Limite. Se D non è limitato si può fare il limite di f(x) per x che tende

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1 Appunti sul corso di Complementi di Matematica,mod.Analisi, prof. B.Bacchelli - a.a. 200/ Limiti continuità: Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., Esercizi 3., 3.2. Funzioni di più variabili. Dominio, immagine, visualizzazione dell andamento di funzioni di due variabili mediante curve di livello. Limiti, continuità. N.B. I concetti di funzione, dominio, immagine, di ite di funzione, di continuità per funzioni di più variabili sono del tutto simili a quelli per funzioni di una variabile, e verranno qui solo accennati. Funzione di più variabili. Una funzione f : D R n R (campo scalare) è una legge f che assegna ad ogni elemento di D un solo numero reale. Il dominio D è l insieme dei punti di R n in cui è definita la legge, l insieme f(d), immagine di D, è l insieme dei valori assunti al variare dei punti in D. Per funzioni di due variabili, si può a volte capirne l andamento mediante lo studio delle curve di livello. Def. Si dice curva di livello c l insieme dei punti (, y) D tali che f(, y) = c. Limite. Se D non è itato si può fare il ite di f() per che tende a +, con in D. Se a è punto di accumulazione di D (interno o di frontiera di D), si può fare il ite di f(), per che tende ad a. Per es. a f() = L, con L R, si intende: per ogni ε > 0 esiste δ > 0, δ(ε), tale che per ogni D, 0 < a < δ si ha f() L < ε. Unicità del ite. Se esiste il ite, esso è unico. Teorema del confronto. Se valgono le disuguaglianze g() f() h(), per, 0 < a < δ e λ = a g() = a h(), allora λ = a f(). In particolare, se f() h(), per, 0 < a < δ e a h() = 0, allora a f() = 0.

2 Continuità. Se a è punto interno a D, f è continua in a se f() = f(a) a Oss. Ponendo =a+y, la condizione di continuità si può equivalentemente esprimere come y 0 f(a + y) = f(a) oppure (f(a + y) f(a)) =0. y 0 Polinomi, funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche sono funzioni continue. Somma, prodotto, quoziente (se il denominatore è diverso da zero) e composizione di funzioni continue è funzione continua. Come per funzioni di una variabile, vale il Teorema di Weierstrass: Una funzione continua in un insieme chiuso e itato ha massimo e minimo. N.B. Per funzioni di più variabili, i modi con cui un punto si avvicina ad a sono infiniti: per provare che L (o +, o - ) è il ite, occorre liberarsi dal modo di avvicinamento. A tal fine nelle forme di indecisione può essere opportuno usare delle maggiorazioni, per esempio, in R 2 : cy 2, y 2 c 2 + y 2, sin t t, y 2 + y 2 2, arc tan t t Per t < t 0 opportuno (cioè per t 0) tan t t, log( + t) 2 t. Per t > t 0 opportuno (cioè per t + ). 2 + cy 2 t 2 2 t, log t α t β, t e t. Può essere utile passare in coordinate polari: in R 2 sono così espresse: se = (, y) e a = (a, b), allora { = a + ρ cos θ y = b + ρ sin θ ρ = a = ( a) 2 + (y b) 2 0 cos θ = a ρ, sin θ = y b,, θ [0, 2π] ρ e sapere che: cos 2 θ + sin 2 θ =, cos θ sin θ y (si applichi y 2 2 opportunamente), (cos θ) 2n + (sin θ) 2n m > 0 (si applichi il teorema di Weierstrass opportunamente). 2

3 ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti funzioni, e stabilire se tali domini sono insiemi aperti o chiusi. Può essere utile osservare preventivamente se il dominio presenta delle simmetrie rispetto agli assi cartesiani o rispetto all origine. * f(, y) = 2 y D = {(, y) R 2 y 2}, D è insieme chiuso (il complementare è aperto). * f(, y) = ln( 4 + y y 2 ) D = {(, y) R 2 ± y }, D è insieme aperto. * f(, y) = y D = {(, y) R 2 > 0} {(, y) R 2 = 0 e y > 0}, D non è nè aperto nè chiuso: (0, 0) D c ma è di frontiera per D. * f(, y) = arcsin 2 + (y ) 2 D = {R 2 (0, )}. Infatti sempre, e il denominatore si annulla solo in 2 + (y ) 2 (0,). * f(, y) = arctan + y y D = {(, y) R 2 y }, La curva dei punti esclusi è una iperbole equilatera. D è insieme aperto. * f(, y) = ( y 2 )( 2 y) D = {(, y) R 2 ( y 2 )( 2 y) 0}, D è insieme chiuso (il complementare è aperto). Per disegnare D si tracci le curve della frontiera di D, y = 2 e = y 2, si osservi che ogni attraversamento di tali curve implica un cambio di segno del prodotto ( y 2 )( 2 y), quindi si valuti il prodotto in un punto, per es. (0,), e si deduca l insieme D. * f(, y) = y y2 2 D = {(, y) R 2 y <, y > }, D è insieme aperto. 3

4 * f(, y) = tan 2 y 2 D = (, y) R2 y π 2 + kπ, k Z. I punti esclusi formano y 0 un fascio di parabole (disegnarne qualcuna), unione l asse delle ascisse. D è insieme aperto. * Disegnare la curva di livello c = delle seguenti funzioni, e studiare come variano al crescere di c, e per c tendente a zero, immaginando l andamento della funzione. * f(, y) = + y (piano) D = R y = c fascio di rette parallele di coefficiente angolare. * f(, y) = y 2 D = (, y) R2 y 2 = {(0, y), y > 0} {(, y), 0 < y } y 0 2 D non è nè aperto, nè chiuso(disegnare). Le curve di livello c si hanno solo per valori c 0. Le curve hanno equazione y = c y * f(, y) = 2 + y 2 D = {R 2 (0, 0)}. Per c = 0 la curva di livello è l asse delle ascisse y = 0. Se c 0 l equazione della curva è y = c( 2 + y 2 ) : al variare di c è un fascio di circonferenze di centro (0, ) e passanti per (0,0). 2c * f(, y) = y + 2 D = {y 2 } cioè i punti che stanno sopra alla parabola di equazione y = 2. D è chiuso (il complementare è aperto). Le curve di livello hanno equazione y = 2 + c 2, per c 0: al variare di c formano un fascio di parabole di asse = 0, ciascuna è una traslazione verticale della y = 2. 4

5 LIMITI E CONTINUITA * Mediante la definizione di ite provare (,y) (2,2) y = Svolgendo la disequazione y < ε, 0 < ε <, per > 0 (poichè 2) si ottiene + ε < y <, quindi la definizione è soddisfatta ε con δ la distanza del punto (2, 2) dalla retta y + ε = 0. * Mediante la definizione di ite provare ( 2 cos y y 2 sin ) = 0 (,y) (0,0) Si ha f(, y) y 2 ; quindi f(, y) < ε se 2 + y 2 < ε, cioè la definizione è soddisfatta con δ = ε. * Mediante la definizione di ite provare (,y) (0,0) 2 + y 2 = + Si ha f(, y) > M 2 + y 2 <, e la definizione è soddisfatta con M δ = M. * Mediante la definizione di ite provare (,y) 2 + y 2 = 0 Dobbiamo verificare che ε > 0 K > 0 tale che se (, y) > K allora f(, y) < ε; si ha 2 + y 2 quindi f(, y) 2 + y 2, e la definizione è soddisfatta con K = ε. 5

6 * Dimostrare che il (,y) (00) non esiste. 2 + y 2 Per il teorema di unicità del ite, è sufficiente verificare che esistono due direzioni diverse lungo le quali si ottengono risultati diversi. Per esempio: f(0, y) = 0 0; f(0, y) = y + per y o+. * Dimostrare che il (,y) + y e (2 +y 2 ) non esiste Infatti, f(y, 0) = 0 0; f(, ) = e 22 + per y +. * Dimostrare che λ = ( 2 + y 2 ) sin( + y ) = 0 Infatti 0 f(, y) 2 + y 2 0 λ = 0. * Dimostrare che λ =,y + e (2 +y 2) = 0 passando in coordinate polari vediamo il ite ρ + f(ρ cos θ, ρ sin θ) f(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ cos θe ρ2 ρe ρ 2 0 se ρ +. λ = 0. 5 y 3 * Dimostrare che λ = ( 2 + y 2 ) 3 = 0 occorre passare in coordinate polari. = ρ cos θ, y = ρ sin θ, per ρ 0, uniformemente rispetto a θ [0, 2π] Poichè cos θ, e sin θ, allora: 0 f(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ 8 cos 5 θ sin 3 θ * Calcolare il ite λ, se esiste. ρ 6 = ρ 2 cos 5 θ sin 3 θ ρ 2 0 λ = 0 (,y) (2, ) (y + 2 ) λ = = 2 (essendo funzione continua) 2 + y 2 non esiste: f(0, y) = 0 0, f(, 0) = y y 4 non esiste: f(0, y) = 0 0, f(y 2, y) = 2 /2 : se esiste il ite, è unico. 6

7 2 2 + y 2 non esiste: f(0, y) = 0 0, f(, ) = /2 /2. 2 y y 2 2 y y 2 y 0 λ = 0 (teorema del confronto). 3 (,y) (,0) ( )y ( ) 2 + y f(, y) 0 λ = 0 sin( y) + cos( + y) f è continua in un intorno di (0,0) λ = f(0, 0) =. 2 2 y 2 y 2 non esiste: f(0, y) = 0 0, f(, + 2 ) = y y 2 y y 2 y 0 λ = 0 y 3 ( 2 + y 2 ) 3 poichè f(0, y) = 0 0, ma f(, ) = 4 8 = +, allora il ite 6 82 non esiste. (,y) ( 2 + y 2 e 2 e y2 ) Si ha che per > 0, y > y 0, e 2 > 2 2, e y2 > 2y 2. Quindi f(, y) < 2 + y y 2 = 2 y 2 λ = 3 y 3 Determinare g() in modo che f sia continua: f(, y) = y, se y g(), se = y g() = 3 2 7