Strumenti derivati: aspetti introduttivi. Outline. Il contratto forward. Generalità sugli strumenti derivati. Payoff del contratto forward

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1 Srumeni derivai: aspei inroduivi Ouline Conrai forward, fuures e opzioni: descrizione degli srumeni ed esempi di sraegie operaive Prof. Fabio Bellini fabio.bellini@unimib.i Universià di Milano Bicocca Diparimeno di Meodi Quaniaivi Il mercao IDEM Inroduzione al pricing: il modello binomiale e il modello di Black-Scholes Analisi di sensiivià e gesione di porafogli di derivai Volailià sorica e volailià implicia Generalià sugli srumeni derivai Il conrao forward Il loro valore deriva (nel senso di dipende dal valore di un alro srumeno finanziario, deo soosane (underlying. Gli esempi più semplici sono i conrai forward, i conrai fuures e le opzioni. I soosani possono essere di naura molo diversa: singole azioni, indici azionari, indici obbligazionari, assi di cambio, commodiies, elericià, Una prima macrodisinzione è ra srumeni lineari (forward, fuures, ma anche swap plain vanilla e srumeni nonlineari (opzioni e più in generale opzioni esoiche. La prima classe non necessia di srumeni maemaici paricolarmene sofisicai. Il conrao forward è il derivao più semplice. Con esso due pari si accordano per scambiarsi il soosane a una daa fuura T (mauriy ad un prezzo prefissao F che viene deo prezzo forward. Si dice che la pare che si impegna ad acquisare il soosane ha una posizione forward lunga menre quella che si impegna a venderlo ha una posizione forward cora. Generalmene F viene scelo in modo che non siano necessarie uleriori compensazioni alla sipula del conrao. La moivazione è evidene: araverso queso conrao (che è ipicamene bilaerale e negoziao over he couner, cioè non in un mercao regolamenao vero e proprio le due conropari eliminano il rischio legao all incerezza del prezzo del soosane al empo T. Payoff del conrao forward Replicazione del payoff Evidenemene, ex pos il conrao sarà vanaggioso solo per una delle due conropari (l alra avrebbe fao meglio a non prendere la posizione forward. Il valore del conrao a scadenza, in funzione del soosane, viene in generale chiamao payoff dello srumeno derivao. Forward lungo Forward coro Il valore a scadenza della posizione lunga è -F; quello della posizione cora è F-. La somma dei payoff è ; i forward (e in generale i derivai sono un gioco a somma nulla. I forward sono paricolarmene semplici in quano il loro payoff è una rea, dal puno di visa maemaico vengono dei srumeni lineari. Queso consene di deerminare il prezzo forward araverso un semplice argomeno deo di replicazione. Se conemporaneamene: F F i compro il soosane ii prendo a presio un imporo pari a F aualizzao (cioè Fe -r(t-, dove r è il asso di ineresse e la daa di oggi oeniamo a scadenza lo sesso payoff di un conrao forward lungo.

2 Replicazione del payoff/ Parià spo/forward Acquiso soosane Forward lungo F -F Prendo a presio F Ne segue che il coso del conrao forward f deve essere pari al coso del porafoglio replicane: r ( T f = S Fe Usualmene (ma quesa non è l unica possibilià, le due pari scelgono il prezzo forward F in modo che f =, cioè che non ci siano pagameni alla sipula del conrao. Queso fornisce la relazione F = r Se ( T che è noa come parià spo/forward, che può essere generalizzaa al caso in cui il soosane preseni un dividend yield q (che può anche rappresenare gli ineressi in valua nel caso di un asso di cambio o i cosi di soccaggio nel caso di una commodiy: F = Se ( r q ( T -F Verifiche empiriche Verifiche empiriche/ La relazione appena visa è il più semplice modello di pricing di uno srumeno derivao. Alcune ipoesi non sono del uo realisiche (ad esempio, l assenza di cosi di ransazione oppure la naura non aleaoria del asso di dividendo q uavia non è sao necessario fare ipoesi sul soosane a scadenza. In praica la parià spo/forward è verificaa abbasanza bene dai prezzi di mercao; spesso è uilizzaa al conrario per esrarre un asso di dividendo implicio dai prezzi forward L esisenza di quesa relazione eorica evidenemene non rende inuili i mercai forward, in quano sussisono varie asimmerie ra l acquiso e la deenzione del soosane e l acquiso a ermine del soosane. FTSEMIB Fu Se 9 Fu Dec 9 I conrai fuures I conrai fuures differiscono dai conrai forward sosanzialmene per re aspei: - sono raai in mercai regolamenai su quaniaivi e soosani sandardizzai - ciascun conrao ha come conropare la Cassa di Compensazione e Garanzia - e previso un meccanismo di marking o marke per cui guadagni e perdie vengono calcolai e addebiai giornalmene Lo scopo è quello di eviare che una delle conropari venga meno agli impegni presi; quese imporanissime differenze di sruura del mercao hanno in generale uno scarso impao sui prezzi: prezzi forward e prezzi fuure sono generalmene molo vicini; eoricamene si può dimosrare che rascurando la naura aleaoria dei assi di ineresse devono coincidere. Il meccanismo del marking o marke Per aprire una posizione fuures è necessario avere su un cono associao alla posizione (cono margine un margine iniziale, che è pari (si veda la pare finale ad una percenuale fissaa del valore nominale del conrao. Nel caso dei fuures con soosane FTSEMIB quesa percenuale è aualmene del 4,5%. La variazione del prezzo di chiusura viene addebiaa o accrediaa (a seconda del segno della posizione e del segno della variazione giornalmene (da cui il nome di marking o marke. Se il cono margine divena insufficiene allora l invesiore riceve una chiamaa di margine (margin call che deve essere soddisfaa rapidamene pena la chiusura auomaica della posizione. Il fao che sia possibile operare su un valore nominale più elevao con un margine pari solano a una frazione dà origine al cosiddeo effeo leva (leverage dei conrai fuures.

3 Il meccanismo del marking o marke/ Il meccanismo del marking o marke/3 Consideriamo come esempio una posizione lunga su un fuure con scadenza Seembre 9 avene come soosane il FTSE MIB. Nel periodo considerao non è necessario adeguare il margine; considerando a puno (Mini FTSE MIB abbiamo: fu se 9 long variazione margine (4,5% cono margine 3/8/ ,73 36,73 4/8/ ,65 3,73 5/8/ ,78 36,73 6/8/ ,85 385,73 7/8/ , ,73 /8/ , ,73 /8/ , ,73 /8/ , ,73 3/8/ , ,73 4/8/ ,49 374,73 Il soosane è salio del 3,3%, il conrao fuure del,73%. E facile vedere che il leverage (deo anche elasicià è pari a 6,9 =,73% / 3,3% = /,45. Nel caso di una posizione cora, viso il movimeno rialzisa del soosane, sono necessari diversi adeguameni: fu se 9 long variazione margine (4,5% cono margine aggiuna 3/8/ ,73 36,73 4/8/ ,65 34,73 5/8/ ,78 346,73 6/8/ ,85 367,73 9 7/8/ ,335 37,73 35 /8/ ,75 355,73 /8/ , ,73 /8/ , ,73 3/8/ ,75 375,73 6 4/8/ , ,73 Sul cono margine abbiamo guadagnao 4 puni a cui pero devono essere oli puni di aggiune complessive, oenendo una perdia di 688 puni (pari alla variazione del fuure: =688. Usi dei conrai fuures Coperura a varianza minima Grazie al meccanismo del marking o marke, è possibile operare con una leva finanziaria fissaa. Gli usi piu comuni sono: Sraegie speculaive direzionali Sraegie di coperura Spread rading Il volume di un conrao fuure è il numero di posizioni apere o chiuse durane una giornaa. L open ineres del conrao è pari al numero di posizioni lunghe (che è pari al numero delle posizioni core rimase apere a fine giornaa. In una operazione di coperura ramie fuures, non sempre è disponibile un conrao sul soosane opporuno o con la scadenza opporuna. La differenza ra il prezzo spo e il prezzo fuure viene dea base; il rischio dovuo alla coperura imperfea viene chiamao basis risk. E possibile dimosrare che in caso di coperure imperfee il rapporo di coperura h (rapporo ra il conrovalore fuure e il conrovalore spo che minimizza la varianza della base è dao da: σ S h = ρ σ dove ρ è la correlazione ra le variazioni del soosane e del fuure, σ S è la deviazione sandard delle variazioni del soosane e σ F quella del fuure. F I conrai di opzione I conrai di opzione/ Al conrario dei conrai forward e fuures, i conrai di opzione forniscono il dirio (ma non l obbligo di acquisare (opzione call o di vendere (opzione pu il soosane alla scadenza T (mauriy a un prezzo prefissao che viene chiamao srike price. Al conrario dei conrai forward e fuures, i conrai di opzione forniscono il dirio (ma non l obbligo di acquisare (opzione call o di vendere (opzione pu il soosane alla scadenza T (mauriy a un prezzo prefissao che viene chiamao srike price. Anche qui, possiamo facilmene disegnare i payoff: Esempi: Una opzione call sul FTSEMIB con srike e scadenza seembre mi dà il dirio di acquisare il FTSEMIB il 8/9/9 a. A scadenza l opzione non varrà nulla se il FTSEMIB è soo, menre varrà la differenza - se il FTSEMIB è sopra. In formule, il payoff della call è dao da max(,. Acquiso call Acquiso pu Una pu con srike invece mi da il dirio a vendere a ; essa non varrà nulla se >, menre vale la differenza nel caso conrario. In formule, il payoff della pu è dao da max(,. 3

4 I conrai di opzione/3 I conrai di opzione/4 Al conrario dei conrai fuures, per acquisire il dirio insio in un opzione è necessario pagare un premio. L acquirene del conrao call o pu paga quindi al vendiore (deo anche wrier della opzione il premio e in cambio oiene i payoff rappresenai nella slide precedene (che ovviamene possono anche essere nulli: in queso caso si è semplicemene perso il premio. Il vendiore invece riceve il premio ed evenualmene paga all acquirene il suo payoff; le sue posizioni quindi possono essere: Vendo call Vendo pu I profii complessivi (profis, da non confondere con i payoffs delle due posizioni lunghe sono espressi in quesi grafici: Acquiso call Acquiso pu -P -P I conrai di opzione/5 Un po di erminologia Nel caso delle opzioni core abbiamo perdie poenzialmene anche molo elevae, illimiae nel caso della call Un opzione si dice europea se può essere eserciaa solo alla scadenza T; si dice americana se può essere eserciaa in qualsiasi momeno fino alla scadenza. P Vendo call P Vendo pu Un opzione si dice in he money (ITM se è immediaamene eserciabile con profio; cioè se lo srike è inferiore al soosane nel caso di una call oppure se è superiore al soosane nel caso di una pu. Un opzione si dice ou of he money (OTM se invece eserciaa immediaamene avrebbe valore nullo. Le opzioni per cui lo srike coincide con il soosane si dicono a he money (ATM. Il valore di una opzione si decompone in valore inrinseco (quano oerrei da un esercizio immediao e valore emporale (legao alla variabilià fuura del soosane. Prime osservazioni Pu call pariy L acquirene di una call fa una scommessa rialzisa sul soosane; l acquirene di una pu una scommessa ribassisa. Rispeo a una posizione fuures, il grado di leva finanziaria può essere molo variabile, e dipende sosanzialmene dalla moneyness Opzioni deep ou of he money (con una probabilià di esercizio molo bassa hanno una leva molo elevaa menre opzioni deep in he money (per cui l esercizio è virualmene cero hanno una leva inferiore. Alla scommessa direzionale si unisce una scommessa sulla volailià: sia nel caso della call che in quello della pu l acquirene beneficia di un aumeno della volailià. Chi vende una opzione ha una perdia poenziale molo elevaa, anche illimiaa, nel caso della call; per queso è necessario un sisema di marginazione simile a quello dei conrai fuures. Il prezzo di una call e quello di una pu con lo sesso soosane, la sessa mauriy T e lo sesso srike sono collegai: Compro call Vendo pu Forward lungo 4

5 Pu call pariy / Sraegie più complicae Dao che il payoff che si oiene comprando una call e vendendo una pu con lo sesso srike coincide con quello di un conrao forward, ne segue il coso dei due modi di oenere lo sesso payoff deve essere lo sesso (principio di non arbiraggio. Si oiene quindi C P = S e r ( T Spesso si combinano più posizioni sullo sesso soosane e sulla sessa scadenza. Per esempio acquisando una call con srike e vendendo una call con srike > oeniamo uno spread rialzisa: Compro call Vendo call Spread rialzisa noa come pu/call pariy. Nel caso di un dividend yield coninuo q abbiamo C P = S e ( r q ( T Si raa di una posizione rialzisa in cui il premio è limiao da un eo massimo al payoff. Sraegie più complicae/ Sraegie più complicae/3 Se al conrario compro una call sullo srike superiore e la vendo su quello inferiore, il payoff è uno spread ribassisa: Unendo uno spread rialzisa su e con uno spread ribassisa su e 3, oeniamo una sraegia molo diffusa, dea buerfly: Vendo call Compro call Spread ribassisa Spread rialzisa Spread ribassisa Buerfly 3 3 Anche qui, rispeo alla vendia della call con srike, si incassa oggi un premio minore a frone di una minore perdia poenziale a scadenza. Si puna sul fao che il soosane sia in un cero range risreo, si puna su una convergenza del soosane. E sosanzialmene una sraegia cora sulla volailià. Sraegie più complicae/4 Sraegie più complicae/5 Comprando una call e una pu sullo sesso srike price (ipicamene a he money oeniamo uno sraddle: Compro call Compro pu Sraddle Comprando una call e una pu su diversi srike > (ipicamene molo ou of he money oengo uno srangle: Compro call Compro pu Srangle Si puna ad una variazione del soosane, a prescindere dalla direzione. Se enrambe le opzioni sono ATM è abbasanza cososa. E sosanzialmene una posizione lunga sulla volailià. E molo simile alla precedene, in queso caso essendo le opzioni OTM si spende meno ma per avere un guadagno occorre una variazione (posiiva o negaiva maggiore. E anch essa una posizione lunga sulla volailià con una leva maggiore. 5

6 Commeni Le opzioni sono beni deperibili; c e sempre una probabilià posiiva di perdere uo il capiale invesio, che può essere elevaa nel caso delle opzioni OTM. Il fao che la perdia sia limiaa dal premio iniziale non deve rarre in inganno: è sempre del %! L acquiso di opzioni consene di realizzare sraegie lunghe o core sulla volailià, a prescindere dall andameno direzionale del soosane; si dice che il mercao delle opzioni rende la volailià un bene quoao. Rialzise: Fu Se 9 long Call Call Ribassise: Fu Se 9 shor Pu Pu Sraegie a confrono Periodo considerao: 3-8/8/9 (4 seimane, giorni di rading Soosane: FTSEMIB Mauriy: Seembre 9 Prezzi uilizzai: chiusure Le coperure mediane opzioni sono più flessibili rispeo a quelle mediane fuures ma richiedono indubbiamene una modellizzazione più complicaa. Sulla volailià: Buerfly (Call, - Call, Call Sraddle (Call, Pu Srangle (Call, Pu Il daase - Fuures Il daase - Call FTSEMIB Index fu se 9 fu dec 9 3/8/9 94, /8/9 966, /8/9 96, /8/9 8, /8/9 4, /8/9 576, /8/9 68,5 6 9 /8/9 546, /8/9 87, /8/9 55, /8/9 96, /8/9 47, /8/9 3, /8/9 394, /8/9 896, /8/9 354, /8/9 473, /8/9 554, /8/9 474, /8/9 67, Fone: Bloomberg FTSEMIB Index fu se 9 fu dec 9 call /8/9 4/8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ Fone: Bloomberg Il daase - Call / Il daase - Pu 3 pu /8/9 5 4/8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/9 5/8/9 /8/9 9/8/9 7/8/9 3/8/9 /8/9 7/8/9 5/8/9 3/8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ Fone: Bloomberg 6

7 Il daase - Pu / Sraegie rialzise FTSEMIB fu se 9 call call,,,, 3/8/9 4/8/9,5 3,7 3,9 9,33 5/8/9,3,97,36,9 6/8/9, 8,56,9 6,3 7/8/9,33 8,4 4,96 4,7 /8/9 3,7 3,8 34,79 56,7 /8/9,69,79 7, 9,4 /8/9 3,,37 3,39 44, 3/8/9 4,36 3,75 48,3 77,55 4/8/9 3,5,73 3,7 38,48 7/8/9,3 3,7 99,9 84,84 8/8/9,59,63 4,9 9,6 9/8/9,4 8,46 7,4 97,96 /8/9,9 7,58,46 3,7 /8/9 4,7 33,4 5,96 7,7 4/8/9 6,89 48,86 8,7 44,6 5/8/9 7,46 53,5 89, 67,35 6/8/9 7,84 55,4 94, 75,5 7/8/9 7,46 53,69 86,85 49,85 8/8/9 8,4 58,97,8 85,4 3, 5,, 5,, 5,, FTSEMIB fu se 9 call call Sraegie ribassise Sraegie sulla volailià FTSEMIB fu se 9 pu pu 3/8/9 4/8/9,57 96,886 98, /8/9,98 97,649 96,668 97,3856 6/8/9,43 9,449 88,554 88,8339 7/8/9,33 8,866 65,456 75,9773 /8/9 3,659 76,789 55,84 66,99647 /8/9,699 87,39 7,966 79,9933 /8/9 3,5 77,6363 5,579 66,364 3/8/9 4,364 68,4956 4,869 54,6898 4/8/9 3,53 77,69 5,793 64,6643 7/8/9,9 96, , ,4756 8/8/9, ,379 7, ,6 9/8/9,43 9,543 73, ,59364 /8/9,949 8,438 53, ,96466 /8/9 4, , , ,554 4/8/9 6,887 5,3538, ,789 5/8/9 7,456 46, ,5888 3, /8/9 7,845 44, ,654 7,848 7/8/9 7,466 46,37,684 6,5744 8/8/9 8,46 4,546 9,579439, FTSEMIB Index buerfly sraddle srangle,,,, 3/8/9 4/8/9,5 98,4,43 4,5 5/8/9,3,96 99,74 99, 6/8/9,,,96,78 7/8/9,33 94,,6 99,6 /8/9 3,7 96,8,96,5 /8/9,69,76 95,98 93,3 /8/9 3,, 96,68 93,6 3/8/9 4,36 88,4,47,3 4/8/9 3,5 3,9 94,7 89,75 7/8/9,3 5,88 9,4 86,5 8/8/9,59 3,9 93,7 87,94 9/8/9,4 7,65 9,75 84,3 /8/9,9 9,8 89,6 8,54 /8/9 4,7 9,6 98,79 94,8 4/8/9 6,89 7,55 3,4 9,97 5/8/9 7,46 66,67 9,8 9,57 6/8/9 7,84 6,78 9,9 3,6 7/8/9 7,46 78,43,8 7,64 8/8/9 8,4 5,94,38 3,3 4,,, 8, 6, 4,,, FTSEMIB fu se 9 pu pu FTSEMIB Index sraddle buerfly srangle Il mercao IDEM Srumeni quoai Soosani quoai: fuures sull indice FTSE MIB (FIB e MiniFIB opzioni sull indice FTSE MIB (Mibo fuures e opzioni su 48 azioni liquide e ad elevaa capializzazione Scadenze quoae: scadenze mensili più vicine 4 scadenze rimesrali del ciclo marzo, giugno, seembre, dicembre 4 scadenze semesrali del ciclo giugno dicembre dei due anni sucessivi a quello in corso scadenze annuali di dicembre del erzo e quaro anno successivo a quello in corso (solo MIBO Fone: Borsaialia, guida Conoscere gli srumeni derivai. 7

8 Scadenze quoae L indice FTSE MIB Le uniche opzioni quoae su scadenze exralunghe sono le Mibo; le scadenze lunghe sono quoae anche per 8 ioli azionari (Generali, Enel, Eni, Fia, Inesa, STM, Telecom, Unicredi. L indice FTSE MIB ha sosiuio dal giugno 9 l indice S&P/MIB come soosane per il FIB e le MIBO. Ecco i primi ioli: iolo ENI 4,7% Inesa-Sanpaolo,9% Unicredio SpA,6% ENEL,% Generali 9,58% Telecom Ialia Ord 5,78% Unione Di Banche Ialiane 3,% Fia,34% Tenaris,3% Finmeccanica,8% Fone: FTSE Group, ioli cosiueni dopo revisione al 3 marzo 9 peso Le regole di aggiornameno sono simili a quelle del precedene S&P/MIB. Fone: Borsaialia, guida Conoscere gli srumeni derivai. L indice FTSE MIB/ FIB e MiniFIB Sono i fuures sul FTSE MIB. Differiscono solo per il valore di un puno base, pari rispeivamene a 5 e a. Alre caraerisiche: Il FIB quoa le 4 scadenze del ciclo rimesrale più vicine, il MiniFIB solo le due scadenze più vicine. Una nuova scadenza viene quoaa il primo giorno di borsa apera successivo alla scadenza di un conrao. La scadenza è il erzo venerdì del mese e il soosane a scadenza ( prezzo di regolameno è il valore del FTSE MIB calcolao alle 9.5 sui prezzi di aperura dei ioli che compongono il paniere Il prezzo di chiusura giornaliero è la media ponderaa sulle quanià dell ulimo % scambiao nella giornaa Aualmene il margine richieso per enrambi i conrai è sao porao al 4,5%.. Fone: Bloomberg Mibo Mibo/ Sono le opzioni aveni come soosane l indice FTSE MIB. Si raa di opzioni di ipo europeo (l esercizio è ammesso solo alla scadenza Ciascun puno indice vale,5 Il premio viene pagao il giorno successivo alla daa di negoziazione Sono quoae le scadenze brevi, lunghe ed exra-lunghe Come per FIB e MiniFIB, la scadenza è il erzo venerdì del mese e il soosane a scadenza ( prezzo di regolameno è il valore del FTSE MIB calcolao alle 9.5 sui prezzi di aperura dei ioli che compongono il paniere Sulle scadenze brevi sono quoai almeno 5 prezzi srike con inervalli di 5 puni; su quelle lunghe ed exra-lunghe almeno con inervalli di puni (la liquidià uavia è veramene molo bassa Come per FIB e MiniFIB, l inervallo del margine è pari al 4,5%... Fone: Bloomberg 8

9 Sock fuures Sock opions Sono i fuures quoai sui 48 soosani azionari. Ciascun conrao fa riferimeno all acquiso o alla vendia di un loo minimo di conrai ( moliplicaore. Sono quoae le 6 scadenze brevi. Una nuova scadenza viene quoaa il primo giorno di borsa apera successivo alla scadenza di un conrao. La scadenza è il erzo venerdì del mese e il soosane a scadenza ( prezzo di regolameno è il prezzo di aperura A scadenza è previsa la consegna fisica del soosane (physical delivery. Sono le opzioni quoae sui 48 soosani azionari. Si raa di opzioni di ipo americano, è cioè possibile l esercizio anicipao Ciascun conrao fa riferimeno all acquiso o alla vendia di un loo minimo di conrai ( moliplicaore Il premio viene pagao il giorno successivo alla daa di negoziazione Sono quoae le scadenze brevi e lunghe; su 8 ioli anche le exra-lunghe. Una nuova scadenza viene quoaa il primo giorno di borsa apera successivo alla scadenza di un conrao. La scadenza è il erzo venerdì del mese; il prezzo di regolameno è il risulao dell asa di chiusura dell ulimo giorno di conraazione del soosane... Loi minimi (moliplicaori iolo mol. mol. iolo mol. FTMIB,PARMALAT. 5,EXOR miniftmib,fastweb,pirelli & C 5. FTMIB,5FIAT 5,PRYSMIAN AA.5,FINMECCANICA 5,RCS. ACEA 5,FONDIARIA SAI,SAIPEM 5 ALLEANZA 5,GENERALI,SARAS. ATLANTIA 5,GEOX 5,SEAT PAGINE GIALLE 5. AUTOGRILL 5,IMPREGILO 5,SNAM RETE GAS. BANCA MONTE PASCHI SIENA.,INTESA SAN PAOLO.STMICROELECTRONICS BANCA POPOLARE MILANO 5,INTESA SAN PAOLO RNC.TELECOM ITALIA. BANCO POPOLARE 5,ITALCEMENTI TELECOM ITALIA RNC. BULGARI.,LOTTOMATICA TENARIS 5 BUZZI UNICEM,LUXOTTICA GROUP 5TERNA 5. ENEL 5,MEDIASET.TISCALI. ENI 5,MEDIOBANCA 5UBI BANCA 5 ERG 5,MEDIOLANUM 5UNICREDIT. ESPRESSO.,MONDADORI.UNIPOL. Fone: Borsaialia Il problema del pricing Al conrario degli srumeni lineari, le opzioni non possono essere valuae senza un modello probabilisico (anche molo semplice del soosane. Senza fare ipoesi, al massimo possiamo dare dei vincoli al prezzo di una opzione araverso la superreplicazione e la subreplicazione. S - e -r(t- < C < S e -r(t- S < P Fabio < Bellini 9 Faori che deerminano il prezzo Faori che deerminano il prezzo/ Vari faori deerminano il prezzo di una opzione: il prezzo del soosane S e il livello dello srike congiunamene deerminano il grado di moneyness della opzione. Più l opzione è in he money, maggiore è la probabilià di esercizio e maggiore è il suo valore. Nel caso di una call, la moneyness è elevaa se S è alo e è basso, menre nel caso di una pu dobbiamo avere alo e S basso. la volailià annua del soosane σ e la via residua τ=τ influenzano posiivamene il prezzo sia delle call che delle pu. Il moivo è che una maggiore volailià del soosane o una maggiore via residua aumenano la variabilià del soosane a scadenza. Le variazioni negaive non incidono sul payoff, che è sempre nullo, menre quelle posiive lo aumenano. Perano l effeo complessivo è posiivo. il asso privo di rischio r ha una scarsa influenza sul prezzo delle opzioni; il asso di dividendo (dividend yield q influenza negaivamene le call e posiivamene le pu, in quano riduce la crescia del soosane, avvanaggiando quindi le pu rispeo alle call. Riassumendo, se il faore nella prima colonna aumena, abbiamo: Call Pu Soosane S Cresce Decresce Srike Decresce Cresce Volailià annua σ Cresce Cresce Time o mauriy τ Cresce Cresce Dividend yield q Decresce Cresce 9

10 La volailià sorica / La volailià di cui siamo parlando prende il nome di volailià sorica (per disinguerla da quella implicia che inrodurremo in seguio per mezzo del modello di Black-Scholes ed è pari alla deviazione sandard dei logrendimeni giornalieri, riporaa su base annua. Il logrendimeno giornaliero è definio da X S S = S S + = S + = + ln ln ln dove R è l usuale rendimeno semplice. ( + R R I logrendimeni hanno però il vanaggio di essere quanià addiive (ad esempio, il logrendimeno su un anno è la somma dei logrendimeni giornalieri, menre nooriamene non si possono sommare i rendimeni semplici. La volailià sorica / I logrendimeni e i rendimeni semplici si esprimono comunemene in percenuale. La volailià giornaliera è la deviazione sandard dei logrendimeni giornalieri: n g σ = ( X i µ n µ = n n i = X i = i Essa varia nel empo e dipende dalla base n (numero di giorni su cui calcolo la media e la deviazione sandard. La volailià annua è daa da σ = σ a g N dove convenzionalmene si prende N=6 (approssimaivamene i giorni di borsa apera. Sono a vole uilizzai indici alernaivi che engono anche cono di massimo, minimo, aperura, chiusura, o anche della inera serie delle quoazioni della giornaa (volailià inraday. La volailià sorica /3 La volailià sorica /4,%,% 8,% 6,% 4,%,%,% 5/5/5 5/5/6 5/5/7 5/5/8 5/5/9 vol g vol 5g vol g Fone: Bloomberg Fone: Bloomberg Il modello binomiale Il modello binomiale / Per fare un modello di pricing di una opzione è necessario fare delle ipoesi disribuzionali sul soosane. Il modello più semplice è il modello binomiale uniperiodale, in cui a scadenza il soosane può avere due solo valori Su oppure Sd, con u>d. ( u sa per up e d per down. S Su Sd In queso modello è possibile replicare (come nel caso del conrao forward qualsiasi payoff (C u, C d, deerminando un unico prezzo iniziale C. C C u C d Con qualche calcolo si oiene dove C = r u e q { qc + ( q C } r e d = u d viene dea probabilià neurale al rischio (dello sao up. Il prezzo è perano dao dal valore auale del valore aeso neurale al rischio del payoff. Quesa sruura è comune a ue le formule di pricing basae sulla replicazione (meodo chiamao valuazione di non arbiraggio. La probabilià effeiva ( reale di un movimeno up non gioca alcun ruolo. d

11 Il modello binomiale /3 Il modello binomiale /4 Due sai sono pochi per una descrizione realisica del soosane a scadenza; usualmene si suddivide la via residua in n (di solio ra 3 e inervallini: S Su Sd Su. Sud.. Sd.. Usualmene (ma non è l unica possibilià i parameri u e d vengono sceli così: u = e σ d = = e u σ Il prezzo iniziale può essere facilmene oenuo araverso un procedimeno a riroso che viene deo backward inducion. Il vanaggio principale di queso modello (olre alla sua semplicià è la possibilià di prezzare opzioni americane, valuando in ciascun nodo la oimalià dell esercizio anicipao. Si raa del modello di riferimeno in Bloomberg e del modello di riferimeno di Borsaialia per il calcolo del Theoreical Fair Value nei diversi casi in cui si renda necessario. Il modello di Black-Scholes Il modello di Black-Scholes/ Si raa sosanzialmene del modello in empo coninuo che si oiene facendo endere a nel modello binomiale. Come vedremo, è un modello di fondamenale imporanza, e per esso a Myron Scholes e Rober Meron è sao assegnao il premio Nobel per l Economia nel 996. Le assunzioni fondamenali possono essere riassune in queso modo: i logrendimeni relaivi a inervalli di empo disini sono indipendeni i logrendimeni hanno una disribuzione normale la loro deviazione sandard (volailià sorica σ è cosane nel empo è possibile ribilanciare i porafogli isane per isane (si dice che il modello è in empo coninuo Alre assunzioni minori sono: l assenza di cosi di ransazione la possibilià di invesire o prendere a presio allo sesso asso privo di rischio r Soo quese ipoesi, non così irrealisiche in prima approssimazione, è possibile cosruire un porafoglio ribilanciao isane per isane che a scadenza replica il payoff della opzione call. La maemaica è più complessa ma l idea è la sessa della replicazione dei conrai forward o dei payoff del modello binomiale. Il risulao è la famosa formula di Black-Scholes: C = Se N ( x = q ( T N ( d e S σ ln( + ( r q + ( T d = σ T d = d σ T π x e d r ( T N ( d C = prezzo della call S = prezzo del soosane = srike price σ = volailià annua r = asso privo di rischio q = asso di dividendo T- = via residua N(x = funzione di disribuzione di una normale sandard Il modello di Black-Scholes/3 Esempio numerico Nonosane l apparene complessià, si raa di una formula semplice, facilmene implemenabile anche in Excel La sruura è la solia: valore auale del valore aeso neurale al rischio del payoff. Il caso della pu può essere facilmene ricavao da quello della call araverso la pu/call pariy Il ermine ln(s/ viene spesso usao come misura del grado di moneyness della opzione Il ermine N(d è pari alla probabilià neurale al rischio di esercizio della opzione call Il dividend yield q può essere uilizzao per applicare il modello a opzioni su assi di cambio, commodiies, fuures (con q=r. Il prezzo della call dipende da 6 parameri, ui osservabili ad eccezione di σ (volailià sorica. Prezzo call Prezzo pu Soosane S Soosane S S varia ra 8 e = σ = % r = 3% q = T- = anno

12 Le greeks Il dela Il vanaggio principale di una formula analiica (in conrapposizione ad esempio a una procedura di simulazione è la possibilià di fare una analisi di sensiivià, cioè nel nosro caso di valuare la variazione del prezzo della call rispeo alle variazioni dei singoli parameri. Colleivamene le diverse derivae parziali vengono indicae con leere greche; le più imporani sono il dela, l elasicià, il gamma e il hea. Sebbene come vedremo il modello di Black-Scholes non riesca a caurare alcune proprieà dei prezzi delle opzioni, è in grado di cogliere almeno qualiaivamene diverse proprieà delle greeks, che rimangono comunque le principali variabili arge che il rader di opzione conrolla sempre prima di aprire una posizione. Il dela di una opzione è dao dalla derivaa del prezzo rispeo al soosane. Esprime la variazione (in ermini assolui, e non percenuali del prezzo della opzione per una variazione uniaria molo piccola del soosane. In formule C = S Nel modello di Black-Scholes possiamo calcolarlo espliciamene oenendo menre dalla pu/call pariy oeniamo call = N ( d pu = N ( d Il dela/ Esempio numerico / Dao che la funzione N(x, che rappresena una probabilià, è crescene e compresa ra e, abbiamo che: il dela di una call è posiivo e compreso ra e, quello di una pu è negaivo e compreso ra - e il dela di una call è prossimo a per opzioni deep OTM, menre è prossimo a per opzioni deep ITM (in queso caso abbiamo una viruale cerezza di esercizio proprieà analoghe valgono per il dela della pu per avere un idea della leva di diverse opzioni è necessario considerare l elasicià, definia come la variazione percenuale dell opzione per una variazione percenuale molo piccola del soosane. dela pu dela call,9,8,7,6,5,4,3,, Soosane S -, , -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -,9 - Soosane S S varia ra 8 e = σ = % r = 3% q = T- = anno L elasicià 3 Esempio numerico /3 In formule, nel modello di Black-Scholes l elasicià Ω è daa da: C Ω = C S S C S S S = = = N ( d S C C C / In generale, le opzioni deep OTM hanno una elasicià molo elevaa (in valore assoluo: quindi molo posiiva nel caso delle call e molo negaiva nel caso delle pu. Sono quindi le più sensibili a una variazione del soosane; il loro incremeno in ermini assolui è modeso (hanno un basso dela ma in ermini percenuali è rilevane (hanno un elevao omega. E inolre possibile verificare che, nelle assunzioni di BS, la volailià dei rendimeni di una opzione è pari al prodoo ra la elasicià e la volailià del soosane. omega pu omega call Soosane S Soosane S S varia ra 8 e = σ = % r = 3% q = T- = anno

13 Il gamma Il hea Il gamma rappresena la curvaura della funzione C(S. In formule semplicemene C Γ = S N ' ( d = S σ T Dalla pu call pariy vediamo immediaamene che il gamma della pu e quello della call coincidono. Il gamma è massimo per opzioni ATM e ende a per opzioni deep ITM o deep OTM (in queso caso infai la curvaura ende a. Il hea (deo anche ime decay rappresena invece la variazione dovua al mero scorrere del empo (che quindi è ipicamene negaiva: C Θ = Nel modello di BS è effeivamene negaivo e ha una espressione esplicia un po lunga che non riporiamo. E massimo (in valore assoluo, quindi è piu negaivo per opzioni ATM. Il modello di BS prevede una sora di compensazione ra le diverse greeks espressa dalla celebre equazione di Black-Scholes Θ + rs + Γ σ S = rc gama call hea call,45,4,35,3,5,,5,,5 -,5 - -,5 - -,5-3 -3,5 Esempio numerico / Soosane S S varia ra 8 e = σ = % r = 3% q = T- = anno Greeks di porafoglio L analisi di sensiivià faa su singole opzioni si applica senza alcuna variazione anche alle sraegie che abbiamo viso: spread, buerfly, sraddle, srangle, ec. La greek di porafoglio è semplicemene daa dalla somma delle greek delle singole posizioni moliplicae per le quanià. Per esempio, nel caso di uno sraddle abbiamo sraddle = call + pu = N ( d Considerando posizioni più complicae, divena possibile avere valori arbirari delle greeks, fao salvo il vincolo della già ricordaa equazione di BS Θ + rs + Γσ S = rc -4 Soosane S Classificazione delle posizioni Verifiche empiriche del modello di BS/ Molo schemaicamene, possiamo classificare una generica posizione in opzioni araverso dela, gamma e hea di porafoglio. (Cox-Rubinsein, Opion Markes Iniziamo valuando quano le ipoesi base del modello di BS siano verificae in praica, ad esempio sulla serie dei logrendimeni del FTSEMIB dal //5: 5,%,% 5,%,% 4//5 4//6 4//7 4//8 4//9-5,% -,% logrendimeni FTSEMIB Fabio Bellini 3

14 QQ Plo of Sample Daa versus Sandard Normal Sandard Normal Quaniles Verifiche empiriche del modello di BS/ Verifiche empiriche del modello di BS/3 E evidene la presenza di picchi sia posiivi che negaivi (dell ordine del % che corrispondono al ben noo fenomeno delle code pesani (fa ails. E anche evidene che c e una alernanza ra fasi di ala volailià e fasi di bassa volailià, che quindi solo in prima approssimazione può essere consideraa cosane Quaniles of Inpu Sample Fone: Bloomberg Verifiche empiriche del modello di BS/4 La volailià implicia Riassumendo, le ipoesi saisiche sul soosane sono verificae solo in una cera misura, per la presenza di code pesani. E anche da dire che modelli più realisici richiedono necessariamene un maggior numero di parameri e sono quindi inrinsecamene meno robusi rispeo alla normale, che è quindi da considerare un modello ragionevole in prima approssimazione. E da capire che non esisono modelli giusi o sbagliai in assoluo, ma ipicamene la bonà di un modello si misura lungo diverse dimensioni, per esempio la semplicià, la disponibilià di formule analiiche, la robusezza, la facilià di implemenazione. Su esi divulgaivi o giornalisici (di solio da pare di non esperi di modelli quaniaivi si leggono spesso sciocchezze colossali. Mi pare un oimo esercizio per lo sudene abiuarsi a leggere con spirio criico quesi esi, alla luce delle conoscenze acquisie nel corso. La domanda ineressane è però: il modello di BS riesce a riprodurre bene i prezzi delle opzioni osservai? Se applico la formula, rovo effeivamene prezzi vicini a quelli che i rader generano sul mercao delle opzioni? La risposa non è semplice in quano la formula di BS include un paramero non osservabile, la volailià σ (e abbiamo viso che il suo valore può cambiare di molo cambiando la base di calcolo. D alro cano queso paramero, qualunque esso sia, dovrebbe dipendere solo dal soosane e dovrebbe comunque essere il medesimo per ue le opzioni che hanno lo sesso soosane, la sessa scadenza, e differiscono solo per lo srike. Si definisce perano volailià implicia di una opzione quella volailià che inseria nella formula di BS fornisce il prezzo di mercao osservao. La volailià implicia / Se il modello di BS fosse correo, opzioni che differiscono solo per lo srike dovrebbero avere la sessa volailià implicia. Il grafico della volailià implicia in funzione dello srike (o della moneyness viene chiamao lo smile (o lo skew della opzione. Tipicamene si ha una cera curvaura, ad indicare una cera diparia dal modello di BS per le opzioni molo OTM. Volailià sorica e implicia Fone: Bloomberg 4