Corso:Fisica moderna/calore specifico dei solidi/modello di Debye

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1 1 / 5 Corso:Fisica moderna/calore specifico dei solidi/modello di Debye Debye riprende l intero modello di Planck per il corpo nero: non solo la quantizzazione dell energia ma anche l idea che vi siano diversi modi di oscillazione, a frequenze diverse. Il problema del modello di Einstein, infatti, era proprio considerare una singola frequenza di oscillazione. Se un onda che si propaga in un solido è caratterizzata da una lunghezza d onda λ molto maggiore della distanza interatomica, essa vede il solido come un continuo elastico [1], ossia non vede la discretezza del solido. All interno del solido si instaurano dunque onde elastiche stazionarie, le vibrazioni non sono più indipendenti e le frequenze di oscillazione sono tante. Consideriamo dunque un solido continuo elastico, ad esempio un cubo di lato L. L equazione di un onda stazionaria che si propaga nel solido con velocità v s lungo la direzione x è: con f (x, t) = sin (kx) cos (ωt) k = 2π λ ν = v s λ ω = kv s La relazione lineare con coefficiente costante tra ω e k è un approssimazione, che chiamiamo appunto approssimazione lineare. Vedremo in seguito quando è da considerarsi valida. Imponendo la condizione di periodicità k x (x + L) = k x x + 2πn x k x = 2π L n x Lo stesso deve valere per onde che si propagano lungo y o lungo z. In conclusione deve valere:

2 2 / 5 k x k y k z = 2π L n x = 2π L n y = 2π L n z Considero ora il vettore d onda k = (k x, k y, k z ) e cerco la densità di onde con numero d onda compreso tra k e k + dk : In coordinate polari: dn x dn y dn z = L3 8π 3 dk xdk y dk z G (k) dk = V 8π 3 4πk2 dk = V 2π 2 k2 dk Per passare in pulsazioni ω ricordiamo che: Dunque k dk = ω v s = dω v s G (ω) dω = V ω 2 2π 2 dω e poichè ω dω = 2πν = 2πdν Abbiamo l espressione della densità di onde che oscillano con frequenza compresa tra ν e ν + dν : G (ν) dν = ν 2 dν In generale, tuttavia, la velocità di propagazione di onde longitudinali e trasversali è diversa. Inoltre per ogni onda trasversale esistono due direzioni indipendenti di oscillazione, mentre per ogni onda longitudinale ve ne è solo una. Detta v t la velocità di propagazione di un onda trasversale e v l la velocità di propagazione di un onda longitudinale, possiamo definire una velocità di propagazione media nel solido pesata sul numero di modi di oscillazione: 1 < v s > 3 = 1 v 3 l + 2 v 3 t Ricavo quindi che:

3 3 / 5 G (ν) dν = < v s > 3 ν2 dν Osserviamo che la densità di modi G (ν) dν è analoga a quella ricavata da Rayleigh e Jeans per il corpo nero. Tuttavia in questo caso bisogna tener conto che il numero massimo di gradi di libertà del sistema è 3N. Matematicamente bisogna imporre la condizione: G (ν) dν = 3N La frequenza di taglio ν D è detta frequenza di Debye. < v s > 3 ν2 dν = 3 < v s > 3 ν3 D 3 < v s > 3 ν3 D = 3N νd 3 = 9n 4π v3 s con n = N V densità di atomi nel solido (dell ordine di 122 cm 3 ). Il fatto che la velocità sia indipendente dalla frequenza, ed è dunque stata considerata una costante nell operazione di integrazione, viene dall ipotesi di approssimazione lineare. L energia interna del solido è quindi data da: U = = G (ν) < E > dν Sostituendo nell integrale tramite x = hν Si ottiene: e hν ν = x h dν = h dx hν 3 1 dν otteniamo: U = h ( h ) 4 hν D Ricordando che νd 3 = 9N v3 s possiamo sostituire tramite formula inversa vs 3 e ottenere: 9N ν 3 D = ( ) 3 U = 9N hν D hν D Definisco ora temperatura di Debye = hν D k e ottengo:

4 4 / 5 ( ) T 3 U = 9N T Calcoliamo i limiti di tale risultato: limite classico: T >> segue x << 1 Nell integrale possiamo sostituire all esponenziale la sua espansione di taylor attorno a x =. T T T 1 + x 1 dx = ( ) 3 θd x 2 dx = 1 3 T E dunque otteniamo per la formula dell energia interna: ( T U = 9N ) ( θd T ) 3 = 3N Mentre per il calore specifico del solido avremo c v = 1 N ( du ) dt v = 3N avk = 3R. limite quantistico: T << T + inf e x 1 U = 3 ( ) T 3 5 Nπ4 dx = π4 15 c v = 12 R 5 π4 θd 3 T 3 Il modello di Debye verifica dunque il valore del calore specifico ottenuto tramite dati sperimentali, sia a basse che ad alte temperature. F (x) x= Le sue limitazioni stanno però nel considerare il solido come un continuo elastico: il modello fallisce infatti quando andiamo a calcolare per solidi diversi; si nota che questa ha una piccola dipendenza dalla temperatura a cui andiamo a calcolarla. Ad esempio, 3K 4K. Questo va contro il fatto che si presuppone nel modello, cioè che T = cost. Dunque anche la descrizione della densità di onde G(ν) dei solidi come una funzione parabolica non è esatta ma un approssimazione del modello. [1] L approssimazione di continuo elastico isotropo è corretta a basse temperature

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