Proprieta` dei sistemi in retroazione

Transcript

1 Proprieta` dei sistemi in retroazione Specifiche di controllo: errore a regime in risposta a disturbi costanti errore di inseguimento a regime quando il segnale di riferimento e` di tipo polinomiale sensibilita` alle variazioni parametriche proprieta` dinamiche della risposta a disturbi e/o variazioni del segnale di riferimento (t r, t s, M p,...) stabilita` del sistema controllato Diverse caratteristiche e prestazioni per i sistemi di controllo in catena aperta ed in catena chiusa

2 Proprieta` dei sistemi in retroazione R R H r H r - D ol D cl H y U U G G W W Y Y V 2

3 Proprieta` dei sistemi in retroazione Esempio: controllo di velocita` per il motore in continua J m d 2 dt 2 θ m = K t i a b d dt θ m τ R a i a = v a K e d dt θ m ω m (t) = d dt θ m (t) τ l : disturbo di carico L a trascurabile J m sω m (s) bω m (s) = K t I a (s) T (s) R a I a (s) = V a (s) K e Ω m (s) ( J m R a s br a K t K e )Ω m (s) = K t V a (s) R a T (s) J m R a s Ω m (s) = br a K t K e K t br a K t K e V a (s) R a br a K t K e T (s) 3

4 Proprieta` dei sistemi in retroazione In maniera compatta, definendo J τ = m R a K A = t br a K t K e br a K t K e ( τs )Ω m (s) = AV a (s) BT (s) In catena aperta: Ω ref H r D ol B = Ω m (s) = T l V a B/A R a br a K t K e A ( τs ) V a (s) B τs A τs Ω m ( ) T (s) T ol (s) = Ω m (s) Ω ref (s) = H r (s)d ol (s) A τs Ω m (s) T (s) = B τs 4

5 Proprieta` dei sistemi in retroazione Supponendo H r =, T l =0, V a =cost=a, impostando come velocita` desiderata ω ref =cost si ottiene a regime: D ol (s) = K ol = A Ω ref ω ss = lim t ω m (t) = lim s 0 s Vs/rad = AV a V a = ω ref A = K olω ref K ol T l V a A τs ( ) B/A V a s A τs ω ss = ω ref Ω m 5

6 Proprieta` dei sistemi in retroazione Controllo in retroazione: Ω ref H r - D cl H y T cl (s) = Ω m (s) D (s) cl Ω ref (s) = H r (s) H y (s)d cl (s) Ω m (s) T (s) = B A A τs H y (s)d cl (s) A τs A τs T l V a A τs B/A A τs Ω m D = H r (s) cl (s)a ( τs ) H y (s)d cl (s)a B = ( τs ) H y (s)d cl (s)a 6

7 Proprieta` dei sistemi in retroazione Guadagno di anello: Assumendo H r =Vs/rad, H y =Vs/rad, D cl (s)=k cl : Supponendo T l =0, impostando come velocita` desiderata ω ref =cost si ottiene a regime: ω ss = T cl (0)Ω ref = L(s) = D cl (s)h y (s) v a (t) = K cl (ω ref ω m ) A τs K cl A K cl A ω ref Kcl ω ref Precisione tanto maggiore tanto piu` grande e` K cl 7

8 Proprieta` dei sistemi in retroazione Con disturbo costante τ l : ω ss = ω ref Bτ catena aperta ω ss = K cl A K cl A ω ref B K cl A τ catena chiusa In catena aperta: nessuna possibilita` di ridurre l effetto del disturbo In catena chiusa: riduzione (rispetto al caso open loop) dell effetto di un fattore K cl A=L(0) Effetto tanto maggiore tanto piu` grande e` K cl 8

9 Proprieta` dei sistemi in retroazione Sensibilita` alle variazioni parametriche: progetto il sistema di controllo in base a certi valori dei parametri del modello il sistema effettivo e` descritto da valori diversi dei parametri come variano le prestazioni del sistema di controllo? Esempio: guadagno del motore A AδA Il valore a regime di ω m dipende dal valore in s=0 della funzione di trasferimento dal riferimento all uscita In catena aperta: T ol (0) = K ol (A δa) = T ol (0) K ol δa = T ol (0) δa A = T ol (0) δt ol (0) δt ol (0) T ol (0) = K olδa K ol A = δa A = S T ol δa A A Sensibilita` di T ol (0) alle variazioni di A 9

10 Proprieta` dei sistemi in retroazione In catena chiusa: δt cl (0) = dt cl (0) da δa T S cl A = A T cl (0) = A ( AK cl ) AK cl T cl (0) = K cl (A δa) K cl (A δa) δt cl (0) T cl (0) = A T cl (0) dt cl (0) da dt cl (0) da = A 2 K cl ( AK cl ) AK cl T cl (0) ( AK cl ) 2 K cl ( AK cl ) = 2 AK cl δa A = S A T cl δa A S A T ol = riduzione di un fattore K cl A=L(0) 0

11 La funzione di sensibilita` Sensibilita` alle variazioni parametriche: percentuale di variazione di una certa quantita` (funzione di un parametro) rispetto a variazioni percentuali del parametro dq Q(α) : S Q Q α = = α dα dq Q dα α es: dα α = 5% S α Q = 0. < dq Q = 0.5% S α Q =0 > dq Q = 50% dq Q = S Q dα α α

12 La funzione di sensibilita` Esempio: r G G 2 Y(s) = T R(s) = G G 2 R(s) S T G2 = G 2 T dt dg 2 = G 2 G G 2 G = y Le variazioni di G 2 si riflettono inalterate su T 2

13 La funzione di sensibilita` r G G 2 - Y(s) = T R(s) = G G 2 G 2 H R(s) S T G2 = G 2 T dt = G 2 ( G 2 H) G ( G 2 H G 2 H) = dg 2 G G 2 ( G 2 H) 2 G 2 H La sensibilita` alle variazioni di G 2 descresce al crescere del guadagno di anello E` sempre inferiore rispetto al caso precedente H y 3

14 La funzione di sensibilita` Sensibilita` rispetto alle variazioni di H: S H T = H T dt dh = H( G 2 H) 2 G G 2 G G 2 ( G 2 H) = G 2 H 2 G 2 H All aumentare del guadagno di anello, tende (in modulo) ad Sensibilita` alle variazioni di G : T = G G 2 : S T G = G T T = G G 2 G 2 H : S T G = G T dt = G G 2 = dg G G 2 dt = G ( G 2 H) G 2 dg G G 2 G 2 H ( ) = Riduzione della sensibilita` solo per variazioni dentro l anello di retroazione! 4

15 La funzione di sensibilita` In termini generali, la retroazione: riduce, all aumentare del guadagno di anello, la sensibilita` della f.d.t ad anello chiuso a variazioni parametriche degli elementi della catena diretta tende a rendere unitaria, all aumentare del guadagno di anello, la sensibilita` della f.d.t ad anello chiuso a variazioni parametriche degli elementi della catena di retroazione non influenza la sensibilita` della f.d.t ad anello chiuso a variazioni parametriche degli elementi esterni all anello di retroazione In genere, si ha maggiore incertezza sui parametri del processo che sui parametri dei sensori 5

16 La funzione di sensibilita` Estensione a f.d.t.: G(s;α) : S G α = r G(s;α) - H(s) dg(s;α) G(s;α) α = dα dg(s;α) G(s;α) dα α y T(s) = G(s;α) G(s;α)H = T(s;G(s;α)) 6

17 La funzione di sensibilita` Sensibilita` di T a variazioni di α: S T α (s) = α dt(s) = α dt(s) T(s) dα T(s) dg(s;α) = α dt(s) T(s) dg(s;α) dg(s;α) dα G(s;α) G(s;α) dg(s;α) dα α = dg(s;α) G(s;α) dt(s) G(s;α) dα T(s) dg(s;α) = S α G (s)s G T (s) 7

18 La funzione di sensibilita` Sensibilita` di T a variazioni di α: S α T (s) = S α G (s)s G T (s) E` data dal prodotto della sensibilita` della funzione in catena diretta alle variazioni del parametro per la sensibilita` di T rispetto a variazioni di G S G T (s) = G(s)H(s) S H T (s) = G(s)H(s) G(s)H(s) 8

19 La funzione di sensibilita` In frequenza: S T G ( jω) = G( jω)h( jω) S α T ( jω) = S α G ( jω)s G T ( jω) S H T ( jω) = G( jω)h( jω) G( jω)h( jω) Tanto piu` S αg (jω) e` piccolo, tanto piu` la sensibilita` a variazioni di α e` ridotta rispetto al caso in catena aperta Si cerca di rendere il piu` ampio possibile l intervallo di frequenze in cui S αg (jω) e` piccolo G(jω) H(jω) = L(jω) = grande L(jω) >> Effetto collaterale: dove G(jω) H(jω) e` grande, si ha alta sensibilita` alle variazioni parametriche di H(s) 9

20 Sensibilita` ai disturbi Reiezione dei disturbi: capacita` del sistema di rendere piccolo l effetto dei disturbi agenti sul sistema sulla variabile di uscita r - G(s) H(s) d y Y(s) D(s) = G(s)H(s) = S T G(s) 20

21 Sensibilita` ai disturbi I disturbi sono maggiormente attenuati nell intervallo di frequenze dove G(jω) H(jω) = L(jω) e` grande L(jω) >> Minimizzazione della funzione di sensibilita` Qualunque disturbo iniettato nella catena diretta si manifesta su y tramite una f.d.t. che ha (G(s) H(s)) al denominatore effetto benefico della minimizzazione della sensibilita` 2

22 Sensibilita` ai disturbi Disturbi entranti nella catena di retroazione: (es: rumore dei sensori) r - G(s) H(s) y v Y(s) V (s) = G(s)H(s) G(s)H(s) = S T H (s) 22

23 Sensibilita` ai disturbi I disturbi sono maggiormente attenuati nell intervallo di frequenze dove G(jω)H(jω) = L(jω) e` piccolo L(jω) << Dove il guadagno di anello e` piccolo si ha maggiore sensibilita` ai disturbi entranti nella catena diretta Esigenze contrastanti necessita` di mediare (trade-off) Sagomatura del guadagno di anello (loop shaping): elevato guadagno di anello alle basse frequenze basso guadagno di anello alle alte frequenze 23

24 Le equazioni dei sistemi in retroazione R R H r - - D cl H y H r D cl =D H y / H r =H W U W U G G Y Y V V 24

25 Le equazioni dei sistemi in retroazione R Y = U = E = R Y = - D W U DG DG R G DG W DG DG V G D DG R DG DG W D DG V DG R G DG W DG DG V Y V 25

26 Le equazioni dei sistemi in retroazione funzione di sensibilita` funzione di sensibilita` complementare S = T = DG DG DG S T = DG DG DG = T = S E = R Y = SR SGW TV Per rendere e piccolo S e T piccoli contemporaneamente impossibile Si agisce su T e S in bande di frequenze diverse (loop shaping) 26

27 Retroazione e comportamento dinamico Funzione di trasferimento a catena chiusa: T(s) = D(s)G(s) D(s)G(s) = n D (s) d D (s) n D (s) d D (s) n G (s) d G (s) n G (s) d G (s) Poli di T(s) = zeri di d D (s)d G (s)n D (s)n G (s) = n D (s)n G (s) d D (s)d G (s) n D (s)n G (s) Scegliendo opportunamente D(s) si puo` rendere stabile T(s) anche se G(s) e` instabile Posizionando opportunamente i poli del sistema in catena chiusa, se ne puo` assegnare il comportamento dinamico in transitorio e a regime 27

28 Errore a regime e tipo di sistema Si consideri la configurazione in retroazione unitaria Proprieta` di inseguimento (tracking) del segnale di riferimento in assenza di disturbi (W=0,V=0) E(s) = R(s) Y(s) = D(s)G(s) R(s) D(s)G(s) = R(s) = S(s)R(s) D(s)G(s) Risposta a r(t) = ingresso canonico (gradino, rampa,...) Valore a regime dell errore T(s) con poli solo in Re[s]<0 e al piu` nell origine 28

29 Errore a regime e tipo di sistema Errore a regime: r(t) = t k k! e ss = lim t e(t) = lim s 0 se(s) = lim R(s) = s k s 0 s D(s)G(s) R(s) e ss = lim s 0 D(s)G(s) Risposta al gradino (k=0): se DG non ha poli in s=0 e ss = lim s 0 D(s)G(s) = D(0)G(0) = K p s k K p : costante di errore di posizione (guadagno di posizione, guadagno statico) 29

30 Errore a regime e tipo di sistema Nel caso generale: R(s) = D(s)G(s) = G 0 (s) s k s n n>0: # di poli nell origine di D(s)G(s) G 0 (0) = K n 0 e ss = lim s 0 s G o (s) s n n > k e ss = 0 s n = lim k s s 0 s n G o (s) n < k e ss = n = k > 0 e ss = K n n = k = 0 e ss = = K 0 K p s k 30

31 Errore a regime e tipo di sistema Risposta alla rampa unitaria: E(s) = D(s)G(s) s = 2 G 0 (s) s n s 2 = s n s n G 0 (s) s 2 = s n 2 s n G 0 (s) n=0 E(s) ha un polo doppio nell origine modi, t lim t e(t) = n E(s) ha al piu` un polo semplice nell origine lim t e(t) e per il teorema del valore finale lime(t) = limse(s) = t s 0 n = K v 0 n 2 K v : guadagno di velocita` 3

32 Errore a regime e tipo di sistema Risposta alla rampa parabolica unitaria: E(s) = D(s)G(s) s = 3 G 0 (s) s n s 3 = s n s n G 0 (s) s 3 = s n 3 s n G 0 (s) n=0 E(s) ha un polo triplo nell origine modi, t, t 2 lim t e(t) = n 2 E(s) ha al piu` un polo semplice nell origine lim t e(t) e per il teorema del valore finale n = 2 lime(t) = limse(s) = K K a : guadagno di accelerazione t s 0 a 0 n 3 32

33 Errore a regime e tipo di sistema Principio del modello interno: per neutralizzare (errore a regime nullo) un modo corrispondente ad un termine /s n, il termine in catena diretta deve avere un polo di ordine n nell origine ( modello del sistema elementare /s n ) Sistema di tipo n: n = 0 : K p = limd(s)g(s) s 0 n =: K v = limsd(s)g(s) s 0 n = 2 : K a = lims 2 D(s)G(s) s 0 lims n D(s)G(s) = G 0 (0) 0 s 0 guadagno statico guadagno di velocità guadagno di accelerazione 33

34 Errore a regime e tipo di sistema tipo 0 Gradino Rampa Rampa parabolica 0 K p K v D(s)G(s) = G 0 (s) D(s)G(s) = G 0 (s) /s D(s)G(s) = G 0 (s) /s 2 K a La precisione aumenta con il tipo, e, a parita` di tipo, con il guadagno Sistemi di tipo elevato sono difficili da stabilizzare 34

35 Errore a regime e tipo di sistema Nel caso di retroazione non unitaria: R D - H R D - - G G Y Y H- 35

36 Errore a regime e tipo di sistema Retroazione unitaria con trasferenza in catena diretta: L(s) = D(s)G(s) D(s)G(s)(H(s) ) Utilizzando direttamente T(s): D(s)G(s) Y(s) = T(s)R(s) = D(s)G(s)H(s) R(s) E(s) = R(s) Y(s) = R(s) E(s) = L(s) R(s) D(s)G(s) R(s) = ( T(s))R(s) = S(s)R(s) D(s)G(s)H(s) e ss = limse(s) = lims( T(s)) T(s) = lim s 0 s 0 k s s 0 s k 36

37 Errore a regime e tipo di sistema Se e ss =cost 0, allora il sistema e` di tipo k Il valore della costante viene posto, per definizione, uguale a /(K p ) se k=0, /K v se k=, /K a se k=2 Esempio: motore in continua con retroazione tachimetrica Θ ref - - k p U A s( τs) Θ k t s 37

38 Errore a regime e tipo di sistema T(s) = k p s( τs) k p s( τs) ( k t s) = e ss = lim s 0 T(s) s k = lim s 0 = k p s( τs) k p ( k t s) = lim s 0 s( τs) k p ( k t s) k p s( τs) k p ( k t s) s( k t k p τs) s( τs) k p ( k t s) 0 k = 0 k t k p k = k p Sistema di tipo con K v = = e ss k t k p s k k p s k 38

39 Errore a regime e tipo di sistema Tipo del sistema in relazione alla reiezione dei disturbi: in maniera analoga, considerando la trasferenza disturbo -uscita a partire da riferimento nullo E(s) W (s) = Y(s) W (s) Y(s) = T w (s)w (s) T w (s) = s n T w,0 (s) T w,0 (0) = K n,w y ss = lim st w (s) s 0 s k = lim T sn w,0 (s) s 0 s k se y ss =cost 0, il sistema e` di tipo k 39

40 Il regolatore standard PID Per influire sulle prestazioni di un sistema di controllo in retroazione:. aumentando il guadagno migliora la precisione e diminuisce la sensibilita` alle variazioni parametriche; 2. aumentando il tipo del sistema si ottiene errore a regime nullo per una classe piu` ampia di segnali di riferimento; 3. inserendo opportunamente degli zeri si ottiene un sistema piu` pronto grazie all azione anticipatrice. Regolatore a tre termini (standard, PID): D c (s) = U(s) E(s) = k p k I s k D s 40

41 Il regolatore standard PID Struttura non interagente (nel tempo) D(s) = k p st D st I set point e kp - /st I dal processo st D al processo 4

42 Il regolatore standard PID T I = k p k I Risposta dei termini P e I al gradino unitario Tempo dell azione integrale (reset rate) k p In T I la risposta totale al gradino ha valore doppio di cio` che si avrebbe con il solo controllo proporzionale T I I P T I = k p k I 42

43 Il regolatore standard PID T D = k D k p Risposta dei termini P e D alla rampa unitaria Tempo di anticipo (derivative rate) k D In T D la risposta totale alla rampa ha valore doppio di cio` che si avrebbe con il solo controllo proporzionale T D P D T D = k D k p 43

44 Il regolatore standard PID A seconda di quali azioni siano attive, i regolatori standard possono essere di tipo P, PI, PD, PID P: U(s) E(s) = D c (s) = k p si utilizza quando il processo permette di avere elevate costanti di guadagno di anello senza pregiudicare la stabilita`. Diminuisce l errore a regime. PI: U(s) E(s) = D (s) = k k t I u(t) = k c p p e(t) k I e(τ )dτ s Finche e(t) 0, il termine integrale da` contributo che varia nel tempo in condizioni di stabilita` raggiungo un regime solo quando e(t)=0 t 0 44

45 Il regolatore standard PID Esempio: controllo del motore in continua, in presenza di un disturbo a gradino di coppia di carico a) controllo di posizione, controllore P Θ ref D c T l V a B/A D c (s) = k p D c (s)g(s) = k p A V a = k p ( Θ ref Θ m ) - s( τs) A s τs ( ) Θ m r e: tipo 45

46 Il regolatore standard PID Funzione di trasferimento dal disturbo all errore con riferimento nullo T l B/A A s τs ( ) D c A T τ (s) = B s( τs) = A A s( τs) D c (s) V a - B s( τs) Ak p Θ m tipo 0, errore a regime e ss = T τ (0) = B Ak p 46

47 Il regolatore standard PID b) controllo di velocita`, controllore P Ω ref D c T l V a B/A D c (s) = k p D c (s)g(s) = k p A V a = k p ( Ω ref Ω m ) - ( τs) A τs Ω m r e: tipo 0 47

48 Il regolatore standard PID Funzione di trasferimento dal disturbo all errore con riferimento nullo A T τ (s) = B ( τs) B A k p A = ( τs) k p A ( τs) tipo 0, errore a regime c) controllo di posizione, controllore PI D c (s) = k p k I s B e ss = T τ (0) = Ak p Θ V a = k p ( Θ ref Θ m ) k ref Θ m I s 48

49 Il regolatore standard PID Funzione di trasferimento dal disturbo all errore con riferimento nullo A T τ (s) = B s( τs) A A s( τs) k p k = I s tipo, errore a regime nullo d) controllo di velocita`, controllore PI Bs ( ) s 2 ( τs) A sk p k I den T τ (s) = τs 3 s 2 Ak p s Ak I errore nullo indipendentemente da τ, A,B, k p purche k I 0 D c (s) = k p k I s Ω V a = k p ( Ω ref Ω m ) k ref Ω m I s 49

50 Il regolatore standard PID Funzione di trasferimento dal disturbo all errore con riferimento nullo A T τ (s) = B ( τs) Bs A A ( τs) k p k = I s( τs) A ( sk p k I ) s tipo, errore a regime nullo den T τ (s) = τs 2 ( Ak p )s Ak I errore nullo indipendentemente da τ, A,B, k p purche k I 0 I poli delle funzioni di trasferimento a catena chiusa dipendono dai parametri del controllore den T τ (s) = s 2 ( Ak p ) s Ak ω n = Ak I I τ τ = s2 2 2ζω n ω τ n ζ = Ak p 2τω n 50

51 Il regolatore standard PID Esempio: controllo PID di velocita` del motore in continua con L a non trascurabile Ω m (s) V a (s) = K t ( J m s b) R a sl a ( ) K e K t D c (s) = k p k I s k D s T(s) = Ω m (s) Ω ref (s) = D c (s)g(s) D c (s)g(s) = n(s) a 3 s 3 (a 2 k D K t )s 2 (a k p K t )s k I K t i tre parametri del controllore permettono di allocare a piacere i tre poli della funzione di trasferimento 5

52 Configurazioni Un regolatore PID puo` essere inserito nella catena di controllo con diverse modalita` r e u PI - r D - e PID u - G(s) Configurazione standard G(s) y r e - y I - PD u G(s) y Configurazione PI-D Configurazione I-PD 52

53 Configurazioni Configurazione standard: il regolatore avverte tutte le variazioni del riferimento la parte D produce brusche reazioni di ampiezza elevata adatta nei problemi di regolazione dove il controllore deve reagire ai disturbi e non inseguire il set-point Configurazione PI-D: la parte I viene applicata ad e per avere errore nullo a regime, la parte D viene applicata solo alla variabile di reazione Configurazione I-PD: come PI-D, ma in questo caso una brusca variazione del riferimento genera una partenza a rampa del segnale di controllo senza discontinuita` iniziale (set-point kick) 53

54 Metodi sperimentali di taratura Nella pratica, la sintonizzazione o taratura (tuning) del controllore viene eseguita, nella maggior parte dei casi, manualmente "sul campo" mediante prove sperimentali sul sistema. Metodi di Ziegler e Nichols: tecniche di sintonizzazione che si basano sulla: misura del periodo di oscillazione del sistema (stabilizzabile con compensatore statico) a catena chiusa all'aumentare del guadagno k p. caratterizzazione della risposta al gradino del processo (BIBO stabile) a catena aperta. 54

55 Metodi sperimentali di taratura Primo metodo di Ziegler e Nichols: si inserisce la sola azione proporzionale del PID e si aumenta K p fino ad arrivare al punto di passaggio tra stabilita` e instabilita` (la risposta al gradino diventa oscillatoria pura a regime) per k p =k* r e kp - u G(s) Esistono tabelle che riportano i valori da assegnare a k p,t I e T D a partire da ampiezza e frequenza dell oscillazione y 55

56 Metodi sperimentali di taratura Secondo metodo di Ziegler e Nichols: si approssima la risposta al gradino del processo con quella di un sistema del primo ordine con ritardo Amplitude τ G a (s) = A e t d s τs t d Time (sec.) 56

57 Metodi sperimentali di taratura Si ricavano sperimentalmente i tre parametri A, τ e t d Esistono tabelle che riportano i valori da assegnare a k p,t I e T D a partire da A, τ e t d Vi sono altri metodi di taratura simili a questi, in cui si usano tabelle generate dall esperienza e considerazioni euristiche Altri metodi permettono di derivare i valori dei parametri mediante la minimizzazione (approssimata) di opportune funzioni di costo (legate all errore nella risposta al gradino e ai suoi momenti temporali) Sono comunque utilizzati per ottenere una prima scelta dei valori dei parametri, che vengono poi modificati fino ad ottenere le prestazioni richieste 57