MATEMATICA E STATISTICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI

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1 MATEMATICA E STATISTICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI ESERCITATI CON ME! I ESERCITAZIONE 1) Misure ripetute (materiale secco su vetrino) della lunghezza del diametro maggiore D di un globulo rosso (ellittico) di una Lampreda di mare, hanno dato i seguenti risultati: 11.6 µm, 11.2 µm, 12.3 µm, 11.6 µm Determina valore stimato, errore assoluto ed errore relativo di D. GUIDA ALL ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..come si definisce e come si calcola il valore stimato di una grandezza? Come si definisce e come si calcola l errore assoluto? Come si definisce e come si calcola l errore relativo? Lez2(Lezione06/10/08) ed Esercitaz2(Esercitaz 10/10/08). SOLUZIONE: Il valore stimato si calcola sommando il valore più piccolo dei dati disponibili al valore più grande e dividendo per 2 la loro somma, dunque ( )/2= µm è il valore stimato; l errore assoluto si può calcolare facendo la differenza tra il valore più grande dei dati e il valore stimato e dividendo per 2 la differenza: ( )/2=0.275, oppure facendo la differenza tra il valore stimato e il valore più piccolo dei dati e dividendo la differenza per 2 (domandati:perché è la stessa cosa del procedimento precedente?): ( )/2= 0.275; l errore relativo è dato dal rapporto tra errore assoluto e valore stimato, dunque 0.275/ , vale a dire 2.3%. 2) Si compongono PIN a cinque cifre disponendo di tutte le cifre 0, 1, 2,...,9. Calcolare a) qual è la probabilità, scegliendo un PIN a caso, che la cifra 1 non compaia ripetuta b) qual è la probabilità, scegliendo un PIN a caso, che la cifra 1 compaia esattamente due volte c) qual è la probabilità, scegliendo un PIN a caso, che la cifra 1 compaia almeno due volte GUIDA ALL ESERCIZIO 2: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..saper leggere con cura il testo; comprendere il testo; conoscere un po di calcolo combinatorio; saper definire la probabilità di un evento. Lez4(Lezione13/10/08), Lez5 (lezione 22/10/08)Lez6(lezione 27/10/08), Esercitaz3(Esercitazione 24/10) ed Esercitaz4(Esercitazione30/10).

2 SOLUZIONE: a) Ci dobbiamo domandare: quali sono i PIN in cui la cifra 1 non compare ripetuta? Sono PIN in cui la cifra 1 compare esattamente una volta, oppure PIN in cui la cifra 1 non compare affatto. Per calcolare la probabilità richiesta, possiamo far ricorso all impostazione classica, in cui si suppone equiprobabile l estrazione di un qualsiasi PIN. In tal caso ci domandiamo: quanti sono i PIN possibili? Ogni PIN è composto da 5 cifre, per ogni cifra ci sono 10 scelte, dunque in tutto sono 10 5 (casi possibili); domandiamoci adesso quanti sono i PIN che soddisfano alla richiesta del punto a)? Se la cifra 1 compare una sola volta, può comparire come prima cifra, oppure seconda o terza o quarta o quinta, in tutto sono 5 casi, per ognuno di questi le altre 4 cifre non devono essere 1, quindi per ognuna di esse ci sono 9 possibilità, dunque i PIN in cui 1 compare una sola volta sono 5 9 4, a questo numero dobbiamo sommare il numero di PIN in cui la cifra 1 non compare mai: 9 5, dunque i casi favorevoli sono , la probabilità richiesta è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili: ( )/ Altro modo di procedere: forse potresti avere pensato a calcolare la probabilità richiesta riconoscendo nel problema la situazione tipica di una distribuzione binomiale (rivedi Lez9 ed Esercitaz6): estrazioni ripetute con rimessa. Infatti, per ogni cifra del PIN indipendentemente dalle altre, si estrae 1 con probabilità 1/10, non si estrae 1 con probabilità 9/10, poiché il PIN è formato da 5 cifre, si compiono 5 estrazioni, dunque la probabilità di non estrarre mai 1 è (9/10) 5, la probabilità di estrarre 1 solo una volta è 5(1/10)(9/10) 4, perciò la probabilità richiesta è (9/10) 5 +5(1/10)(9/10) 4, ovviamente si ottiene lo stesso risultato ottenuto con il primo metodo. b) impostazione classica: i PIN in cui la cifra 1 compare esattamente due volte, devono avere le altre tre cifre diverse da 1 e quindi per queste tre cifre ci sono 9 3 casi, le due cifre 1 possono trovarsi nel PIN in (5 4)/2=10 modi (la prima cifra 1 ha 5 posti possibili, la seconda cifra 1 ha 4 posti possibili, dunque 5 4=20, ma, poiché le due cifre 1 sono tra loro indistinguibili, dobbiamo dividere per 2 ottenendo 10), dunque la probabilità richiesta è data da 10(9 3 )/ 10 5 Utilizzando la legge binomiale: 10(1/10) 2 (9/10) 5 (10 è il coefficiente binomiale 5 su 2, e conta in quanti modi in 5 estrazioni la cifra 1 possa uscire due sole volte) d) impostazione classica:per trovare il numero dei casi possibili conviene contare quanti sono i PIN che non soddisfano alla richiesta e sottrarli dal numero totale di PIN; non soddisfano alla richiesta quei PIN che hanno una sola cifra 1 oppure nessuna,

3 dunque i PIN in cui la cifra 1 compare almeno due volte sono in tutto 10 5 ( ), la probabilità richiesta è dunque (10 5 ( ))/ 10 5 Utilizzando la legge binomiale: consideriamo anche in questo caso l evento contrario: 1 compare una sola volta oppure non compare mai, tale evento ha probabilità (9/10) 5 +5(1/10)(9/10) 4, l evento richiesto ha dunque probabilità 1-(9/10) 5 +5(1/10)(9/10) 4 3) In un gioco d azzardo viene estratto a caso un numero della tombola, vinci 2 euro se il numero estratto è multiplo di 10, vinci 1 euro se il numero estratto è multiplo di 3, perdi 1 euro in tutti gli altri casi. Calcola il tuo guadagno medio. GUIDA ALL ESERCIZIO 3: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?.saper definire una variabile aleatoria discreta, saper definire il valor medio di una variabile aleatoria discreta. Lez22(Lezione su variabili aleatorie discrete), Esercitaz (Esercitazione su variabili aleatorie) SOLUZIONE:La vincita o la perdita a questo gioco d azzardo deve essere interpretata come una variabile aleatoria discreta X che ha tre valori possibili: +2, +1, -1. Per definire la distribuzione di probabilità su tali valori si deve tenere conto delle regole del gioco: si vince 2 se il numero estratto è multiplo di 10, poiché ci sono 9 multipli di 10 tra i 90 numeri della tombola, questo evento accade con probabilità 9/90; si vince 1 se il numero estratto è multiplo di 3, poiché ci sono 30 multipli di 3 tra i 90 numeri della tombola, questo evento accade con probabilità 30/90; si perde 1 in tutti gli altri casi, che sono 90-39=51, quindi con probabilità 51/90 la variabile X assume il valore 1. Ricordando la definizione di valor medio E(X) di una variabile aleatoria discreta( somma dei prodotti tra i valori assunti dalla variabile e le corrispondenti probabilità), si calcola E(X)=2(9/90) + 1(30/90) 1(51/90)= -3/90 = - 1/10 4) Fai un esempio di funzione che sia decrescente su tutto R, abbia limite per x - uguale ad 1 e sia f(0)=-2 GUIDA ALL ESERCIZIO 4: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?.conoscere la definizione di funzione e della sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano; Conoscere le funzioni polinomiali, razionali, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche e loro inverse ed i loro grafici; Conoscere la definizione di funzione decrescente; conoscere il significato di limite, in particolare di limite finito per x e saper rappresentare graficamente questa proprietà

4 Lezioni12-13/11/08, Lezione 17/11/08, Lezione 26/11/08, Lezioni 01-03/12/08, Lezione 10/12/08, Lezione 11/12/08, Lezioni 15/12 e 17/12/08, Esercizi di riconoscimento di grafici, Esercitazioni 18 e 19/12/08, Esercitaz 11- I,II,III e IV parte SOLUZIONE: Si possono pensare ovviamente molte funzioni che soddisfano ai requisiti richiesti; la prima funzione, con limite finito per x -, a cui possiamo pensare è la funzione esponenziale e x, che è, però, una funzione crescente.basta allora prendere e x per avere una funzione decrescente; per soddisfare alla richiesta del limite dato e del valore assunto in x=0, introduciamo due costanti a, b : f(x)=a be x, imponiamo le due condizioni: lim x - f(x)=a =1, f(0)= a-b=-2, da cui a=1 e b=3, dunque f(x)= 1 3e x è una delle funzioni che soddisfano ai requisiti dell esercizio. 5) a) Calcola la derivata prima della funzione tan(πx); b) determina l insieme di tutte le primitive della funzione tan(πx). GUIDA ALL ESERCIZIO 5: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..come si definisce e come si calcola la derivata di una funzione; come si definisce e come si calcola una primitiva di una funzione Lez19(Lezione 17/02/09), Lez21(Lezioni 24-25/2/09 Integrali) ed Esercitaz19/2/09, Esercitaz26/2/09. SOLUZIONE: a) Si tratta di calcolare la derivata di una funzione composta, ricordando la derivata della funzione tangente e la regola di derivazione di una funzione composta, si ottiene π/cos 2 (πx); b) ricordando che una primitiva della funzione tanx è log cosx, si ottiene l insieme delle primitive log cos(πx) /π + k, per ogni k reale. 6) Studia la funzione f(x)=x 2 /log x e disegnane un grafico. GUIDA ALL ESERCIZIO 6: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio? Vedi quanto detto per l esercizio 4, e per l esercizio 5 (derivate), aggiungi Lez20(Lezione 18/2/09) SOLUZIONE: 1) Insieme di definizione: log x è definito per ogni x 0, essendo al denominatore si deve avere log x 0 e quindi x 1, -1, quindi la funzione è definita nell insieme (-, -1) (-1,0) (0,1) (1, + );

5 2) Si osserva che la funzione è pari, vale a dire f(-x)=f(x), quindi il grafico presenta una simmetria rispetto all asse delle ordinate, è quindi sufficiente condurre lo studio per x>0, e così faremo da ora in poi; 3) La funzione è positiva quando log x >0 quindi per x>1, e di conseguenza anche per x<-1; 4) Calcoliamo i seguenti limiti: limite per x 0 +,il numeratore tende a 0 il denominatore a -, quindi il loro rapporto è come il prodotto tra due infinitesimi, quindi il limite è 0, per x 1 +, il logaritmo tende a 0 positivamente, il numeratore tende a 1, quindi f(x) tende a + per x 1 -, il logaritmo tende a 0 negativamente, il numeratore tende a 1, quindi f(x) tende a - ed infine per x +, sia numeratore che denominatore tendono a +, ma sappiamo che l ordine di infinito del numeratore è superiore a quello del denominatore, quindi f(x) tende a + ; 5) calcoliamo la derivata prima(sempre per x>0), si ha f (x)= (2xlogx x)/(logx) 2, si osserva che f (x)=0 per 2logx-1=0, vale a dire logx=1/2, quindi per x= e, inoltre f (x)<0 per x< e, f (x)>0 per x> e, quindi in x= e si ha un punto di minimo relativo, e si ha f( e)=2e; 6) si osserva che l immagine della funzione è data dall insieme (-, 0) [ 2e, + ); 7) calcoliamo la derivata seconda, si ottiene f (x)=(2(logx)2-3logx+2)/(logx)3, studiando il segno si osserva che il numeratore è sempre positivo mentre il denominatore ha il segno di logx e quindi è positivo per x>1, ne segue che f (x)>0 per x>1 e quindi la funzione è convessa(concavità verso l alto), mentre per 0<x<1 f (x)<0 e dunque f(x) è concava; 8) calcolando il limite destro per x che tende a 0 della derivata prima si ottiene 0 e questo ci dice che il grafico di f(x) (riportato qui di seguito) ha tangente orizzontale in x=0.

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