MATEMATICA. a.a. 2014/ LIMITI (I parte): Definizione, proprietà e calcolo. Limiti di funzioni, continuità e asintoti.

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1 MATEMATICA a.a. 2014/15 2. LIMITI (I parte): Definizione, proprietà e calcolo. Limiti di funzioni, continuità e asintoti.

2 Definizione Il campo di esistenza è l insieme di tutti i punti nei quali la funzione è definita. Se il campo di esistenza D è costituito dall unione di più intervalli (limitati o illimitati) occorre prendere in considerazione separatamente gli estremi di ognuno di questi intervalli. Se gli estremi appartengono a D, si calcola semplicemente il valore della funzione in tali punti. Se invece un estremo, che indicheremo con a, non appartiene a D, si può solo analizzare cosa succede per i valori di f() quando assume valori via via più vicini ad a. In linguaggio matematico, si tratta di determinare il limite di f() al tendere di ad a.

3 1 f ( ) 2 Definizione

4 In simboli: lim f ( ) a Più esattamente se a è l estremo sinistro di un intervallo, va fatto avvicinare ad a da destra, in modo tale cioè che sia contenuto nell intervallo in questione. In altre parole, si tratta di determinare il limite destro di f(), al tendere di ad a. In simboli: lim f ( ) a + In modo simmetrico, se a è l estremo destro di un intervallo, si tratta di determinare il limite sinistro di f() al tendere di ad a. In simboli: lim f ( ) a Nel caso degli estremi «all infinito» le scritture: lim f ( ) lim f ( ) + Definizione hanno rispettivamente il significato di limite destro e di limite sinistro.

5 Definizione Per ciascuno di questi limiti (limite destro o sinistro, al finito o all infinito) possono verificarsi tre casi: a. Il limite esiste finito; b. Il limite esiste ed è + e, rispettivamente, - a. Il limite non esiste

6 lim f ( ) a + L Limite destro finito sta a significare che, quando la variabile assume valori via via più vicini ad a, i corrispondenti valori di f() si avvicinano sempre più al valore L che viene detto il limite della funzione f() per tendente ad a da destra. La concatenazione tra la tendenza dei valori della variabile ad a e la tendenza dei valori della funzione f() ad L si precisa in termini matematici rigorosi come: Si dice che f() tende al limite L per tendente ad a (da destra) se in corrispondenza a ogni numero positivo ε è possibile trovare un secondo numero positivo δ, tale che risulti: f L < ε per ogni a, a + δ ( ) ( ) Esempio: lim

7 Limite destro finito lim

8 lim f ( ) a Limite sinistro finito sta a significare che, quando la variabile assume valori via via più vicini ad a (ma sempre minori di a), i corrispondenti valori di f() si avvicinano sempre più al valore L che viene detto il limite della funzione f() per tendente ad a da sinistra. Si dice che f() tende al limite L per che tende ad a da sinistra se: per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che f() L < ε per ogni (a δ, a). L a a a Esempio: lim 1 0 1

9 Limite sinistro finito lim 1 0 1

10 Limite finito per a Si dice che: lim f ( ) a L se la funzione possiede sia il limite sinistro, sia il limite destro per tendente ad a e se entrambi questi limiti hanno il medesimo valore L.

11 Limite finito per a Consideriamo la funzione: y C.E.: R \{ 3} Vogliamo studiare il comportamento della funzione vicino al punto a3 dove la funzione non è definita. Andiamo a valutare a quale valore L si avvicina la funzione quando tende al valore 3: 2,9 2,99 2,999 2, ,0001 3,001 3,01 3,1 F() 5,8 5,98 5,998 5,9998 6,0002 6,002 6,02 6,2 Si nota che quanto più si avvicina a 3, tanto più f() si avvicina al valore 6.

12 Limite finito per a Più in generale se prendiamo un qualunque valore di in un intorno di 3 sempre più piccolo, allora f() si trova sempre più vicino a 6 ossia si trova in un intorno di 6 sempre più piccolo. Ancora, si può dire che se si considera un intorno circolare di 6 di ampiezza ε esiste sempre un intorno di 3 i cui punti (con 3) hanno immagine f() contenuta in I ε (6). I punti di tale intorno, infatti, soddisfano la seguente disequazione: Si ottiene quindi: f ( ) 6 < ε ossia 6 < ε 3 ( 2 + ) ( ) ε < ε < ε 2 < ε 3 <

13 Limite finito per a Ossia: ( 2 + ) ( ) ε < ε < ε 2 < ε 3 < ε ε 3 < < I ε ε 3 3 ; ( ) quindi le soluzioni della disequazione sono i punti dell intorno: Si può infine affermare che: per ogni ε>0 esiste un intorno I(3), che dipende da ε, tale che per ogni appartenente a tale intorno, con 3 si ha: f ( ) 6 < ε Diciamo allora che per che tende a 3 f() ha limite 6. Si scriverà quindi: 3 ( ) lim f 6

14 Limite finito per a A livello grafico: Per ε1 I(3-1/2;3+1/2) y ε y f ( ) 6 < ε

15 Limite finito per a ESEMPI lim ( ) 2 2 lim ( + 1)( 1) lim lim

16 Limite finito per a

17 lim f ( ) + Limite finito per significa che, quando la variabile assume valori via via più grandi, i corrispondenti valori della funzione si avvicinano sempre di più a L. In termini matematici rigorosi si dice che: f() tende ad L per tendente a + se in corrispondenza a ogni numero positivo ε è possibile trovare un secondo numero (positivo) K tale che risulti: L ( ) < ε per ogni (, + ) f L K Studio di funzioni: Asintoto orizzontale yl K

18 Limite finito per

19 Studio del comportamento della funzione: f ( ) 1. CAMPO DI ESISTENZA C. E :R 2. SIMMETRIA Né pari né dispari 3. POSITIVITA Sempre positiva e 4. INCONTRO CON GLI ASSI y y e 0 MAI y e y ( ) P1 0,1

20 Studio del comportamento della funzione agli estremi: f ( ) e lim + e + : lim e lim e 0: lim e lim 0 e

21 Limite finito per Studiare le seguenti funzioni ed individuare l eventuale esistenza di asintoti orizzontali: ( ) f ( ) f 1 + e 3. ( ) f 3

22 ( ) f CAMPO DI ESISTENZA { } C. E : R\ 0 2. SIMMETRIA Né pari né dispari 3. POSITIVITA >

23 ( ) f INCONTRO ASSI + 1 y y y ( ) P1 1,0 0 C. E.

24 5. COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI (ASINTOTI) ( ) f + 1 Asintoto orizzontale lim / 1 1 lim / / 1 1 lim / y1 ASINTOTO ORIZZONTALE