Engineering Computation Analisi mediante gli Elementi Finiti

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1 Engineering Computation Vol. 1 N Analisi mediante gli Elementi Finiti Marzo

2 ITERA S.r.l. è una società di ingegneria che da molti anni opera nel mercato della simulazione numerica. Una delle attività principali consiste nell affrontare e risolvere problemi ingegneristici, provenienti da diversi settori dell industria, mediante l uso estensivo di codici di calcolo FEM, CFD e di analsi termica. Questo notiziario è rivolto a due classi di lettori: INGEGNERI E MANAGER i quali, sono coinvolti nello sviluppo e/o produzione di sistemi o componenti meccanici, ma non possiedono strumenti di progetto FEA o, che hanno una formazione professionale diversa dal progettista meccanico. Durante tutti questi anni abbiamo notato che non soltanto la grande industria automobilistica o aeronautica (tradizionalmente considerati come i principali settori di applicazione della tecnologia CAE), ma anche la piccola e media industria possono trarre benefici dall uso di questi strumenti avanzati di progetto o simulazione. Spesso gli ostacoli principali derivano dalla inadeguata informazione sull argomento o dal non sapere come accedere a queste possibilità in modo agevole. Per questi motivi vogliamo condividere ed esporre alcune nostre esperienze e capacità nell analizzare alcuni tipici problemi ingegneristici mediante l uso di strumenti CAE. PROGETTISTI i quali conoscono i concetti FEA ma vogliono tenersi aggiornati e/o apprendere di più circa l uso di questi strumenti 1. Che cos è l Analisi agli Elementi Finiti (FEA)? Molti problemi ingegneristici sono governati da sistemi di equazioni integrali o differenziali oppure possono essere formulati in termini di minimizzazione di un funzionale. Spesso non è neppure molto difficile scrivere queste equazioni. Prendiamo in considerazione l esempio rappresentato nella figura seguente: Questo notiziario appartiene ad una serie la quale non vuole essere nè un manuale e nemmeno un tutorial sui metodi numerici, FEM, BEM, CFD, ecc; se volete potete trovare molti libri dedicati specificamente a questi argomenti. Il nostro obiettivo è diverso. Noi vogliamo introdurvi nella ideologia della prototipazione numerica e cercare di dimostrarvi che utilizzando un prototipo fatto di numeri, che opera in un mondo di numeri, Voi potete ottenere non soltanto delle simpatiche immagini colorate ma anche e soprattutto pratiche e importanti conclusioni circa il comportamento del Vostro oggetto reale. Naturalmente tutto questo potrà farvi risparmiare molto tempo e denaro: per esempio permettendovi di realizzare e ottimizzare un numero molto ridotto, e spesso addirittura nullo, di prototipi fisici del Vostro sistema. Si tratta di una anello sincronizzatore (è rappresentata soltanto una metà per motivi di simmetria). Questo oggetto è vincolato rigidamente sulla sua superficie interna ed è caricato con una pressione applicata sui denti. Per ovvi motivi di corretto funzionamento non è ammessa la deformazione plastica e quindi possiamo immaginare che il problema può essere completamente descritto dal seguente sistema di equazioni:

3 σ ij,j + f i = 0 ; σ ij = λ. θ. δ ij + 2. µ. ε ij ; θ = ε ; ij ε = ( u + u ); ij i,j j,i La tecnica FEM è uno dei più importanti sviluppi nell ambito dei metodi computazionali del 20esimo secolo. In pochi decenni questa metodologia è evoluta dallo stadio di tecnica utilizzata per risolvere applicazioni di ingegneria strutturale, fino a divenire un vero e proprio metodo di prototipazione virtuale largamente utilizzato in molti settori della tecnologia e non soltanto in ambito strutturale. σ ij. n j S σ = p i ; u i S u = U i Risolvendo questo sistema matematico si può pervenire, in linea di principio, ad una soluzione esatta del problema ingegneristico. In realtà proprio in questa fase incorrono i primi problemi pratici. Molto spesso problemi come questo (cioè che hanno la possibilità di essere perfettamente formulati) non possono essere risolti in modo esatto, almeno in un tempo ragionevole a causa della complessità della geometria, delle proprietà dei materiali componenti e delle condizioni di vincolo e carico. Il Metodo degli Elementi Finiti (FEM) è una tecnica numerica utilizzata per risolvere i problemi appena descritti. In generale con il termine FEA si intende quella tecnologia tramite la quale si possono risolvere i problemi ingegneristi mediante la simulazione FEM. 1. Come funziona il metodo FEM? Il Metodo degli Elementi Finiti (FEM) è basato sull idea di suddividere un oggetto complicato in tante parti più piccole e di forma più semplice. In pratica nel FEM un corpo continuo, con una geometria complessa, viene discretizzato mediante tante piccole parti componenti più semplici che vengono denominate elementi. Ogni elemento possiede delle proprietà descritte da funzioni semplici e che descrivono ad esempio lo stato di tensione, di deformazione, il flusso, il campo termico ecc. Le variabili di queste funzioni sono i valori incogniti di alcuni punti specifici di ciascun elemento. Questi punti sono denominati nodi. Per definire il fatto che gli elementi costituiscono un corpo unico e quindi interagisco tra di loro, viene utilizzata una tecnica di assemblaggio che unisce matematicamente tra loro tutti gli elementi con i quali è stato suddiviso un dato sistema. Al sistema così assemblato possono infine essere applicate le condizioni di carico e di vincolo e ciò conduce ad un 2. Cosa occorre fare per usare il FEM? Per poter utilizzare con efficacia il metodo FEM occorre innanzitutto analizzare dal punto di vista ingegneristico la struttura che deve essere verificata o progettata. In pratica si deve raggiungere il massimo grado possibile di conoscenza di come opera la struttura in esame, della natura e tipo di carichi applicati, del tipo di vincoli presenti e di ciò che si desidera ottenere. Migliore sarà questa fase di analisi e comprensione e maggiore sarà l efficacia delle soluzioni ottenibili usando il metodo FEM. Infatti non bisogna dimenticare che qualsiasi computer, anche il più potente che possiate immaginare e dotato dei più potenti e costosi programmi, non è assolutamente in grado di risolvere per voi il problema. Al massimo voi potete usare il computer e tutti gli strumenti FEM per inserire e risolvere velocemente e bene tutte le equazioni che definiscono il vostro problema. Una volta acquisita la giusta confidenza ingegneristica con il problema che volete risolvere, il passo successivo è quello di decidere a quale livello di dettaglio volete spingere il modello che state creando. Ad esempio dovete decidere quale tipo, quale dimensione minima e con quanti elementi discretizzare la vostra geometria. Più aumentate il livello di dettaglio del vostro modello e più dettagliati saranno i risultati delle simulazioni FEM; per contro però saranno necessari mezzi di calcolo più potenti e maggiore tempo di elaborazione.

4 sistema lineare o non lineare di equazioni algebriche. La soluzione di queste equazioni fornisce il comportamento approssimato del sistema in studio.

5 In questa fase quindi occorre porsi come obiettivo la creazione di un modello che sia un abile compromesso tra il costo, in termini di tempo e risorse di calcolo e la precisione dei risultati. A questo punto è possibile iniziare a creare la cosidetta MESH cioè a discretizzare la struttura in esame mediante elementi e nodi. Il passo successivo è quello di descrivere il comportamento delle quantità fisiche di ciascun elemento. Quindi si può iniziare la fase di assemblaggio di tutti gli elementi in modo da formare un unico sistema di equazioni che approssimano la struttura in oggetto. Durante quest ultima fase vengono definite le condizioni iniziali e finali alle quali dovrà sottostare il sistema, la natura e il tipo di vincoli (gradi di libertà del modello, ecc) e il tipo di carichi applicati. Dopo tutto questo è necessario risolvere il sistema di equazioni rispetto alle variabili prescelte (es. gli spostamenti nodali); finalmente si passa al calcolo delle equazioni e delle grandezze di vostro interesse (es. campo di tensione, deformazioni, ecc). 3. Che cosa si può ottenere dall analisi FEM? La qualità dei risultati di una analisi FEM dipende da diversi fattori inclusa la tecnologia computazionale implementata nel codice di calcolo utilizzato. Sono molto importanti l esperienza e le capacità dell analista e la capacità di interpretazione dei risultati. Un difetto anche soltanto in uno di questi fattori porta inevitabilmente a risultati errati ed infine a progetti senza contenuto valido. Tuttavia un buon progettista, con valide capacità di interpretazione dei fenomeni in gioco, può avvalersi con grande profitto dell ausilio che il FEM mette a disposizione anche come capacità predittiva. 4. Il metodo FEM può sostituire la fase di prototipazione? Il metodo FEM è abbastanza preciso. Se il problema è chiaramente definito (notare che non vuol dire semplice o noto come soluzione), il modello FEM è ben fatto, le caratteristiche dei materiali sono note e così pure le condizioni di carico e di vincolo; allora l analisi FEM può portare a precisioni nei risultati del 5-10% ed anche meno. In queste condizioni la risposta alla domanda e senza dubbio SI. Negli altri casi l analisi FEM non sostitutisce completamente la fase di prototipazione ma senz altro la riduce parecchio, molto spesso ad un solo prototipo di verifica. Sopratutto si riducono i tempi di progettazione in quando si possono introdurre modifiche successive nel progetto senza necessariamente fare-provaremodificare un prototipo, va da se che anche i costi si riducono. 5. Come si può sapere se i risultati di una analisi non-lineare sono corretti? L esperienza, i test di laboratorio, le verifiche del calcolo non lineare eseguite su casi più semplici e con risultati noti e sopratutto l intuizione e le capacità ingegneristiche dell analista. Questi sono i fattori chiave per ottenere una risposta di calcolo accurata ed affidabile.

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7 6. Quali tipi di materiali o di processi possono essere simulati? Indubbiamente la lista è veramente lunga; con la tecnica FEM è possibile simulare il comportamento lineare e non lineare di molti tipi di materiali diversi. Vediamo alcuni esempi: - materiali elastici ed elastoplastici; - materiali viscoelastoplastici, gomma; - materiali compositi ed elastomeri; - materiali con struttura spugnosa; - cemento,vetro, rocce, terreno, legno; - materiali con difetti continui e discontinui; - film sottili, carta; - materiali fibrosi, tessuto; Ecc. Analogamente ai materiali anche la lista dei processi che si possono simulare è lunga; alcuni esempi possono essere: Ciò che generalmente si può affermare è che: anche possedendo un codice di calcolo che dichiara di poter risolvere problemi di frattura e fatica, in realtà moltissimo dipende ancora dall esperienza e dalle capacità dell analista. Posizione della cricca dopo la sperimentazione al banco di prova Previsione FEM della zona critica di innesco della rottura - analisi statica e dinamica; - processi di deformazione plastica; - problemi con grandi deformazioni e rotazioni; - metal forming; - strain-rate e fenomemi di rilassamento e creep; - stabilità strutturale, buckling e crash; - processi con alte velocità di deformazione; - analisi delle vibrazioni; - analisi acustica e propagazione di onde; - problemi di contatto; - fenomeni di attrito a secco e con lubrificanti; - problemi termici e termo-strutturali; - interazioni fluido-strutturali; e molti altri. Vi sono due modi per incorporare un danneggiamento In modo fenomenologico il difetto viene simulato nella sua capacità di modificare e degradare nel corso del tempo le proprietà del materiale (comportamento a fatica dovuto al processo ciclico di applicazione dei carichi). Lungo questa strada è possibile anche approssimare fenomeni di isteresi e di progressiva perdita di rigidezza del sistema. In modo diretto, invece, un difetto viene inserito localmente, ad esempio come cricca e viene studiata la sua evoluzione sulla base di un concetto energetico come l integrale-j o mediante concetti simili. 7. Nell analisi FEM è possibile considerare fenomeni di danneggiamento, frattura o fatica? La meccanica della frattura e la fatica sono probabilmente i fenomeni attualmente più complessi della meccanica strutturale. Il problema principale di questa classe di problemi consiste nel fatto che non esiste una unica teoria (o se volete un unico modello matematico) che può essere utilizzato adeguatamente in tutti i casi possibili. Alcuni codici FEM offrono un post-processore specifico dedicato all analisi a fatica, in altri casi viene data la possibiltà di scrivere delle procedure personalizzate di postprocessing utilizzando un linguaggio di script opportuno ( in pratica quasi tutti i codici più professionali offrono questa possibilità) Per Informazioni contattare ITERA Srl Via Circonvallazione, Castelletto Stura (CN) tel fax info@itera.it

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