di Stokes è necessario considerare delle medie temporali nelle varie quantità, in modo che si ha: I = E 1 2 Z + E 2 2 Z = S x + S y = S Q = E 2 1 Z E 2 2 Z = S x S y = S cos 2ɛ cos 2τ U = (S x S y ) tan 2τ = S cos 2ɛ sin 2τ = 2 Z E 1E 2 cos 2δ V = (S x S y ) tan 2ɛ sec 2τ = S sin 2ɛ = 2 Z E 1E 2 sin δ dove I 2 Q 2 + U 2 + V 2 e la media temporale è data da f = 1 T T 0 f (t) dt. A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
22 La misura della radiazione parzialmente polarizzata τ, δ e ɛ sono legati dalla relazione tan δ = tan 2ɛ/ sin 2τ. Lo stato di polarizzazione di un segnale elettromagnetico è possibile determinarlo mediante la misura di 4 osservabili (abbiamo 4 incognite). È possibile, nel caso di polarizzazione lineare, misurare lo stato di polarizzazione effettuando unicamente misure di ampiezza con due antenne puntate sulla stessa sorgente e ruotate di 45 una rispetto all altra A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
23 La misura della radiazione parzialmente polarizzata Poichè consideriamo solo polarizzazione lineare abbiamo che V = 0. Gli altri parametri di Stokes possono essere scritti come segue: Antenna 1: I = S x + S y = S Q = S x S y = S cos 2ɛ cos 2τ U = S cos 2ɛ sin 2τ (11) Antenna 2: I = S x + S y = S Q = S x S y = S cos 2ɛ cos 2τ U = S cos 2ɛ sin 2τ (12) A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
24 La misura della radiazione parzialmente polarizzata Poiché τ = τ π/4 si ha che cos 2τ = sin 2τ e sin 2τ = cos 2τ e quindi si ha che I = I = S x + S y Q = U = S x S y U = Q = S y S x (13) (14) che mostra come dalle quattro misure di intensità S x, S y, S x, S y sia possibile derivare i parametri di Stokes I, Q, U. A. Mennella (UniMi) Misure di polarizzazione 2 dicembre / 15
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