Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale a.a. 2016/17

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1 Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale aa 6/ Punteggi: : 3 + 6; : ; 3: + Una scatola contiene monete; 8 di queste sono equilibrate, mentre le altre danno testa con probabilità 3/ e croce con probabilità / i) Una moneta viene scelta a caso e lanciata n volte Qual è la probabilità di ottenere volte testa? Qual è la probabilità che la moneta sia una di quelle equilibrate sapendo che in lanci si è ottenuto volte testa? ii) Selezioniamo ora una moneta equilibrata, M, ed una moneta non equilibrata, M, e lanciamo più volte e indipendentemente queste due monete; sia T il minimo numero di lanci necessario ad ottenere testa per la prima volta, lanciando la moneta M ed S il minimo numero di lanci necessario ad ottenere testa per la prima volta, lanciando la moneta M Calcolare: a) P S T S ); b) P S T ); c) P S T ) La va Y ha legge Γ3/, /), mentre la densità condizionale di X dato Y y > è normale di media e varianza /y i) Calcolare E Y ) e V ar Y ) ii) Calcolare la densità congiunta del vettore aleatorio X, Y ) e la densità marginale di X; le va X e Y sono indipendenti? iii) La va X ha speranza matematica finita? Nel caso, quanto vale EX)? iv) Calcolare P XY ) 3 i) I semiconduttori prodotti da una fabbrica risultano privi di difetti con probabilità p 93 Dare un approssimazione della probabilità che in un lotto di semiconduttori ve ne siano meno ) di 9 senza difetti ii) Una nuova linea di produzione di semiconduttori viene messa in servizio e di essa si vuole valutare la proporzione q di quelli privi di difetti In un lotto di pezzi prodotti se ne trovano 98 senza difetti Qual è un intervallo di fiducia di livello α 9 per la proporzione q?

2 Soluzioni della I prova finale aa 6/ i) Consideriamo gli eventi si è scelta una moneta equilibrata chiamiamolo E) e si è scelta una moneta non equilibrata chiamiamolo N) Indichiamo poi con A l evento in lanci si sono ottenute teste I dati del problema implicano che P E) 8, P N) Se la moneta prescelta è equilibrata, allora la probabilità di ottenere teste in lanci è data dalla legge binomiale B, /); quindi la probabilità di avere teste in lanci per la moneta equilibrata è Dunque P A E) ) ) ) ) Se invece la moneta non è equilibrata, la probabilità di avere teste in lanci è data dalla legge binomiale B, 3/); pertanto, la probabilità di avere teste in lanci per la moneta non equilibrata è Dunque P A N) ) 3 ) ) 3 ) 3 ) ) 3 ii) Per la formula delle probabilità totali la probabilità di avere teste in lanci risulta essere P A) P E)P A E) + P N)P A N) ) ) + ) 3 ) ) Ora occorre calcolare P E A); per la formula di Bayes: P E A) P A E)P E) P A) ) ) 9 6 iii) T ha distribuzione geometrica modificata di parametro /, mentre T ha distribuzione geometrica modificata di parametro 3/ Inoltre S e T sono indipendenti a) Si ha: P S T, S ) P {T, S } {T, S })

3 Quindi: P T )P S ) + P T )P S ) P S T S ) P S T, S )/P S ) /3)//6) / b) P S > T ) k P S > k, T k) k k ) k ) k 3/) k k ) k 8 P S > k)p T k) k ) k /8 Quindi P S T ) P S > T ) 6/ c) L evento { S T } non è altro che l evento {S + T }; pertanto la probabilità cercata è: P S + T ) P S, T 3) + P S 3, T ) + P S, T ) 3 ) + 3 i) La densità di Y è, per y > : ) + 3 ) f Y y) /)3/ Γ3/) y/ e y/ π y / e y/ ricordare che Γ/) π e Γα + ) αγα), per cui Γ3/) π/), mentre è zero per y Dunque E Y ) π yfy y)dy π y e y/ dy π, 3 ye y/ dy + y π e y/ dy

4 essendo l integrale uguale alla media di una va esponenziale di parametro /, che vale Il momento del second ordine è ancora più facile da calcolare, ricordando il valore della media delle leggi Gamma: E Y ) ) EY ) 3 Pertanto, V ar Y ) E Y ) ) E Y ) 3 8/π ii) Siccome f X Y x y) π ye x y/, la densità congiunta di X, Y ) è per x, + ) e y > : La densità marginale di X è: fx, y) f X Y x y) f Y y) π ye y+x )/ f X x) Γ) + π + x )/) fx, y)dy ye y+x )/ dy π π + x )/) y e y+x )/ dy Γ) + x ), poiché la funzione integranda è una densità Gamma di parametri e + x )/ e quindi l integrale vale Ovviamente, le va X e Y non sono indipendenti iii) Siccome x f X x) /x 3 per x, risulta che EX) è finita; anzi, visto che f X x) è una funzione pari, si ha EX) iv) Siccome Y >, si ha P XY ) P X ) /, sempre per la parità di f X x) 3 i) Il numero, X, di semiconduttori senza difetti nel lotto di pezzi segue una legge binomiale B, 93) Applicando l approssimazione normale con la correzione di continuità, otteniamo: P X 9) P X 9) ) 9 93 Φ Φ 8) 93 Φ8) Il risultato esatto, disponendo della funzione di ripartizione della binomiale B, 93) è 3

5 ii) Un intervallo I di confidenza a livello α per la media incognita di una distribuzione avente varianza σ, è: I [ x n σ ϕ α/, x + n σ ] ϕ α/ ) dove x è la media campionaria, e ϕ β è il quantile della Gaussiana standard, tale che Φϕ β ) β Nel caso in esame, si ha n, x 98, mentre σ è incognita; considerando che il campione proviene da una sequenza di va di Bernoulli, la cui varianza σ è /, possiamo maggiorare σ con / Da α 9 segue α/ 9, e quindi dalla tavola dei valori di Φ si ricava ϕ α 96 Sostituendo in ) x 98, ϕ α 96 e σ / si ottiene l intervallo I [9, ]