Entropia. Corso di Fisica Tecnica IngGes AA2017/18. Federico Mazzelli. Santa Marta, stanza /

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Entropia. Corso di Fisica Tecnica IngGes AA2017/18. Federico Mazzelli. Santa Marta, stanza /"

Transcript

1 Corso di Fisica Tecnica IngGes AA2017/18 Entropia Federico Mazzelli Santa Marta, stanza / Laboratorio Di Conversione Dell'energia C.I.

2 Riepilogo il 1 principio permette di valutare l efficienza dei cicli termodinamici ma pone limiti molto larghi alle efficienze ottenibili (il limite è la conservazione dell energia) Il 2 principio afferma che l energia termica si può convertire solo parzialmente in energia meccanica e che dobbiamo sempre cedere una quota di calore all ambiente Le macchine termiche hanno quindi efficienze minori rispetto a quelle massime previste dal 1 principio Le efficienze massime sono raggiungibili solo da macchine reversibili Per ottenere una trasformazione reversibile sono necessari gradienti nulli (es. ΔT 0) Questi si ottengono con tempi infiniti (trasformazioni QS) L efficienza di macchine reversibili dipende solo dalle T delle sorgenti con cui scambiano Q Efficienze elevate si hanno per T alte della sorgente calda e basse della sorgente fredda La temperatura minima possibile è in genere quella dell ambiente Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 2

3 Efficienza di 2 Principio e Lavoro Perso Lezione 3 Entropia 3

4 Efficienza di 2 principio L efficienza di una macchina dipende quindi da due fattori principali: 1. Dalla qualità della macchina e delle trasformazioni al suo interno (perdite, attriti) 2. Dalla qualità delle sorgenti con cui scambia il sistema (livelli di temperatura) Quando due macchine lavorano a temperature differenti vorremmo avere un giudizio sulla qualità della macchina che sia indipendente dalle sorgenti con cui lavora Potrebbe accadere per esempio che una macchina reversibile abbia prestazioni peggiori di una reale solo perché quest ultima lavora con una T massima molto più elevata A tal fine si definisce l efficienza di 2 principio il rapporto tra le efficienze di 1 principio di una macchina reale ed una ideale che lavorano tra gli stessi livelli di T η II = η real η ideal Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 4

5 Efficienza di 2 principio Efficienze di 1 principio macchina reale: Efficienze di 1 principio macchina ideale: η m = L ciclo Q in = 1 Q cold Q Hot η m_max = 1 T cold T hot COP f = Q in L ciclo = Q cold Q hot Q cold COP f_max = T cold T hot T cold COP pc = Q out L ciclo = Q hot Q hot Q cold COP pc_max = T hot T hot T cold Per macchine frigorifere e Pompe di Calore si usa il termine Coefficiente di Prestazione COP al posto di efficienza Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 5

6 Efficienza di 2 principio Le efficienze di 2 principio sono sempre <1 per macchine reali η II_m = η m_real η m_ideal = L ciclo_real L ciclo_ideal = 1 Q cold Q hot 1 T cold T hot COP II_f = COP f_real COP f_ideal = Q in_real Q in_ideal = Q cold Q hot Q cold T cold T hot T cold Il confronto è sempre a parità di temperature e di energia spesa tra macchina reale e ideale COP II_pc = COP pc_real COP pc_ideal = Q out_real Q out_ideal = Q hot Q hot Q cold T hot T hot T cold Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 6

7 Analizziamo adesso la Qualità delle sorgenti considerando due macchine reversibili che lavorano tra le sorgenti a T 1 >T 2 ed una terza a T 0 η C1 = L Q = 1 T 0 T 1 > η C2 = L Q = 1 T 0 T 2 Lavoro perso Moltiplicando per Q: L = Q 1 T 0 T 1 > L = Q 1 T 0 T 2 La differenza dei due lavori è quindi pari a: L L = Q T 0 1 T 2 1 T 1 Questo è il lavoro perso nel trasferimento di energia termica da alte a basse T Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 7

8 Lavoro perso Quindi, non solo l energia termica si può trasformare in una minore quantità di lavoro, ma tale quantità si riduce al diminuire della T Si dice che l energia termica si degrada passando a T più basse ed è inutilizzabile quando raggiunge T 0 L energia termica del mare è praticamente infinita, ma non ci si può ricavare lavoro Tale lavoro perso è una irreversibilità che è presente ogni volta che vi è uno scambio con differenze finite di temperatura Per questo motivo una macchina termica reversibile deve necessariamente lavorare con ΔT=0 Per ristabilire il ΔT iniziale potrei utilizzare proprio il lavoro perso per attivare un ciclo frigorifero Se il ciclo frigorifero non è reversibile allora necessiterò di un lavoro maggiore di quello perso nella dispersione Le dispersioni termiche sono un altra fonte di perdita diretta, in quanto abbiamo un Q che non viene sfruttato per ottenere lavoro ma si disperde nell ambiente Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 8

9 Formulazione matematica del 2 Principio ed Entropia Lezione 3 Entropia 9

10 Formulazione matematica del 2 Principio Per le macchine reversibili abbiamo visto che: η max = 1 Q cold Q hot = 1 T cold T hot Q cold T cold Q hot T hot = 0 Consideriamo adesso una macchina reversibile ciclica che lavora con un numero elevato di sorgenti differenti a temperature diverse. Si può dimostrare che vale: i Q i T i = 0 Questa relazione è alla base della scala Kelvin di temperatura, che si basa proprio sulla misura delle temperature sfruttando macchine approssimativamente reversibili Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 10

11 Per una macchina reale vale Fisica Tecnica Formulazione matematica del 2 Principio Q cold Q hot irr > Q cold Q hot = T cold rev T hot Q cold T cold Q hot T hot > 0 Per una macchina reale ciclica che lavora con un numero elevato di sorgenti differenti si può dimostrare che vale: i Q i T i 0 (Segno positivo al calore entrante) Il segno uguale vale solo per macchine reversibili mentre la disuguaglianza vale per macchine reali Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 11

12 Formulazione matematica del 2 Principio Al limite di trasformazioni infinitesime abbiamo che per una trasformazione ciclica vale: δq T 0 Questo risultato è noto come Disuguaglianza di Clausius I vari δq sono scambiati al contorno del sistema, e sono opposti a quelli che riceve/cede la sorgente Se la trasformazione è reversibile la T della sorgente e del sistema sono le stesse Se la trasformazione è irreversibile la T del sistema e sorgente sono differenti, nella disuguaglianza va inserita la temperatura presente sul contorno del sistema dove passa il corrispondente δq La Disuguaglianza di Clausius rappresenta la formulazione matematica del 2 principio! Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 12

13 Entropia Se dividiamo una trasformazione ciclica in due segmenti (a e b) che partono e tornano negli stessi stati, otteniamo che per una processo reversibile vale: b 2 δq = 2 δq T 1 T a δq T b = 0 (rev) 1 a Dato che le trasformazioni sono reversibili è possibile invertire il percorso di b e avremo: 2 δq 2 δq 1 T a = 1 T b Questa equazione ci dice che la variazione della quantità integranda non dipende dalla particolare trasformazione seguita, ovvero che tale quantità è una proprietà di stato Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 13

14 Tale proprietà di stato è l Entropia [J/K] Entropia ds = δq rev T Per un processo reversibile da uno stato iniziale 1 ad uno finale 2, la variazione di entropia è: 1 2 δq rev T = S 2 S 1 L entropia del sistema cresce quando viene fornito calore e diminuisce quando viene ceduto Per l ambiente la variazione di entropia è opposta a quella del sistema (solo in processi reversibili!) I δq possono essere scambiati in diverse zone del sistema e attraverso differenti temperature. Ad ognuna di queste deve essere associata la T corrispondente L entropia è una proprietà estensiva Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 14

15 Sistemi internamente reversibili Un processo reversibile è tale se è possibile riportare anche l ambiente alle condizioni iniziali In realtà la disuguaglianza di Clausius riguarda quello che succede al sistema e affinché valga è sufficiente che non ci siano irreversibilità all interno del sistema. ds = δq int_rev T In tal caso si parla di trasformazioni internamente reversibili Le irreversibilità però possono avvenire al di fuori del sistema, ad esempio per uno scambio di calore tra sistema e sorgente che avviene con differenze di T finite (ΔT 0) Affinché un sistema svolga processi internamente reversibili, è necessario che ogni successivo stato del sistema sia di equilibrio, ovvero deve seguire trasformazioni quasi-statiche (tempi infiniti) Cosa succede nel caso di trasformazione non reversibile? Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 15

16 Rappresentazione Entropia Per una trasformazione (internamente) reversibile abbiamo quindi: ds = δq rev T Esplicitando il calore scambiato ed integrando otteniamo il calore scambiato in una trasformazione finita: Q rev = 1 2 Tds Tale rappresentazione non vale per processi irreversibili Affinché l area sottesa al grafico sia rappresentativa del calore scambiato è necessario che la T sia espressa in Kelvin Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 16

17 Processi irreversibili e generazione di entropia Lezione 3 Entropia 17

18 Riprendiamo la disuguaglianza di Clausius Entropia in processi irreversibili rev 2 δq T 0 Adesso portiamo il sistema da uno stato 1 a 2 attraverso una trasformazione irreversibile e torniamo attraverso una reversibile. Avremo che: 1 irr 2 δq 1 T 1 δq 2 δq 2 δq + irr 2 < 0 T rev 1 > T rev 1 T irr Quindi la somma dei Q/T in un processo irreversibile non è uguale alla somma in processi reversibili e dipende invece dalla trasformazione seguita Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 18

19 Sostituendo la definizione di Entropia Entropia in processi irreversibili rev 2 2 δq S 2 S 1 > 1 T irr 1 irr La disuguaglianza può essere resa una uguaglianza se aggiungiamo un termine pari alla differenza che intercorre tra i due integrali S 2 S 1 = 1 2 δq T irr + σ Questa formula fornisce la variazione di entropia per un sistema tra due stati Il termine in parentesi è la variazione dovuta agli scambi termici σ è il termine di generazione di entropia dovuto alla presenza di irreversibilità Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 19

20 Bilancio di Entropia (sistemi chiusi) Possiamo generalizzare l equazione ponendo σ=0 nel caso la trasformazione sia reversibile. Otteniamo il bilancio di entropia per sistema chiuso: S 2 S 1 = 1 2 δq T + σ σ = 0 σ > 0 trasf. reversibili (o int. rev) trasf. irreversibili Da ricordare: La variazione di entropia è sempre la stessa tra due stati definiti, qualsiasi sia la trasformazione seguita per raggiungerli (l entropia è una funzione di stato). Per trasformazioni reversibili, tale variazione è solo causata dagli scambi di calore, che possono dare un contributo positivo o negativo alla variazione di entropia del sistema Il termine di generazione di entropia è sempre positivo per trasformazioni reali e riguarda le irreversibilità che avvengono dentro il sistema (es. scambi con ΔT 0) La temperatura è quella associata al singolo δq scambiato ed è valutata al contorno del sistema Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 20

21 Entropia in sistemi isolati Nel caso si abbia un sistema isolato termicamente (trasformazione adiabatica): S 2 S 1 = σ σ = 0 σ > 0 trasf. reversibili(o int. rev) trasf. irreversibili In una trasformazione adiabatica e reversibile l entropia non cambia. Si parla quindi di trasformazione isentropica Questo rimane vero anche se il sistema scambia lavoro con l esterno. Scambi di lavoro non alterano l entropia di un sistema, a meno che non introducano irreversibilità (es. attriti) Per un sistema in cui avvengono trasformazioni adiabatiche ma non reversibili (irreversibilità interne), l entropia può solo aumentare Considerando l universo come un sistema isolato: S univ > 0 Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 21

22 Bilancio di Entropia nel tempo (sistemi chiusi) Per una trasformazione infinitesima abbiamo: ds = δq T + σ σ = 0 σ > 0 trasf. reversibili trasf. irreversibili Se dividiamo per l intervallo di tempo infinitesimo: ds dt = δ Q T + σ σ = 0 σ > 0 trasf. reversibili trasf. irreversibili Il primo termine a destra rappresenta lo scambio di entropia nell unità di tempo. La T è quella associata a tale scambio ed è un valore istantaneo σ rappresenta la generazione di entropia nel tempo dovuta ad irreversibilità Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 22

23 Bilancio di Entropia (sistemi chiusi) Esempio: S 2 S 1 = 1 2 δq T + σ Qual è la variazione di entropia del sistema? Qual è la variazione di entropia della sorgente? Qual è la variazione di entropia connessa al lavoro della ventola? Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 23

24 Lavoro Perso ed Entropia Lezione 3 Entropia 24

25 Riprendiamo il risultato sul lavoro perso Lavoro perso ed Entropia L L = Q T 0 1 T 2 1 T 1 Calcoliamo la variazione di entropia dello scambio di Q tra le due sorgenti La temperatura delle sorgenti non cambia (ΔT=0) Gli scambi sono internamente reversibili per ciascuna sorgente La irreversibilità nasce per il passaggio da T 1 a T 2 S T1 = δq T 1 = Q T 1 S T2 = δq T 2 = Q T 2 Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 25

26 Lavoro perso ed Entropia Calcoliamo ora la variazione di entropia del sistema costituito dalle due sorgenti Il sistema totale non scambia con l esterno ed ha solo variazioni di entropia dovute alle irreversibilità interne Essendo una grandezza estensiva la variazione di entropia del sistema totale è pari alla somma delle sue parti S T1+T2 = σ = S T2 S T1 σ = Q 1 T 2 1 T 1 Inserendo questo risultato nella formula del lavoro perso otteniamo: L L = T 0 σ Il lavoro perso è proporzionale alla generazione di entropia irreversibile Lezione 2 Termodinamica dei Sistemi Chiusi 26

27 Corso di Fisica Tecnica IngGes AA2017/18 Entropia Federico Mazzelli Santa Marta, stanza / Laboratorio Di Conversione Dell'energia C.I.

FISICA. isoterma T f. T c. Considera il ciclo di Stirling, in cui il fluido (=sistema) è considerato un gas ideale.

FISICA. isoterma T f. T c. Considera il ciclo di Stirling, in cui il fluido (=sistema) è considerato un gas ideale. Serie 10: ermodinamica X FISICA II liceo Esercizio 1 Ciclo di Carnot Considera il ciclo di Carnot, in cui il fluido (=sistema) è considerato un gas ideale. Si considerano inoltre delle trasformazioni reversibili.

Dettagli

Macchine termiche e frigoriferi

Macchine termiche e frigoriferi Macchine termiche e frigoriferi Una macchina termica grazie ad una sequenza di trasformazioni termodinamiche di una data sostanza, produce lavoro utilizzabile. Una macchina lavora su di un ciclo di trasformazioni

Dettagli

L equilibrio dei gas. Lo stato di equilibrio di una data massa di gas è caratterizzato da un volume, una pressione e una temperatura

L equilibrio dei gas. Lo stato di equilibrio di una data massa di gas è caratterizzato da un volume, una pressione e una temperatura Termodinamica 1. L equilibrio dei gas 2. L effetto della temperatura sui gas 3. La teoria cinetica dei gas 4. Lavoro e calore 5. Il rendimento delle macchine termiche 6. Il secondo principio della termodinamica

Dettagli

La macchina termica. Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine 1

La macchina termica. Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine 1 La macchina termica Universita' di Udine 1 La macchina termica Un insieme di trasformazioni che parta da uno stato e vi ritorni costituisce una macchina termica un ciclo termodinamico Universita' di Udine

Dettagli

Cap 21- Entropia e II Legge della Termodinamica. Entropia

Cap 21- Entropia e II Legge della Termodinamica. Entropia N.Giglietto A.A. 2005/06- Entropia nell espansione libera - 1 Cap 21- Entropia e II Legge della Termodinamica Ci sono diversi modi di esprimere la II Legge della Termodinamica. Tutte stabiliscono una limitazione

Dettagli

TRASFORMAZIONI REVERSIBILI E IRREVERSIBILI

TRASFORMAZIONI REVERSIBILI E IRREVERSIBILI TRASFORMAZIONI REVERSIBILI E IRREVERSIBILI Consideriamo un gas contenuto in un recipiente dalle pareti adiabatiche dotato di un pistone in grado di muoversi senza attriti (v. figura). Espansione e compressione

Dettagli

Energia e Sviluppo Sostenibile

Energia e Sviluppo Sostenibile Termodinamica Applicata: Introduzione A. Servida - servida@unige.it Introduzione alla Termodinamica (1) La meccanica analizza solo una parte del principio di conservazione dell'energia: la conservazione

Dettagli

Corso di Meccanica, Macchine e Impianti Termici CAPITOLO 5 TERMODINAMICA

Corso di Meccanica, Macchine e Impianti Termici CAPITOLO 5 TERMODINAMICA Anno Scolastico 2009/2010 Corso di Meccanica, Macchine e Impianti Termici CAPITOLO 5 TERMODINAMICA Prof. Matteo Intermite 1 5.1 LEGGE DEI GAS I gas sono delle sostanze che in determinate condizioni di

Dettagli

Rappresentazioni numeriche

Rappresentazioni numeriche Rappresentazioni numeriche Un numero è dotato di un valore una rappresentazione La rappresentazione di un numero è il sistema che utilizziamo per indicarne il valore. Normalmente è una sequenza (stringa)

Dettagli

GAS IDEALI E MACCHINE TERMICHE. G. Pugliese 1

GAS IDEALI E MACCHINE TERMICHE. G. Pugliese 1 GAS IDEALI E MACCHINE TERMICHE G. Pugliese 1 Proprietà dei gas 1. Non hanno forma né volume proprio 2. Sono facilmente comprimibili 3. Le variabili termodinamiche più appropriate a descrivere lo stato

Dettagli

Lezione 9 Termodinamica

Lezione 9 Termodinamica Argomenti della lezione: Lezione 9 Termodinamica introduzione misura della temperatura dilatazione termica calore / capacità termica, calore specifico, calore latente calore e lavoro primo principio della

Dettagli

04 - Numeri Complessi

04 - Numeri Complessi Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

Numeri decimali, rapporti e proporzioni

Numeri decimali, rapporti e proporzioni Numeri decimali, rapporti e proporzioni E. Modica erasmo@galois.it Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro Corso P.O.N. Modelli matematici e realtà A.S. 2010/2011 Da una forma all altra... Dalla frazione

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia

Dettagli

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA SISTEMA

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA SISTEMA SISTEMA In termodinamica si intende per sistema una qualsiasi porzione della realtà fisica che viene posta come oggetto di studio Possono essere sistemi: una cellula il cilindro di un motore una cella

Dettagli

Energia meccanica. Lavoro Energia meccanica Concetto di campo in Fisica. Antonio Pierro @antonio_pierro_ (https://twitter.com/antonio_pierro_)

Energia meccanica. Lavoro Energia meccanica Concetto di campo in Fisica. Antonio Pierro @antonio_pierro_ (https://twitter.com/antonio_pierro_) Energia meccanica Lavoro Energia meccanica Concetto di campo in Fisica Antonio Pierro @antonio_pierro_ (https://twitter.com/antonio_pierro_) Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete

Dettagli

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati

Dettagli

Esercizi di termologia

Esercizi di termologia Esercizi di termologia L. Paolucci 4 dicembre 2009 Sommario Termologia: esercizi e problemi con soluzioni. Per la classe seconda. Anno Scolastico 2009/0. Versione: v Si ricordi che cal 4,86. Quindi il

Dettagli

Motori e cicli termodinamici

Motori e cicli termodinamici Motori e cicli termodinamici 1. Motore a scoppio 2. Motore diesel 3. Frigoriferi 4. Centrali elettriche XVIII - 0 Trasformazioni Trasformazioni reversibili (quasistatiche): Ciascun passo della trasformazione

Dettagli

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1 Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < 4. 4 9 5. 9 > 6. > 7. < 8. 5 4 9. > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi

Dettagli

Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità

Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità Abbiamo visto che la media è una misura della localizzazione centrale della distribuzione (il centro di gravità). Popolazioni con la stessa media possono

Dettagli

Trasformazioni reversibili e irreversibili:

Trasformazioni reversibili e irreversibili: rasformazioni reversibili e irreversibili: Esempi di trasformazioni irreversibili: - un gas compresso si espande spontaneamente in uno spazio vuoto - la neve fonde al sole - un farmaco si scioglie nel

Dettagli

8 1. Trasformazione AB : ISOBARA 2. Trasformazione BC: ISOCORA 3. Trasformazione CD: ISOBARA 4. Trasformazione DA: ISOCORA. V(l)

8 1. Trasformazione AB : ISOBARA 2. Trasformazione BC: ISOCORA 3. Trasformazione CD: ISOBARA 4. Trasformazione DA: ISOCORA. V(l) ermodinamica Un gas monoatomico compie il ciclo mostrato nella figura sotto, dove le trasformazioni, sono isobare e le trasformazioni e sono isocore. apendo che l, p 8atm, 6 l, p atm. alcolare il rendimento

Dettagli

Codice binario. Codice. Codifica - numeri naturali. Codifica - numeri naturali. Alfabeto binario: costituito da due simboli

Codice binario. Codice. Codifica - numeri naturali. Codifica - numeri naturali. Alfabeto binario: costituito da due simboli Codice La relazione che associa ad ogni successione ben formata di simboli di un alfabeto il dato corrispondente è detta codice. Un codice mette quindi in relazione le successioni di simboli con il significato

Dettagli

Variabili aleatorie Parte I

Variabili aleatorie Parte I Variabili aleatorie Parte I Variabili aleatorie Scalari - Definizione Funzioni di distribuzione di una VA Funzioni densità di probabilità di una VA Indici di posizione di una distribuzione Indici di dispersione

Dettagli

Il primo principio della termodinamica

Il primo principio della termodinamica 1 Il primo principio della termodinamica Il primo principio della termodinamica Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che per far innalzare la temperatura di un sistema vi sono due possibilità: fornendo

Dettagli

Frigorifero CICLO FRIGORIFERO-TEORIA L = Q C - Q F. Coefficiente di prestazione

Frigorifero CICLO FRIGORIFERO-TEORIA L = Q C - Q F. Coefficiente di prestazione Frigorifero CICLO FRIGORIFERO-TEORIA Frigorifero: dispositivo a funzionamento ciclico composto da: (Fig. 1) un insieme di sorgenti di calore ad alta temperatura, T i, un insieme di sorgenti a più bassa

Dettagli

Collegamento generatori di tensione. Collegamento parallelo. Sia dato il sistema di figura 1: Fig. 1 -

Collegamento generatori di tensione. Collegamento parallelo. Sia dato il sistema di figura 1: Fig. 1 - Collegamento generatori di tensione Collegamento parallelo Sia dato il sistema di figura : Fig. - vogliamo trovare il bipolo equivalente al parallelo dei tre generatori di tensione, il bipolo, cioè, che

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Matematica La funzione aritmica e la funzione esponenziale Questa opera è distribuita con: Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate.0 Italia Ing. Alessandro

Dettagli

Graficazione qualitativa del luogo delle radici

Graficazione qualitativa del luogo delle radici .. 5.3 1 Graficazione qualitativa del luogo delle radici Esempio. Si faccia riferimento al seguente sistema retroazionato: d(t) G(s) r(t) e(t) K 1(s 1) s(s + 1)(s + 8s + 5) y(t) Per una graficazione qualitativa

Dettagli

I RADICALI QUADRATICI

I RADICALI QUADRATICI I RADICALI QUADRATICI 1. Radici quadrate Definizione di radice quadrata: Si dice radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con a, il numero reale positivo o nullo (se esiste) che,

Dettagli

RAPPORTI E PROPORZIONI

RAPPORTI E PROPORZIONI RAPPORTI E PROPORZIONI RAPPORTI E PROPORZIONI Definizione: Dicesi rapporto fra due numeri, preso in un certo ordine, il quoziente della divisione fra il primo di essi e il secondo. Il rapporto tra i numeri

Dettagli

OFFERTA DI LAVORO. p * C = M + w * L

OFFERTA DI LAVORO. p * C = M + w * L 1 OFFERTA DI LAVORO Supponiamo che il consumatore abbia inizialmente un reddito monetario M, sia che lavori o no: potrebbe trattarsi di un reddito da investimenti, di donazioni familiari, o altro. Definiamo

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Prontuario degli argomenti di Algebra

Prontuario degli argomenti di Algebra Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.

Dettagli

CALORIMETRIA E TERMODINAMICA. G. Roberti

CALORIMETRIA E TERMODINAMICA. G. Roberti CALORIMETRIA E TERMODINAMICA G. Roberti 422. A due corpi, alla stessa temperatura, viene fornita la stessa quantità di calore. Al termine del riscaldamento i due corpi avranno ancora pari temperatura se:

Dettagli

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente

Dettagli

Economia Politica e Istituzione Economiche

Economia Politica e Istituzione Economiche Economia Politica e Istituzione Economiche Barbara Pancino Lezione 8 Il modello IS-LM in economia aperta Economia aperta Economia aperta applicata a: mercati dei beni: l opportunità per i consumatori e

Dettagli

dallo stato 1 allo stato 2 è uguale all integrale

dallo stato 1 allo stato 2 è uguale all integrale Capitolo 13 L entropia 167 QUESITI E PROBLEMI 1 La grandezza fisica entropia può assumere valori solo positivi (vero/falso). Se sono determinati lo stato iniziale e lo stato finale di un sistema fisico,

Dettagli

sistema Viene detto Semplice, se composto da un'unica sostanza Per un sistema Isolato l equilibrio è unico ambiente

sistema Viene detto Semplice, se composto da un'unica sostanza Per un sistema Isolato l equilibrio è unico ambiente SISEMA ERMODINAMICO UNIVERSOSISEMA+AMBIENE Sistema - ISOLAO nessuno scambio - CHIUSO scambia ENERGIA ma NON MASSA - APERO scambia ENERGIA e MASSA sistema Viene detto Semplice, se composto da un'unica sostanza

Dettagli

a b a : b Il concetto di rapporto

a b a : b Il concetto di rapporto 1 Il concetto di rapporto DEFINIZIONE. Il rapporto fra due valori numerici a e b è costituito dal loro quoziente; a e b sono i termini del rapporto, il primo termine si chiama antecedente, il secondo si

Dettagli

CAPITOLO 4 CICLO FRIGORIFERO

CAPITOLO 4 CICLO FRIGORIFERO CAPITOLO 4 CICLO FRIGORIFERO Cap. 4 1 CICLO FRIGORIFERO IL CICLO FRIGORIFERO SI UTILIZZA PER SOTTRARRE ENERGIA TERMICA AD UN'UTENZA A TEMPERATURA PIU BASSA RISPETTO ALL AMBIENTE PER IL SECONDO PRINCIPIO

Dettagli

Il calcolo vettoriale: ripasso della somma e delle differenza tra vettori; prodotto scalare; prodotto vettoriale.

Il calcolo vettoriale: ripasso della somma e delle differenza tra vettori; prodotto scalare; prodotto vettoriale. Anno scolastico: 2012-2013 Docente: Paola Carcano FISICA 2D Il calcolo vettoriale: ripasso della somma e delle differenza tra vettori; prodotto scalare; prodotto vettoriale. Le forze: le interazioni fondamentali;

Dettagli

Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo?

Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo? Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo? Idea elementare: 1. fissare un quadratino come unità di misura 2. contare quante volte questo può essere riportato nella figura

Dettagli

Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena A.S. 2015/16

Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena A.S. 2015/16 Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena A.S. 2015/16 La matematica finanziaria si occupa di tutti i problemi relativi al denaro e al suo impiego. Il denaro è lo strumento con cui possiamo

Dettagli

Prof.ssa Laura Salvagno

Prof.ssa Laura Salvagno Prof.ssa Laura Salvagno Nella vita di tutti i giorni abbiamo spesso a che fare con il concetto di rapporto, partiamo perciò da alcuni esempi per introdurre l argomento. Consideriamo tutte le gare combattute

Dettagli

Lezione 3: Il problema del consumatore:

Lezione 3: Il problema del consumatore: Corso di Economica Politica prof. S.Papa Lezione 3: Il problema del consumatore: scelta ottimale Facoltà di Economia Università di Roma La Sapienza Lucidi liberamente tratti dai lucidi del prof. Rodano

Dettagli

Radicali. Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato:

Radicali. Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato: Radicali Radice quadrata Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato: il cui grafico è il seguente: Il grafico della funzione si trova al di sopra dell asse delle x ed è simmetrico

Dettagli

Ai fini della comprensione e risoluzione corretta de problema risulta molto utile rappresentarne la trasformazione su un diagramma SY.

Ai fini della comprensione e risoluzione corretta de problema risulta molto utile rappresentarne la trasformazione su un diagramma SY. Silvia Tosini matr. 146697 Lezione del 31/1/3 ora 1:3-1:3 (6(5&,,' (6$( &RQVLJOLSHUXQDJLXVWDOHWWXUDGHLGDWL Si ricorda che le cifre in lettere: A B C D E F dei dati si riferiscono rispettivamente al primo,

Dettagli

FONDAMENTI CHIMICO FISICI DEI PROCESSI IL SECONDO E IL TERZO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

FONDAMENTI CHIMICO FISICI DEI PROCESSI IL SECONDO E IL TERZO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA FONDAMENTI CHIMICO FISICI DEI PROCESSI IL SECONDO E IL TERZO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA LE MACCHINE TERMICHE Sono sistemi termodinamici che trasformano il calore in lavoro. Operano ciclicamente, cioè

Dettagli

RELAZIONE TECNICA. Comune di Napoli. Calcolo del flusso e della trasmittanza lineica di ponti termici. Provincia di Napoli

RELAZIONE TECNICA. Comune di Napoli. Calcolo del flusso e della trasmittanza lineica di ponti termici. Provincia di Napoli Comune di Napoli Provincia di Napoli RELAZIONE TECNICA Calcolo del flusso e della trasmittanza lineica di ponti termici OGGETTO: PARTE D OPERA: PROGETTISTA: COMMITTENTE: Ristrutturazione villetta a due

Dettagli

Esercizi svolti sulla parabola

Esercizi svolti sulla parabola Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice

Dettagli

CORSO DI TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI A.A. 2006-07 DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI

CORSO DI TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI A.A. 2006-07 DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI POLITECNICO DI BARI II FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI A.A. 2006-07 DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI Diagrammi del moto semplificati slide 1 di 21 DESCRIZIONE DEL MOTO DI

Dettagli

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Algebra Lineare Semestre Estivo 2006 Metodo dei minimi quadrati

Dettagli

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni Disequazioni in una incognita Una disequazione in una incognita è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile (detta incognita) verificata solo per particolari valori attribuirti alla

Dettagli

Secondo principio della termodinamica. Macchine termiche Rendimento Secondo principio della Termodinamica Macchina di Carnot Entropia

Secondo principio della termodinamica. Macchine termiche Rendimento Secondo principio della Termodinamica Macchina di Carnot Entropia Secondo principio della termodinamica Macchine termiche Rendimento Secondo principio della ermodinamica Macchina di arnot Entropia Introduzione al secondo principio della termodinamica Da quanto studiato

Dettagli

Trasporto di energia per moto in condotti. Fenomeni di Trasporto

Trasporto di energia per moto in condotti. Fenomeni di Trasporto Trasporto di energia per moto in condotti Fenomeni di Trasporto 1 Profilo di temperatura completamente sviluppato Sviluppo del profilo termico in un condotto riscaldato: Il profilo termico non si stabilizza

Dettagli

Importanza delle incertezze nelle misure fisiche

Importanza delle incertezze nelle misure fisiche Importanza delle incertezze nelle misure fisiche La parola errore non significa equivoco o sbaglio Essa assume il significato di incertezza da associare alla misura Nessuna grandezza fisica può essere

Dettagli

FOCUS SU EQUILIBRI ACIDO-BASE

FOCUS SU EQUILIBRI ACIDO-BASE 1 Ci sono varie definizioni di acidi e basi, tra le quali meritano di essere ricordate quella di Bronsted e quella di Lewis. Per i nostri fini pratici, ovvero gli esercizi, ci basta però ricordare le definizioni

Dettagli

CAPITOLO 4 CICLO FRIGORIFERO

CAPITOLO 4 CICLO FRIGORIFERO CAPITOLO 4 CICLO FRIGORIFERO Cap. 4 1 CICLO FRIGORIFERO IL CICLO FRIGORIFERO SI UTILIZZA PER SOTTRARRE ENERGIA TERMICA AD UN'UTENZA A TEMPERATURA PIU BASSA RISPETTO ALL AMBIENTE PER IL SECONDO PRINCIPIO

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Vale la [1] perché per le proprietà delle potenze risulta a m a

Dettagli

Esercizi sulle equazioni logaritmiche

Esercizi sulle equazioni logaritmiche Esercizi sulle equazioni logaritmiche Per definizione il logaritmo in base a di un numero positivo x, con a > 0 e a 1, è l esponente che occorre dare alla base a per ottenere il numero x. In simboli log

Dettagli

1. Studia la funzione che rappresenta la superficie del parallelepipedo in funzione del lato b della base quadrata e rappresentala graficamente;

1. Studia la funzione che rappresenta la superficie del parallelepipedo in funzione del lato b della base quadrata e rappresentala graficamente; PROBLEMA 2: Il ghiaccio Il tuo liceo, nell'ambito dell'alternanza scuola lavoro, ha organizzato per gli studenti del quinto anno un attività presso lo stabilimento ICE ON DEMAND sito nella tua regione.

Dettagli

La corrente alternata

La corrente alternata La corrente alternata Corrente continua e corrente alternata Le correnti continue sono dovute ad un generatore i cui poli hanno sempre lo stesso segno e pertanto esse percorrono un circuito sempre nello

Dettagli

EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO

EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO EQUAZIONI CON VALORE AOLUTO DIEQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Prima di tutto: che cosa è il valore assoluto di un numero? Il valore assoluto è quella legge che ad un numero (positivo o negativo) associa sempre

Dettagli

Stabilitá idrostatica

Stabilitá idrostatica Fondamenti di Fisica dell Atmosfera e del Clima Trento, 14 Aprile 2015 Consideriamo uno strato di atmosfera con un gradiente di temperatura Γ (misurato, ad esempio, da una radiosonda). Se una particella

Dettagli

S 2 S 1 S 3 S 4 B S 5. Figura 1: Cammini diversi per collegare i due punti A e B

S 2 S 1 S 3 S 4 B S 5. Figura 1: Cammini diversi per collegare i due punti A e B 1 ENERGI PTENZILE 1 Energia potenziale 1.1 orze conservative Se un punto materiale è sottoposto a una forza costante, cioè che non cambia qualunque sia la posizione che il punto materiale assume nello

Dettagli

QUANTITA DI MOTO Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università G. D Annunzio, Cosimo Del Gratta 2006

QUANTITA DI MOTO Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università G. D Annunzio, Cosimo Del Gratta 2006 QUANTITA DI MOTO DEFINIZIONE(1) m v Si chiama quantità di moto di un punto materiale il prodotto della sua massa per la sua velocità p = m v La quantità di moto è una grandezza vettoriale La dimensione

Dettagli

Algoritmo:Determinare quale percentuale rimane di una certa quantità se nel tempo subisce aumenti/decrementi percentuali.

Algoritmo:Determinare quale percentuale rimane di una certa quantità se nel tempo subisce aumenti/decrementi percentuali. Algoritmo:Determinare quale percentuale rimane di una certa quantità se nel tempo subisce aumenti/decrementi percentuali. Partiamo da un semplice problema Un negozio aumenta il prezzo di di un cappotto

Dettagli

CAPITOLO 2 CICLO BRAYTON TURBINE A GAS

CAPITOLO 2 CICLO BRAYTON TURBINE A GAS CAPITOLO 2 CICLO BRAYTON TURBINE A GAS 1 CICLO BRAYTON IL CICLO TERMODINAMICO BRAYTON E COMPOSTO DA QUATTRO TRASFORMAZIONI PRINCIPALI (COMPRESSIONE, RISCALDAMENTO, ESPANSIONE E RAFFREDDAMENTO), PIÙ ALTRE

Dettagli

Bosi (a cura di), Corso di scienza delle finanze, il Mulino, 2012 Capitolo I, lezione 1 Il problema e alcune premesse

Bosi (a cura di), Corso di scienza delle finanze, il Mulino, 2012 Capitolo I, lezione 1 Il problema e alcune premesse Il problema e alcune premesse La costruzione della grande frontiera delle utilità e l ottimo l paretiano La scienza delle finanze studia le entrate e le uscite pubbliche con un approccio normativo e positivo

Dettagli

MICROECONOMIA La teoria della domanda. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza

MICROECONOMIA La teoria della domanda. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza MICROECONOMIA La teoria della domanda Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Dalla scelta ottimale per il consumatore, si ha che la quantità domandata del bene A è data da Q a = D (P a,p b,r)

Dettagli

Richiami di aritmetica(2)

Richiami di aritmetica(2) Richiami di aritmetica() Frazioni definizioni, operazioni, espressioni Numeri decimali Rapporti e proporzioni Percentuali Materia Matematica Autore Mario De Leo Le frazioni La frazione è un operatore che

Dettagli

+ 1 p = MC. Il costo marginale nel caso proposto dall esercizio è pari a zero. L equazione 6.3 può quindi essere scritta:

+ 1 p = MC. Il costo marginale nel caso proposto dall esercizio è pari a zero. L equazione 6.3 può quindi essere scritta: Esercizio 6.1 Dall equazione 6.3 del testo sappiamo che il massimo profitto dell impresa si ottiene quando il valore dell inverso dell elasticità della (( domanda ) al prezzo ) più uno moltiplicato per

Dettagli

DAC Digital Analogic Converter

DAC Digital Analogic Converter DAC Digital Analogic Converter Osserviamo lo schema elettrico riportato qui a lato, rappresenta un convertitore Digitale-Analogico a n Bit. Si osservino le resistenze che di volta in volta sono divise

Dettagli

Potenze - Monomi - Polinomi - Operazioni tra Polinomi - Quadrato e Cubo del Binomio - Quadrato del Trinomio

Potenze - Monomi - Polinomi - Operazioni tra Polinomi - Quadrato e Cubo del Binomio - Quadrato del Trinomio Potenze - Monomi - Polinomi - Operazioni tra Polinomi - Quadrato e Cubo del Binomio - Quadrato del Trinomio Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono

Dettagli

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima

Dettagli

Lezione 6: Utilità marginale. Effetto reddito e Effetto sostituzione

Lezione 6: Utilità marginale. Effetto reddito e Effetto sostituzione Corso di Economica Politica prof. S. Papa Lezione 6: Utilità marginale. Effetto reddito e Effetto sostituzione Facoltà di Economia Università di Roma La Sapienza Lucidi liberamente tratti dai lucidi del

Dettagli

CAPITOLO II. Il Vantaggio Assoluto

CAPITOLO II. Il Vantaggio Assoluto CAPITOLO II Il Vantaggio Assoluto Ragionare di commercio internazionale facendo uso del modello Domanda-Offerta: le esportazioni (importazioni) corrispondono ad un eccesso di offerta (domanda), ai prezzi

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova di FISICA del 9 novembre 2004

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova di FISICA del 9 novembre 2004 ORSO DI LURE IN SIENZE IOLOGIHE Prova di FISI del 9 novembre 004 1) Una particella di massa m= 0.5 kg viene lanciata dalla base di un piano inclinato O con velocità iniziale v o = 4 m/s, parallela al piano.

Dettagli

Richiami di aritmetica

Richiami di aritmetica Richiami di aritmetica I numeri naturali L insieme dei numeri naturali, che si indica con N, comprende tutti i numeri interi maggiori di zero. Operazioni fondamentali OPERAZIONE SIMBOLO RISULTATO TERMINI

Dettagli

Anno 2. Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza

Anno 2. Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza Anno 2 Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza 1 Introduzione Perché studiare i radicali? In matematica ogni volta che facciamo un operazione dobbiamo anche vedere se è possibile tornare

Dettagli

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM )

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) 1. Scrivere l'equazione della retta passante per i punti P1(-3,1), P2(2,-2). Dobbiamo applicare l'equazione di una retta passante per due

Dettagli

Le disequazioni frazionarie (o fratte)

Le disequazioni frazionarie (o fratte) Le disequazioni frazionarie (o fratte) Una disequazione si dice frazionaria (o fratta) se l'incognita compare al denominatore. Esempi di disequazioni fratte sono: 0 ; ; < 0 ; ; Come per le equazioni fratte,

Dettagli

Studio di una funzione razionale fratta

Studio di una funzione razionale fratta Studio di una funzione razionale fratta Nella figura è rappresentata la funzione 1. Quale tra gli insiemi proposti è il suo CDE? 2. La funzione presenta un asintoto verticale di equazione... x = 0 x =

Dettagli

STABILIZZATORI AUTOMATICI E TEORIA DEL DEBITO PUBBLICO

STABILIZZATORI AUTOMATICI E TEORIA DEL DEBITO PUBBLICO DETERMINAZIONE DEL LIVELLO DELL ATTIVITA ECONOMICA STABILIZZATORI AUTOMATICI E TEORIA DEL DEBITO PUBBLICO Principio della domanda effettiva Offerta elastica Prezzi fissi Non pieno utilizzo della capacità

Dettagli

Esame scritto Fisica 1 del 21 giugno 2006 - soluzione

Esame scritto Fisica 1 del 21 giugno 2006 - soluzione Esame scritto Fisica 1 del 1 giugno 006 - soluzione Nota: i valori numerici sono diversi nelle varie copie del compito, e quindi qui vengono indicati i ragionamenti e le formule da utilizzare ma non i

Dettagli

RIPASSO_FRAZIONI. Frazioni Equivalenti. per 2 per 3 per 2 per 3 frazione equivalente frazione equivalente frazione equivalente frazione equivalente

RIPASSO_FRAZIONI. Frazioni Equivalenti. per 2 per 3 per 2 per 3 frazione equivalente frazione equivalente frazione equivalente frazione equivalente RIPASSO_FRAZIONI N.B. La risposta ad ogni richiesta può essere riportata sul quaderno Completa: I numeri che possono essere scritti come frazione sono: Essi costituiscono l insieme dei numeri....che si

Dettagli

STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II

STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II INDICI DI DISPERSIONE Introduzione agli Indici di Dispersione Gamma Differenza Interquartilica Varianza Deviazione Standard Coefficiente di Variazione introduzione Una

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1

Dettagli

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0;

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0; La parabola è una particolare conica definita come è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano; è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: t x + (t 1)y + z = 1 (t 1)y + t z = 1 2 x + z = 5 Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è t t 1

Dettagli

Insiemi numerici La retta numerica. Numeri naturali. Numeri interi. Blocco per appunti Quaderno teoria Quaderno esercizi

Insiemi numerici La retta numerica. Numeri naturali. Numeri interi. Blocco per appunti Quaderno teoria Quaderno esercizi Insiemi numerici La retta numerica Blocco per appunti Quaderno teoria Quaderno esercizi Numeri naturali Numeri interi 1 Numeri razionali Radice di 2 non è un razionale Numeri reali 2 Proprietà della retta

Dettagli

1. LA VELOCITA. Si chiama traiettoria la linea che unisce le posizioni successive occupate da un punto materiale in movimento.

1. LA VELOCITA. Si chiama traiettoria la linea che unisce le posizioni successive occupate da un punto materiale in movimento. 1. LA VELOCITA La traiettoria. Si chiama traiettoria la linea che unisce le posizioni successive occupate da un punto materiale in movimento Il moto rettilineo: si definisce moto rettilineo quello di un

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

TRASFORMATORI PER LE NOSTRE ANTENNE E ANTENNA DEFINITIVA

TRASFORMATORI PER LE NOSTRE ANTENNE E ANTENNA DEFINITIVA TRASFORMATORI PER LE NOSTRE ANTENNE E ANTENNA DEFINITIVA In specifico prendiamo in esame la END FEED ANTENNA con prove pratiche e dimostrative Per prima cosa verifichiamo le perdite sui trasformatori in

Dettagli

LE DISEQUAZIONI LINEARI

LE DISEQUAZIONI LINEARI LE DISEQUAZIONI LINEARI Per ricordare H Una disequazione si rappresenta come una disuguaglianza fra due espressioni algebriche A e B ; essa assume dunque la forma A Per risolvere una disequazione

Dettagli