Minimizzazione degli Stati in una Rete Sequenziale Sincrona

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1 Minimizzzion gli Stti in un Rt Squnzil Sinron Murizio Plsi Murizio Plsi 1

2 Sintsi i Rti Squnzili Sinron Il proimnto gnrl i sintsi si svolg ni sgunti pssi: 1. Rlizzzion l igrmm gli stti prtir ll spifih l prolm 2. Costruzion ll tll gli stti 3. Minimizzzion l numro gli stti 4. Coifi gli stti intrni 5. Costruzion ll tll ll trnsizioni 6. Slt gli lmnti i mmori 7. Costruzion ll tll ll itzioni 8. Sintsi si ll rt omintori h rlizz l funzion stto prossimo si i qull h rlizz l funzion usit Murizio Plsi 2

3 Motivzioni Il numro minimo i lmnti i mmori nssri mmorizzr gli stti ll insim S è N min = log 2 S Nl mollo i un mhin stti possono sistr gli stti rionnti L intifizion liminzion gli stti rionnti omport Rti omintori mno ostos Minori lmnti i mmori Mhin 8 stti, 1 ingrsso, 1 usit Funzioni λ, δ Mhin 4 stti, 1 ingrsso, 1 usit Funzioni λ 1, δ 1 Eliminno 4 stti Murizio Plsi 3

4 Oittivi Oittivo ll riuzion l numro gli stti è l iniviuzion i un mhin minim quivlnt, ovvro funzionlmnt quivlnt on il minimo numro i stti L riuzion vin rlizzt in u fsi Eliminzion gli stti non rggiungiili llo stto inizil Intifizion gli stti Equivlnti, pr l mhin ompltmnt spifit Comptiili, pr l mhin non ompltmnt spifit Murizio Plsi 4

5 Stti Irrggiungiili Uno stto è irrggiungiil s non sist lun squnz i trnsizion i stto h porti llo stto inizil in tl stto Trnsizion i Rst I A I B C B C D D Murizio Plsi 5

6 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Dfinizioni Sino: I α un squnz ingrsso {i j,, i k } U α, squnz usit ss ssoit ottnut ttrvrso λ s i, s j u gnrii stti Du stti s i s j pprtnnti S sono inistinguiili s U α,i = (s i, I α ) = (s j, I α ) = U α,j I α Cioè s pr qulsisi squnz i ingrsso l usit gnrt prtno s i o s j sono l stss L inistinguiilità tr s i s j si ini on s i ~ s j L rlzion i inistinguiilità go i tr proprità Riflssiv: Simmtri: Trnsitiv: s i ~ s i s i ~ s j s j ~ s i s i ~ s j s j ~ s k s i ~ s k Murizio Plsi 6

7 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Clssi i Stti Equivlnti Du stti inistinguiili sono quivlnti possono ssr sostituiti un solo stto Un gruppo i stti tr loro quivlnti può ssr rggruppto in un uni lss L insim i lssi iniviut trmin l insim i stti ll mhin minim quivlnt A B α A ~ B ; D ~ E α C β β D E γ γ Murizio Plsi 7

8 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr L finizion i inistinguiilità è i iffiil ppliilità poihé rihir i onsirr tutt l squnz i ingrsso Rgol i Pull-Ungr Du stti sono s i s j sono inistinguiili s solo s λ (s i,i) = λ (s j,i) i I ovvro l usit sono uguli pr tutti i simoli ingrsso δ (s i,i) ~ δ (s j,i) i I ovvro gli stti prossimi sono inistinguiili pr tutti i simoli ingrsso L rgol è itrtiv Murizio Plsi 8

9 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr - Esmpio 0 /0 /0 /1 /1 /1 1 /1 /1 /1 /0 /0 hnno l stss usit s gli stti futuri sono inistinguiili, ~ hnno l stss usit s gli stti futuri sono inistinguiili, ~ non è inistinguiil, poihé h un iffrnt usit Mhin minim quivlnt α β γ 0 γ /0 α /1 α /1 1 α /1 β /1 β /0 Poihé l inistinguiilità tr ipn qull tr vivrs, possimo onlur h ~, ~ L lssi i inistinguiilità sono: α ={, }, β ={}, γ ={, } Murizio Plsi 9

10 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr Poihé gli insimi I S hnno rinlità finit, opo un numro finito i pssi si vrifi un ll u onizioni s i ~s j s i simoli usit sono ivrsi o gli stti prossimi sono istinguiili s i ~s j s i simoli usit sono uguli gli stti prossimi sono inistinguiili Murizio Plsi 10

11 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr - Tll ll Implizioni L rlzioni i inistinguiilità possono ssr intifit mint l Tll ll Implizioni Mtt in rlzion ogni oppi i stti È tringolr (proprità simmtri) priv i igonl prinipl Ogni lmnto ll tll ontin Il simolo i non quivlnz (X) o i quivlnz (~) L oppi i stti ui si rimn l vrifi, s non è possiil pronunirsi sull quivlnz gli stti orrisponnti S1 S2 S3 S1,S2 S0 ~ S1 S2 Murizio Plsi 11

12 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr - Tll ll Implizioni Pr ogni oppi i stti S è mrt om quivlnt non è rihist un ultrior vrifi S si rimn un ltr oppi S qusti stti sono quivlnti nh gli stti ll oppi in sm sono quivlnti S qusti sono non quivlnti nh gli stti ll oppi in sm sono non quivlnti S gli stti ll oppi ui si rimn ipnono un oppi ultrior si ript il proimnto in moo itrtivo L nlisi trmin quno non sono più possiili liminzioni L oppi rimst sono quivlnti Murizio Plsi 12

13 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr - Tll ll Implizioni f g 0 g/0 /0 /1 /0 g/0 /1 /1 1 /1 /1 g/0 /1 /1 f/0 g/0 f g g g ~ g fg g f Murizio Plsi 13

14 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr - Tll ll Implizioni f g g g ~ g fg g Anlisi ll oppi gli stti -: -g è inistinguiil s lo è - ~ -: -g è istinguiil ~ -: - è istinguiil ~ -: -g è inistinguiil s lo è - ~ -: -g è istinguiil ~ f-: - è inistinguiil s lo è -g f~ g-: - è inistinguiil g~ g-f: - è inistinguiil s lo è -g g~f f Murizio Plsi 14

15 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr - Tll ll Implizioni ~ Clssi i inistinguiilità α = {,,} β = {,g} γ = {} δ = {f} f g ~ ~ ~ f Tll gli stti minim quivlnt α β γ δ 0 β /0 1 α /1 α /1 β /0 α /0 α /1 γ /1 δ /0 Murizio Plsi 15

16 Minimizzzion i Mhin Compltmnt Spifit Rgol i Pull-Ungr - Ossrvzioni Pr l FSM ompltmt spifit l lgoritmo i Pull-Ungr Consnt i intifir in mnir stt l FSM minim quivlnt L prtizion i quivlnz è uni (ogni stto pprtin un un sol lss) H un omplssità sponnzil on il numro i stti Murizio Plsi 16

17 Mhin non ompltmnt spifit Dfinizioni Sono mhin in ui pr lun onfigurzioni gli ingrssi stti orrnti non sono spifiti gli stti futuri /o l onfigurzioni usit Du stti s i s j si iono omptiili (s i s j ) S, ssunti om stti inizili, pr ogni possiil squnz i ingrsso (grn pir) nno luogo squnz i simoli usit intii mno i onizioni i iniffrnz Murizio Plsi 17

18 Mhin non ompltmnt spifit Rgol i Pull-Ungr Ests L omptiilità è un rlzion mno fort i qull i inistinguiilità, non vl l proprità trnsitiv A B C 1 A/- A/1 A/- 0 C/1 C/- C/0 A B; B C m A C L rgol i Pull-Ungr è stt sts pr trttr il so i mhin non ompltmnt spifit Du stti s i s j sono omptiili s solo s λ (s i,i) = λ (s j,i) i I ovunqu sono ntrmi spifiti δ (s i,i) δ (s j,i) i I ovunqu sono ntrmi spifiti L sutt finizion è riorsiv Murizio Plsi 18

19 Mhin non ompltmnt spifit Tll ll Implizioni L rlzioni i omptiilità possono ssr intifit mint l Tll ll Implizioni Ogni lmnto ll tll ontin X s in lmno un olonn vi sono usit ivrs (stti inomptiili) S i S j s l usit sono tutt uguli m i nomi gli stti futuri (S i, S j ) sono ivrsi non oiniono on qulli ll oppi i stti in sm Altrimnti (stti omptiili) Murizio Plsi 19

20 Mhin non ompltmnt spifit Tll ll Implizioni 1 /0 /0 /- /1 /- 0 /0 /0 /- /1 /- Vinoli s s s s s, s, s Murizio Plsi 20

21 Mhin non ompltmnt spifit Grfo i Comptiilità Grfo i Comptiilità (GC) I noi orrisponono gli stti Du noi n i n j sono tr loro ollgti s gli stti ssi ssoiti sono omptiili o l loro omptiilità ipn ll omptiilità l loro stto prossimo Pr ogni ro vono ssr riportti i vinoli sull omptiilità gli stti prossimi Murizio Plsi 21

22 Mhin non ompltmnt spifit Dfinizioni Clss i omptiilità (CC) Un insim i stti omptiili tr loro oppi Sul GC è rpprsntt un poligono omplto L lssi i omptiilità tr stti non sono nssrimnt isgiunt,,,,,,,, Sono tutti smpi i lssi i omptiilità Murizio Plsi 22

23 Mhin non ompltmnt spifit Dfinizioni Clss i mssim omptiilità (CMC) Clss i omptiilità non ontnut in nssun ltr lss Sul GC è iniviut un poligono omplto non ontnuto in nssun ltro {,,}: è un CMC {,,}: è un CMC {,,}: è un CMC Murizio Plsi 23

24 Mhin non ompltmnt spifit Dfinizioni Insim hiuso i lssi i omptiilità Insim i lssi i omptiilità i ui vinoli sino ontnuti in lmno un lss ll insim. Ciò grntis h tutti i vinoli sono rispttti Non è un insim hiuso i CC prhé il vinolo non è ontnuto in nssun CC E un insim hiuso i CC prhé tutti i vinoli sono ontnuti in lmno un CC Murizio Plsi 24

25 Mhin non ompltmnt spifit Dfinizioni Coprtur ll tll gli stti Insim i CC pr ui ogni stto ll tll gli stti è ontnuto in lmno un CC { {,,},{,,},{,,} } { {,},{,},{,,,},{,,} } Sono tutti smpi i oprtur Murizio Plsi 25

26 Mhin non ompltmnt spifit Minimizzzion l Numro i Stti Minimizzr il numro gli stti signifi Trovr il più piolo insim hiuso i lssi i omptiilità h opr l insim i stti su ui l mhin è finit L insim i tutt l lssi i mssim omptiilità è hiuso opr l insim gli stti ll mhin S si ssoi uno stto ogni lss i mssim omptiilità si ottin un nuov mhin on un numro i stti Possiilmnt minor i qullo i prtnz Non nssrimnt minimo Murizio Plsi 26

27 Mhin non ompltmnt spifit Rir ll Clssi i Mssim Comptiilità Un oprtur mmissiil è t ll insim ll lssi i mssim omptiilità: α ={,,} β ={,,} γ ={,,} Tl oprtur non è minim L lssi i qust oprtur oniviono ivrsi stti Murizio Plsi 27

28 Mhin non ompltmnt spifit Un uristi pr l rir ll oprtur minim 1. Inizilizzr un list L vuot 2. Finhè il grfo non è vuoto. Iniviur orinr l lssi i mssim omptiilità prsnti sul grfo pr imnsion. Iniviur l lss i omptiilità mssim i imnsion mssim prsnt sul grfo. Insrir nll list L tutti i vinoli prsnti nll lss i omptiilità onsirt. Eliminr ll list L l grfo i vinoli soisftti ll lss onsirt. Eliminr l grfo tutti i noi ( i rltivi rhi) pprtnnti ll lss i omptiilità onsirt h non pprtngono nssun vinolo prsnt nll list L /o nl grfo 3. L lssi osì iniviut formno un prtizion i omptiilità (insim i lssi i omptiilità hiuso) Murizio Plsi 28

29 Mhin non ompltmnt spifit Un uristi pr l rir ll oprtur minim Grfo i prtnz Psso 1 Psso 1,, L={} L={} Murizio Plsi 29

30 Mhin non ompltmnt spifit Un uristi pr l rir ll oprtur minim Grfo i prtnz Psso 2 Psso 2 L={} L={} grfo vuoto Coprtur iniviut: {, } Tll gli stti inizil 0 1 /0 /0 /0 /0 /- /- /1 /1 /- /- Clssi omptiilità h oprono tutti gli Tll gli stti stti h formno riott un insim hiuso 0 1 α = {,,} β = {,} α β /0 α /0 β α /1 α /1 Murizio Plsi 30

31 Mhin non ompltmnt spifit Esmpio F Grfo i prtnz Psso 1 B A CD CD CD AB D C AB Psso 1 CDE, BEF, AB, AD CDE L={AB, CD} L={AB} F A CD B CD CD C AB E A B AB E D F Murizio Plsi 31

32 Mhin non ompltmnt spifit Esmpio Grfo i prtnz Psso 2 B A F Psso 2 BF, AB BF L={AB} L={AB} A B F A B Murizio Plsi 32

33 Mhin non ompltmnt spifit Esmpio Grfo i prtnz Psso 3 A B Psso 3 AB AB L1={AB} L1={} A B Grfo vuoto Coprtur iniviut: {, f, } Murizio Plsi 33