Fluidodinamica. Q=V/Δt=costante

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1 Liquido perfetto o ideale: Fluidodinamica Incomprimibile (densità costante sia nel tempo che nello spazio) Assenza di attrito interno (in un liquido reale si conserva la caratteristica dell incompressibilità ma le molecole non sono libere di scorrere le une sulle altre, incontrano resistenza, si dice che il liquido presenta viscosità) Equazione di continuità Incompressibilità Q=V/Δt=Sh/Δt=Sv (velocità) (m 3 /s) Q=V/Δt=costante La portata Q resta costante: il volume di liquido che entra nell intervallo di tempo Δt da un estremo di un condotto è uguale a quello che esce dall altro estremo nello stesso intervallo di tempo. h S h v s v 1

2 S * v = costante S e v sono inversamente proporzionali ne segue che aumentando la sezione del condotto diminuisce la velocità e viceversa: se S si dimezza v raddoppia Alcune Premesse: Linea di flusso: sempre tangente al vettore velocita` di una particella elementare di fluido. Queste linee rappresentano le traiettorie di ogni singola particella. P 1 P P 3 P 4 P 5 Flusso Laminare Le linee di flusso non si intersecano (per un punto passa una sola linea)

3 Teorema di Bernoulli: principio di conservazione dell energia nel caso di un liquido perfetto fluido incompressibile non viscoso flusso laminare flusso stazionario (v(x,y,z,t) non dipende dal tempo) Le prime due proprietà caratterizzano un liquido ideale. Flusso Turbolento 3

4 S 1 1 dx 1 S 1 dx 1 = S dx = ΔV z 1 v 1 S dx z v p 1 S 1 dopo prima p S L p = P 1 ΔV P ΔV L g = mgz 1 mgz 4

5 Per il teorema dell energia cinetica si ha dunque: P 1 ΔV P ΔV + mgz 1 mgz = 1 mv 1 mv 1 Da cui si ottiene l espressione nota come Teorema di Bernoulli : P 1 ΔV P ΔV + ρδvgz 1 ρδvgz = 1 ρδvv 1 ρδvv 1 P ρv 1 + ρgz 1 = P + 1 ρv + ρgz Che più semplicemente si può scrivere come: P + 1 ρv + ρgz = costante Conservazione dell energia per unità di volume 5

6 Alcune applicazioni Tubo di Venturi. S 1 la portata è costante la velocità è maggiore e la pressione minore dove la sezione è minore S v v 1 P 1 P h z 1 = z Δp = ρ v ( v 1 ) Q = S 1 v 1 = S v Q = Δp ρ % ' & S 1 S S 1 S ( * ) ΔP = P 1 P = 1 ρv 1 % S 1 ( ' * & ) S 1 Flussimetro per la misura della velocità del sangue in un arteria 6

7 Tubo di Pitot Tubo di P. inserito in un flusso di corrente permette di misurare direttamente la velocità del flusso, x In b si interrompe la linea di flusso V b =0 punto di ristagno, in a la velocità rimane con buona approssimazione quella del flusso. Dall equazione di Bernoulli. P b P a = 1 ρv P b P a = 1 ρv = ( ρ m ρ)gh dove ρ è la densità del fluido. ( ) P a + ρ m hg + ρgx = P b + ρg x + h P b P a = ( ρ m ρ)gh dove ρ m è la densità del fluido manometrico. 7

8 h v L. Torricelli v = gh h h 1 B A Sifone P = P 0 ρg( h 1 + h + h 3 ) C h 3 ( h ) v = g 1 + h 3 8

9 Esempi Il flusso sanguigno in una grande arteria di un cane è incanalato in un flussimetro di Venturi. La parte più larga ha un area A 1 =0.08cm uguale alla sezione dell arteria, la parte più stretta A =0.04cm in questi due punti si misura una ΔP=5Pa. Qual è la velocità del sangue nell arteria? (densità del sangue ρ s =1059kg/m 3 ) Un cilindro in cui viene fatto il vuoto ha la base di raggio R=0.5m. Calcolare la forza che agisce sulla base a) in aria a livello del mare, b) in acqua alla profondità h=10.33m Un corpo di densità ρ c =0.9g/cm 3 è parzialmente immerso in acqua (ρ L =1g/cm 3 ). Quale frazione del volume totale emerge dall acqua? Una mongolfiera piena di gas (ρ g =0.kg/m 3 ) è in equilibrio in aria (ρ a =1.3kg/m 3 ) sostenendo un carico totale M=300kg. Qual è la massa del gas nell ipotesi che il volume del carico sia trascurabile rispetto al volume del gas 9

10 Paradosso idrodinamico Tra due dischi A e B fluisce dell aria trasportata dal condotto O B O A O p + 1 ρv = costante Attraverso il tubo OO arriva una corrente fluida tra i due dischi A e B. Tuttavia il piatto B non viene respinto ma attratto verso A. L aumento di velocita` che crea la strozzatura va a scapito di una diminuzione di pressione che se scende al di sotto di quella atmosferica il disco B tendera` a chiudere il il tubo anziche` volare via. 10

11 Flusso dei fluidi viscosi I liquidi reali presentano dell attrito interno: vi è dissipazione di energia meccanica in calore ΔI 0; Liquido ideale Liquido reale v P 1 v P gli attriti interni sono responsabili della caduta di pressione lungo il condotto (P < P 1 ) fenomeno noto come perdita di carico Potenza dissipata: ΔP* Q=ΔP*S*v 11

12 fluido in equilibrio: le forze di superficie si riducono alla sola pressione p=df n /ds fluido in movimento: devono essere considerate anche le forze di coesione tra elementi di fluido (forze intermolecolari attrattive). Il parametro che quantifica l attrito interno è la viscosità y Flusso laminare A v O F Applicando una forza F alla tavola (di superficie S) la sua velocità, a regime è costante: equilibrio tra F applicata ed una forza di attrito A Lo strato di fluido a contatto con la lastra in movimento ha la stessa velocità della lastra v; lo strato prossimo alla base fissa è in quiete v=0 F = ηs Δv Δy η Coefficiente di viscosità 1

13 [η ] = "# ML 1T 1 $% dimensioni del parametro viscosità " N s$ unità di misura ' m ( = " kg m 1s 1 $ = Pa s # % #m m% 1 Pa s = 10 Poise (g cm-1s-1) 13

14 Flusso laminare in un condotto cilindrico Q=S<v>=Sv max / La portata dipende dalla viscosità del fluido, dalla caduta di pressione, dal raggio e dalla lunghezza del tubo Legge di Poiseuille basse velocità (regime laminare: strati scorrono uno sull altro) condotto rigido piccoli diametri Q = πδp 8ηl r4 = ΔP R < v >= ΔP r 8ηl 14

15 forza viscosa F = ηs dv dy Ricaviamo la legge di Poiseuille -Condotto cilindrico in cui il fluido si muove come indicato delle frecce. -In regime laminare il moto è schematizzabile come il moto di tanti cilindri concentrici di velocita` decrescente man mano che ci avviciniamo alle pareti del condotto -La forza che contrasta l attrito viscoso è dovuta alla ΔP ΔP πr = ηπrl dv dr dv dr = ΔP r ηl v max 0 = R 0 ΔP r ηl dr = R ΔP r 4ηl 0 < v >= v max = ΔP R 8ηl Q = Av = π R ΔP R 8ηl = ΔP π R4 8ηl 15

16 Condizione per il moto laminare Il tipo di flusso (il genere di moto in un fluido) dipende dal Numero di Reynolds Re = ρvd η Adimensionale dens. fluido Per un condotto cilindrico d=r. Assumeremo d=r : dimensione caratteristica (del condotto, del corpo in movimento) Tubo cililndrico: Re = ρvr η v: velocità media del fluido (Q=Sv) Con questa definizione si trova, per un tubo cilindrico lungo(l>>r): $ Re 1000 regime laminare & % 1000 Re 3000 transizione & ' Re 3000 turbolento Tipicamente si assume 400 come valore critico (Re C ): dipende dalla rugosità della superficie e dalla lunghezza del tubo. Re C = ρv C r η v C : velocità critica. 16

17 Resistenza che incontra un corpo che si muove in un fluido con basse velocità (Legge di Stokes) A = 6πηrv solo regime laminare Per un corpo sferico di raggio r r Moto (esponenzialmente) smorzato. Velocità limite (pioggia, pulviscolo) In generale A γv K = con 1 < K < A = 1 csρv Attrito viscoso su sfera ad alta velocità. Regime turbolento c : coefficiente di aerodinamicità, S:sezione del corpo perpendicolare al moto del fluido 17