Soluzioni. a) Il dominio è dato da tutti i numeri reali tranne quelli che annullano il denominatore di (x+1)/x. Quindi D = R {0} = (-,0) (0,+ ).

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1 Soluzioni Data la unzion a trova il dominio di b indica quali sono gli intrvalli in cui risulta positiva qulli in cui risulta ngativa c dtrmina l vntuali intrszioni con gli assi d studia il comportamnto dlla unzion agli strmi dl suo dominio, dtrminando vntuali asintoti calcola la drivata prima indica quali sono gli intrvalli in cui la unzion è crscnt qulli in cui è dcrscnt, dtrminando vntuali massimi o minimi rlativi o lssi a tangnt orizzontal calcola la drivata sconda indica quali sono gli intrvalli in cui la unzion rivolg la concavità vrso l alto qulli in cui la concavità è vrso il basso, dtrminando vntuali lssi g disgna un graico approssimativo in un opportuno sistma di ririmnto a Il dominio è dato da tutti i numri rali trann qulli ch annullano il dnominator di / Quindi D R {} -,, b La unzion è smpr positiva, in quando b è smpr maggior di a prscindr dal valor dll sponnt b c Essndo la unzion smpr strttamnt positiva, non ci possono ssr intrszioni con l ass L vntuali intrszioni con l ass y si ottngono risolvndo il sistm y Poiché il valor è scluso dal dominio, il sistma non ha soluzioni Quindi non ci sono intrszioni nmmno con l ass y d Si tratta di calcolar i sgunti quattro limiti: lim, lim, lim, lim Si ha ch lim lim lim, in manira dl tutto analoga, lim lim lim

2 Vi è quindi l asintoto orizzontal dato dalla rtta y Inoltr, lim prché l sponnt tnd a pr ch tnd a Vi è dunqu l asintoto vrtical Invc, lim prché l sponnt tnd a - pr ch tnd a - ' Poiché tanto il attor quanto / sono smpr strttamnt positivi all intrno dl dominio, dduciamo ch è smpr strttamnt ngativa Prtanto la unzion è smpr dcrscnt Siccom i attori d sono smpr strttamnt positivi all intrno dl dominio dlla unzion si ha ch > s solo s >, cioè > Di consgunza in graico dlla unzion rivolg la sua concavità vrso l alto nll insim,, vrso il basso nll intrvallo, Nl punto di ascissa vi è un lsso La corrispondnt ordinata è data da Quindi il lsso è dato dal punto F,

3 g F Data la sgunt unzion 5 a trovar il dominio di b calcolar la drivata di c trovar l quazion dlla rtta r tangnt al graico di nl punto di ascissa a Il dominio è dato da tutti i numri rali, in quanto 5 è smpr positivo, a prscindr dal valor di b Si tratta di calcolar la drivata di una unzion potnza, in quanto 5 5 Dunqu c La rtta r ha coicint angolar dato m 5 3 Quindi r ha quazion dl tipo y q, con l intrctta q ancora ignota Pr trovar il 3 valor di q utilizziamo l altra inormazion ch ci ornisc la traccia, cioè ch la rtta passa pr il punto di coordinat,, cioè - dato ch 3 - pr il punto P,3 Quindi dv ssr

4 da cui La rtta ha dunqu quazion 3 q 3 5 q y Ad un sam di prsntano studnti ottnndo i sgunti voti sprssi in trntsimi: 3 studnti ottngono, altri 3 studnti ottngono 6, studnti ottngono, studnt ottin 8, tutti gli altri 8 Calcolar la mdia, la mdiana la dviazion standard di voti consguiti nll sam Riguardo la mdiana, dovrmmo mttr in ordin crscnt i voti ottnuti, dato ch il numro di dati è pari, scglir il 7 l 8 dato calcolarn la mdia Siccom vi sono cinqu studnti con 8/3 du con /3, il 7 dato in ordin crscnt è snz altro L ottavo è dunqu Quindi la mdiana è dato da / 3 Altrnativamnt potvano scrivr in ordin crscnt tutti i dati: da cui strapoliamo i dati cntrali, di cui calcolar la mdia Riguardo la mdia la dviazion standard, possiamo agvolar i calcoli scrivndo accanto a ciascun dato la rlativa rqunza: rqunz k voti k Possiamo quindi calcolar la mdia con la ormula dlla mdia pondrata: 5 k k k ,3 Analogamnt, pr la varianza, abbiamo ch Costruiamoci dunqu la sgunt tablla: 5 Var k k k

5 rqunz scarti k k,3 k,3 k k,3 3,7,89 8,67 3 3,7 3,69,7 -,3,9,8 5,7 3,9 3,9 5 -,3 8,9 9,5 7,86 Si ha dunqu Di consgunza, 7,86 Var,9 s Var,9 3,53