DOTTORATO DI RICERCA IN GEOFISICA-XXIIICICLO/ EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (Prof. BONAFEDE)

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1 DOTTORATO DI RICERCA IN GEOFISICA-XXIIICICLO/ EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (Prof. BONAFEDE) Mggi C. & Bccesci P. Soluzioe problem V Puto 1: T Clcolre l soluzioe stziori dell (1) euivle d imporre l utità. Quidi il problem si riduce: T, x, t (3) l soluzioe srà dell form. T ( x) Ax + B (4) cosiderdo le codizioi l cotoro () e (b) si ottegoo i segueti vlori per A e B: A (5) B Ts Quidi l soluzioe stziori srà: T ( x) x + Ts (6) Puto : Al fie di riscrivere il problem d uo vete codizioi l cotoro omogeee ricoducedolo d u problem di Sturm-Liouville si riscrive l T(x, el seguete modo: T ( x, V ( x, + U ( x, (7) Dl mometo ce le codizioi l cotoro soo: V (d) x V (, (e) 1

2 si ottiee: U ( x, x + Ts (8) uidi: T ( x, V ( x, + x + Ts. (9) I uesto modo si ricv il seguete problem di Sturm-Liouville: V V D (1) co codizioi l cotoro (d) e (e) e codizioe iizile (f): V ( x, t + ) x i t e x. (f) Puto 3: Cosiderimo l euzioe (1) e le codizioi l cotoro ed iizili (), (b) e (c). Per pssre vribili dimesioli è ecessrio utilizzre u lugezz di ormlizzzioe, u tempo di ormlizzzioe ed u opportu tempertur di ormlizzzioe. Ciò euivle d effetture le segueti trsformzioi: ' x x ; Essedo per defiizioe ΔT Δ T e teedo coto delle segueti relzioi: t t ' τ si ottiee ce: T Ts θ. ΔT co τ ; (11) D ( T Ts) θ e T ( Ts + θ ) (1) T 1 θ ; ' T 1 θ ; (13) '

3 T 1 τ Sostituedo ell (1) e elle (), (b) e (c) si ottiee: θ. ' θ θ ' ' θ ' x ' 1 (14) i x ' 1, t ' (g) θ ( x', t') i x ', t ' () θ ( x', t' + ) i t ', x ' 1. (i) Puto 4: Si cosideri il problem omogeeo co codizioi l cotoro omogeee del Puto. L (1) rppreset u euzioe differezile lle derivte przili (PDE) di tipo prbolico ( b -4c). Si ricverà l soluzioe del problem co il metodo dell seprzioe delle vribili. Si prte dll ssuzioe ce u soluzioe poss essere scritt ell seguete form: sostituedo ell (1) si ottiee: V ( x, X ( x) Y ( (15) Y X Y X X DY 1 (16) D Y X fficé l idetità si soddisftt è ecessrio ce i due membri sio uguli d u stess utità λ : co codizioi l cotoro: X λ X (17) Y λ DY (18) X (l) X(). x (m) Si studi l prte spzile cosiderdo l (17); u soluzioe srà: cosiderdo le codizioi l cotoro si ottiee: X + λ x λ x ( x) Ae + Be (19) 3

4 Per λ> l soluzioe ble AB uidi X. Per λ l soluzioe ble AB uidi X. Per λ< si poe λ-α U soluzioe srà dell form: X ( x) Acos( α x) + Bsi( αx) () dlle codizioi l cotoro (l) e (m) si ottiee: A ; B cos( α ) per B α Quidi gli utovlori mmissibili sro: ( + 1) π ; co umero itero. ( λ α ; (1) cui corrispodero le segueti utofuzioi: X ( ( x) B si x ; (). Cosiderdo l prte temporle (18) le utofuzioi ssocite gli utovlori λ sro: Y ( C e (+ ; (3) L soluzioe più geerle dell euzioe (1) ce soddisf le codizioi l cotoro (d) e (e) srà: dove B C. α Dt ( α x) e V ( x, si (4) Cosiderdo le codizioi iizili (f) si ottiee: f ( x)si( α x) dx co f ( x) x. (5) d cui: 8 ( si (6) ( + 1) π 4

5 A uesto puto si è trovt u soluzioe per l tempertur ce srà dell form: T ( x, α Dt si( α x) e + x + Ts (7). Puto5: Al fie di discutere l covergez dell serie cosiderimo due csi: t: i uesto cso si impoe ce V ( x,) f ( x) si( α x). (8) se l fuzioe f(x) è sviluppbile i u serie di Fourier uiformemete covergete (se f(x) è cotiu co derivt trtti cotiu) l soluzioe soddisferà ce le codizioi iizili. t> : Si suppog ce i coefficieti sio limitti cioè ce c M i uesto cso l serie (+ ( si x e è uiformemete covergete per x e t> i bse l criterio di Weierstrss dell covergez totle, poicé ( si x e (+ Me (+ e l serie umeric vete come termie geerle e (+ è covergete. Ioltre, ce l derivt secod rispetto x e prim rispetto t soo serie uiformemete covergeti ello stesso domiio di vlori e soo uguli fr loro. Questo vuol dire ce l somm dell serie rppreset u soluzioe dell euzioe dt, ce soddisf le codizioi l cotoro. Puto6: Si cosiderio i vlori ssegti el testo per le costti D,, Ts, e /; trmite u progrmm di somm scritto i Mtlb si soo grficti i profili dell Tempertur i fuzioe di x per i tempi t, t1 1, t1 13, t1 14. Come si può vedere dl grfico per t l tempertur soddisf le codizioi iizili. M mo ce t umet l Tempertur tederà d umetre seguedo u dmeto liere fio rggiugere l codizioe stziori (t 1 14 s). 5

6 Puto7: il flusso di clore ll superficie x ce vrà u vlore prossimo uello stziorio (etro 5%) srà dto dll: T x x α e α Dt + (1 ±.5 ) 1 α t l (3) α D (.5) (9) Per 1 si ce: 8 3π e α (31) 9π sostituedo ell (31) e cosiderdo i vlori per D, dti el puto prececete si ottiee ce: t s