Un sist è stab se per ogni ingr limit si ha un uscita limitata.

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1 STABILITA Iniziam con una definiz intuit di stab. Un sist si dice stab se ogni qual volta intervien una perturb di entità e durata limitate, dopo un tot di temp, tende a tornar allo stato di equil preced. Diamo adesso delle definiz un po più tecniche. Oppure Un sist è stab se per ogni ingr limit si ha un uscita limitata. Differenziamo la stab semplice da quella asintotica. Un sist lin e invar, in condiz iniz nulle, è stab (asintot stab) se in corrispond di una qualsiasi sollecit (cioè ingresso) di durata limit, la sua rispos è limit (tende a zero). Ne deduciamo che un sist è asintotic stab se la sua risp all impuls tende a 0 per t. Riepilogando diciamo che un sistema asintoticamente stabile ha una risposta all impulso che tende a zero, un sistema semplicemente stabile (o marginalmente stabile) ha una risposta all impulso limitata (che converge ad un valore costante 0), mentre un sistema instabile ha una risposta all impulso divergente (tende all oppure oscilla continuamente). Es. sist asintotic stabile Lo studio della stab dei sist si potrebbe fare nel domin del tempo ma richiedereb calcoli lunghi e complex. Per evitare ciò si preferisco metodi alternat basati sull analisi della fdt del sistema o meglio della sua risposta in frequenza (che si ottiene sostituendo nella fdt, s con jω, qunidi siamo nel domin delle freq). Senza fare dimostraz enunciamo che:. un sist è stabile se tutti i poli (della sua fdt) hanno parte reale NON POSITIVA. Ciò si può definire in modo più dettagl nei punti successivi.. Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema lineare stazionario sia semplicemente stabile o marginalmente stabile è che la sua funzione di trasferimento presenti tutti nel semipiano negativo e al massimo un polo semplice sull asse immaginario (parte reale nulla). 3. Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema lineare stazionario sia asintoticamente stabile è che la sua funzione di trasferimento presenti poli tutti a parte reale negativa. 4. Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema lineare stazionario sia instabile è che la sua funzione di trasferimento presenti o poli reali multipli nell origine o poli complex a sull asse immaginario (a parte reale nulla) oppure uno o più poli a parte reale positiva. 5. Gli zeri non influisc direttam sulla stabil. Anche se non facciam dimostr queste proprietà sono abbast intuit. Di fatti la risp impuls di un sist è y(t)= - Y(. Ma trattand di rip impuls Y(=W( avendo indicato con W( la fdt. Quindi y(t)= - W(. I poli possono essere reali posit, reali negat, nulli (cioè nell orig), complex a parte real<0, complex a parte real>0, immaginari puri (cioè complex a parte reale nulla). Sappiamo che W( si può ricondurre ad una somma di fratti semplici per ciascun dei qual l antitrasf è A i e pit oppure A i e pit *sin ecc. ecc. Per poli reali negat p è <0 allor l esp tende a zer e quindi la risp impuls si annulla. Ma se uno o più poli sono reali posit allor la risp impuls non si annulla anzi tende ad. Se si ha un polo nullo di molteplicità (cioè / la risposta è un gradino (non nulla ma limitata e cost quindi stabilità). Se il polo nullo avesse molteplic> allora la risposta. Nel caso di poli cplx e coniug Nei sistemi retroaz vorremmo che ciò accadess anche per una perturb duratura Un event polo reale nullo deve essere di molteplicità (cioè s e non s o s 3 ecc.)

2 abbiamo 3 casi: a) parte reale<0 la risposta è oscillatoria decrescente; b) parte reale >0 risposta oscillatoria crescente; c) parte reale nulla risposta oscillatoria permanente (limitata ma non convergente ad un valore cost instabilità). Vedremo le figure in classe. L equazione caratteristica è costituita dal denom della fdt uguagliat a zero. Quindi se W(= N(/D( allora l equaz caratt è D(=0. I poli della W( sono le radici dell equaz caratter. Per vedere se un sist è stab o no basterebbe trovare le radici di D(. Il problema è che in molti casi ciò non è per niente semplice soprattutto per i sist retroaz dove la W( è più complic di quella del sist non retroaz. Ci sono possibil: usare un sw applicat per questi calcoli oppure utilizzare metodi numerico-grafici alternativi. Una proprietà basata su un metodo numerico è la seguente. Se nell equaz caratt i coeffic non hanno tutti lo stess segno o se qualcuno è nullo allor il sist è instab. Es se l equaz caratt è s 4 +s -5s+=0 allora il sist è instabile per motivi (vi sono delle variaz di segno e il coeff di s 3 è nullo). ATTENZ non vale il viceversa: cioè se tutti i coeff hanno lo stess segno ciò NON VUOL DIRE che il sist sia stab. Si analizzi la stabilità dei sistemi aventi le seguenti funzioni di trasferimento: Il sistema ) è asintoticamente stabile, avendo due poli in p/=-±j. Invece il sistema ) è semplicemente stabile, con un polo in p=0 e un polo in p=-0.5. Inoltre, il sistema 3) è instabile, poiché presenta una coppia con molteplicità algebrica pari a due di poli immaginari puri in p/=+j e p3/4=-j. Ancora, il sistema 4) è anch esso instabile, poiché presenta due poli in p/=±j. Ancora, il sistema 5) è semplicemente stabile, poiché presenta due poli semplici in p/=±j. Come abbiamo detto le cose si complicano per i sistemi retroaz di cui facciamo un breve ripasso. SISTEMI RETROAZIONATI Ricordiamo che con la retroazione il valore realmente assunto dalla grandezza di uscita viene controllato con continuità o in modo intermittente in modo da determinare il suo scostamento (con segno) rispetto al valore di riferimento. Questo scostamento costituisce l errore presentato dal sistema e può essere positivo o negativo. Questo errore agisce sul regolatore in modo che lo scostamento venga annullato o quantomeno ridotto. L azione dell uscita sull ingresso costituisce la retroazione. In tal modo si può ottenere che la grandezza d uscita mantenga, entro certi limiti, il valore desiderato. I ( + E( U( _ H( la fdt è W(= + H ( Uno dei tanti requisiti per un buon sistema di controllo in retroazione è sicuramente la stabilità. Abbiamo già visto che per verificare se un sistema è stabile o meno basta guardare i poli della sua fdt. Però una volta che inseriamo un controllore e chiudiamo l anello di retroazione la fdt di questo nuovo sistema è diversa e più complicata di quella del sistema iniziale non retroazionato. I poli sono diversi e può accadere che un sistema instabile diventi stabile e viceversa un sistema stabile diventi instabile con la retroazione. Mentre il primo caso ha più valenza didattica che reale perché nessuno bisognerebbe di partire da un sistema instabile e poi stabilizzarlo con la retroazione, il secondo caso è totalmente diverso. Infatti nella pratica può succedere benissimo che un sistema

3 stabile diventi instabile una volta inserito in una retroazione. Per facilitare la verifica della stabilità di un sistema retroazionato sono stati creati dei metodi grafici che si basano appunto sulla rappresentazione grafica della risposta in frequenza del sistema NON retroazionato. CRITERIO DI STABILITA NYQUIST Come già anticipato è un metodo grafico che ci permette di verificare la stabilità di un sistema retroaz (quindi ad anello chiuso) partendo dalla risposta in frequenza (del sistema) ad anello aperto. Ricordiamo che la risposta in freq si ottiene dalla fdt sostituendo s con jω. Con riferimento alla fig a pag prec abbiamo visto che la fdt del sist retroaz (anello chiuso) è W(=. + H ( Si definisce fdt ad anello aperto o guadagno d anello il prodotto H(. E infatti la fdt che si otterreb aprendo l anello di retroaz nel nodo sommat. La fdt ad anello aperto H( è fondamentale nello studio dei sist di control ad anello chiuso.prima però dobbiamo fare una premessa sui diagrammi di nyquist. DIAGRAMMA POLARE E DI NYQUIST Il diag. polare è un grafico (unico) che ci permette di rappresentare in un piano cartesiano Re-Im l insieme dei num cplx che si ottengono ricavando modulo e fase e quindi parte real e imm della risposta in freq di un sist per valori di ω che vanno da zero all. Chiameremo diag di Nyquist il diagramma completo (un percorso chiuso) che comprende anche il diagramma speculare che si ottiene ribaltando il diag polare intorno all asse reale. In sostanza viene aggiunta la parte che si otterrebbe per valori di ω che vanno da - a zero (anche se non esistono in realtà pulsaz negative e neanche nulle). Vedremo in classe alcuni esempi. Tutto ciò serve per applicare il criterio. Anche se il tracciamento manuale del diagramma affinché sia preciso richiederebbe l individuazione di moltissimi punti, in pratica per poterlo tracciare in maniera approssimata (almeno per quelli più semplici) basta individuare 3 punti. Per ω =0, perω = e per ω = (vedremo in classe). Ribadiamo che il diag di N. deve essere un percorso chiuso. Adesso ritorniamo alla stabilità Ricordiamo che secondo i criteri visti per la stab, un sist è instab se la sua fdt presenta poli reali posit o cplx a parte real posit o immaginari puri o polo nullo con molteplic>. La fdt di cui stiamo parlando, nel caso di sist retroaz è la W(. Invece con ny noi lavoriamo sulla fdt ad anello aperto cioè sul prodotto H( che è più semplice e i risultati che otteniamo valgono per la W( cioè per il sist retroaz. Per l applicazione del crit di ny si procede in questo modo. Si rappresenta il diagr completo di ny della risp in freq ad anel aperto. Poi si verifica quante rotazioni complete (N) la curva di ny compie in SAO intorno al punto caratteristico (o punto critico) -+j0 3 ( il 3 è una nota a fondo pag). Fine premessa. Il criterio può essere formulato in modi: criterio generale e criterio ristretto. Noi utilizzeremo di più il criterio di ny ristr che vale per sistemi particolari che però sono anche quelli più diffusi e che vengono usati in pratica. Il criterio ristretto si può applicare solo ai sistemi a fase minima. Vengono detti sistemi a fase minima quei sistemi la cui fdt in catena aperta non presenti né poli né zeri a parte reale positiva. Quindi i sistemi a fase minima sono stabili ad anello aperto. CRITERIO DI NYQUIST IN FORMA RISTRETTA Un sistema retroazionato a fase minima è stabile se la curva o diagramma di Nyquist della fdt ad anello aperto, percorsa nel senso crescente delle ω (da -- a + ), non compie alcuna rotazione completa intorno al punto critico -+j0. Si poteva enunciare anche in quest altro modo. Un sistema stabile ad anello aperto è stabile anche anello chiuso se la curva o diagramma di Nyquist della fdt ad anello aperto, percorsa nel senso crescente delle ω, non compie alcuna rotazione completa intorno al punto critico -+j0. Enunciamo anche il CRITERIO DI NYQUIST IN FORMA GENERALE (anche per sistemi non stabili ad anello aperto). Un sistema retroazionato è stabile se N=P dove P è il numero di poli della fdt ad anello aperto a parte reale positiva e N num rot complete in senso antiorario intorno al pto critico. Se non vi è chiaro provate a scaricare dal mio sito il file (pdf) nyquist e bode (scaricato da internet) 3 Si tenga presente che il diagr di ny semplice :ω va da 0 a + mentre quello completo va da - a +. Se il diag completo, percorso secondo il verso crescente delle ω, non compie alcuna rotaz completa in SAO intorno al punto -+j0 allora N=0, se ne compie una N=, se ne compie N= ecc. ecc. Se le rotazioni sono in SO allora il segno di N diventa negativo (-, - ecc. ecc.)

4 VERIFICA DELLA STABILITA DEI SISTEMI RETROAZIONATI CON NYQUIST Sistemi con un solo polo reale negativo (ad anello aperto) Sistemi in cui la fdt ad anello aperto (che indicheremo con W ap ) ha un solo polo reale negativo. Ricordiamo che la fdt ad anello chiuso è diversa ed è più complessa. Consideriamo tre casi: W ap = K/(s+p) ; W ap = K*s/(s+p) (con zero nell origine) e W ap 3= K*(s+z)/(s+p) con zero reale negativo e z/p> il che si verifica nei sistemi fisici. Vedremo in classe i relativi diag di ny e verificheremo che, pur differenti tra loro, si sviluppano tutti completamente a dx dell asse immag per cui non circonderanno mai il punto critico e ciò vale per qualsiasi valore di p, z e di K (fermo restando che K>0, p e z sono reali negativi e che z/p>). Quindi, per il crit di ny in forma ristr, un sistema retroazionato, la cui W ap ha un solo polo, è stabile. Sistemi con due poli negativi (ad anello aperto) Kωn Sistemi in cui la fdt ad anello aperto ha poli. Possiamo scrivere W ap = s + δωns + ωn I poli possono essere real e dist, real e coincid o cplx e coniug (sempre a parte reale<0) Vedremo verificheremo in classe che il diagramma semplice ( in cui ω va da 0 a + ) si sviluppa tutto completamente al di sotto dell asse reale per cui non circonderanno mai il punto critico e ciò vale per qualsiasi valore di K>0 e δ>0. Sistemi con tre poli negativi (ad anello aperto) Kωn Sistemi la cui fdt ad anello aperto ha 3 poli. Possiamo scrivere W ap = ( s + p)( s + δωns + ωn ) Ovviamente il polo reale è certamente negativo e gli altri possono risultare come prima. Vedremo in classe che il diag di ny presenta un tratto nel quadrante. Verificheremo che all aumentare di K e al diminuire di δ (>0) la curva circonda il punto critico. In realtà nei sistemi di controllo industr la W ap non presenta poli cplx e coniug ma esclusiv poli real negat cioè nella fdt δ è >. In questo caso è K che fa la differenza. Al crescere di K il sistema diventa sempre meno stab fino a divent instab. Concludendo possiamo dire che un sistema la cui W ap abbia 3 poli può essere stabile o instab a seconda della distribuz dei poli nel piano di Gauss (o complesso) e del valore della cost K. Possiamo dire che al crescere di K e al diminuire di δ, aumentano le probabilità che il sistema sia instabile. ATTENZIONE stabile non vuol dire che non ci saranno oscillazioni (che tuttavia saranno smorzate). Infatti potrebbe accadere che la W ap abbia poli reali e distinti ma la W (ad anello chiuso) li abbia cplx e coniug. Quindi il sist retroaz nella risposta all impulso o al gradino avrebbe oscillazioni smorzate. In alcuni casi queste possono essere accettabili in altre no. Non trattiamo casi con 4 o più poli perché quello appena trattato è il caso più diffuso e di norma i primi 3 poli sono quelli dominanti e gli altri praticamente ininfluenti. Passiamo adesso al CRITERIO DI STABILITA DI BODE Un altro metodo grafico che ci permette di stabilire la stabilità di un sistema retroaz partendo dalla sua fdt ad anel aperto è il criterio di Bode che è valido solo per i sistemi stabili ad anello aperto e a fase minima (cioè quelli la cui fdt in catena aperta non presenti né poli né zeri a parte reale positiva). Quindi il criterio di Bode è equivalente al criterio di Nyquist in forma ristretta. Enunciazione del criterio di Bode: Un sist retroaz è stabile se in corrisp ad una fase di -80 il modulo della risposta in frequenza ad anello aperto risulta minore di (ossia <0 db). Inoltre Un sist retroaz è stab se in corrisp ad un modulo unitario (cioè 0 db) la fase della risposta in frequenza ad anello aperto risulta in valore assoluto<80. Ovviamente per applicare il criterio di Bode si parte dai diagr di Bode. Inoltre il criterio può essere applicato solo se il diag. di B. dei moduli taglia una sola volta l asse a zero db. Prima di spiegare come si fa, conviene definire valori particolari dell pulsazione ω. Chiamiamo ω π la pulsaz per cui la fase della risp in freq ad anello aperto vale -80 ossia la pulsaz. per cui il diagr. di bode delle fasi taglia l orizzontale a -80.

5 Chiamiamo ω C la pulsaz per cui il modulo della rip in freq ad anello aperto vale 0 db ossia la pulsaz per cui diagr. di bode dei moduli taglia l orizzontale 0 decibel. Applicazione del criterio di Bode sui diagrammi di Bode Se in corrispondenza a ω π la curva di B. dei moduli sta sotto l asse a 0 db allora il sistema retroazionato è stabile. Analogamente se in corrispondenza a ω C la curva di B. delle fasi sta sopra l orizzontale a - 80 allora il sistema retroazionato è stabile. Nelle applicazioni pratiche non basta vedere se il sistema è stabile o meno ma si vuole sapere quanto è vicino oppure lontano dall instabilità ossia sapere entro quali margini il sistema è stabile. Ecco perché vengono introdotti i MARGINI DI GUADAGNO E DI FASE Si definisce Margine di Fase (MF) la quantità, espressa in gradi, di cui può aumentare lo sfasamento della risposta in frequenza ad anello aperto, in corrispondenza di ω C, prima che venga raggiunto il valore di -80. Il margine di fase è quindi φ(ω C ) dove φ(ω π ) è il valore assoluto dela fase della fdt ad anello aperto per ω =ω C Si definisce Margine di Guadagno (MG), la quantità di cui può aumentare il modulo della risposta in frequenza ad anello aperto, in corrispondenza di ω π, prima che venga raggiunto il modulo unitario (o zero db). Quindi MG=0 --Mod(ω C ) dove Mod(ω C ) è il modulo (in db) della fdt ad anello aperto per ω =ω π. Si può notare che se in corrispondenza a ω C la curva di B. delle fasi sta sopra (sotto) l orizzontale a 80 allora il MF è positivo (negativo). Analogamente possiamo dire che se in corrispondenza a ω π la curva di B. dei moduli sta sotto (sopra) l orizzontale a 0 db allora il MG è positivo (negativo). Determinazione dei margini di guadagno e di fase. Vi sono dei programmi che oltre a tracciare i diagrammi di B. e N trovano pure questi margini. Ma essi possono essere ricavati direttamente sui diagrammi. Vediamo come si ricavano dai diagrammi di B. Prima si vanno a fissare i punti corrispondenti a ω C e ω π. Poi in corrispondenza a ω π disegniamo una freccia (oppure la immaginiamo) con la punta sull asse a 0 db e con la coda sulla curva di B. dei moduli. La lunghezza della freccia (in db) ci dà il vlore del MG e il verso della freccia ci dà il segno: positivo se la punta è verso l alto, negativo se verso il basso. Successivamente in corrispondenza a ω C disegniamo una freccia (oppure la immaginiamo) con la punta sull asse sulla curva di B. delle fasi e con la coda sull orizzontale a 80. La lunghezza della freccia (in gradi) ci dà il valore del MF e il verso della freccia ci dà il segno: positivo se la punta è verso l alto, negativo se verso il basso. Vedremo degli esempi in classe. Anche se in teoria, per avere la stabilità basterebbe che uno solo dei margini fosse positivo, in pratica si preferisce che entrambi siano positivi e non di poco. Nella realizzazione di un buon sistema di controllo in catena chiusa il margine di guadagno dovrebbe essere MG> db 4 (nota 4); mentre per evitare oscillazioni smorzate nella risposta al gradino dovrebbe risultare MG 6 db. Per il margine di fase dovremmo avere MF 45 ; l ottimo sarebbe MF 60 (per lo stesso motivo di prima). Vedremo, su un foglio a parte, alcuni esempi di applicazione di quanto detto nelle ultime pagine. D ora in avanto indichiamo l anello aperto con U e l anello chiuso con O CRITERIO DI NYQUIST ENUNCIATO IN UN ALTRO MODO Indichiamo con N num rotaz in SOA intorno al pto critico del diag di N. ad U (NB. N può essere>< o = 0) P num poli a parte reale posit della fdt ad U (NB P può essere solo > o =0 ) Z num di zeri 5 di +GH a parte reale positiva (NB Z può essere solo > o =0 ) Definiti Z, P ed N, possiamo enunciare il criterio di Nyquist il quale afferma che, per analizzare la stabilità di un sistema retroazionato ad anello chiuso, è necessario e sufficiente che la f.d.t. ad anello 4 In questo modo, eventuali oscillazioni si smorzano in modo che ciascuna ha ampiezza non superiore ad un quarto della precedente. 5 Gli zeri di +GH sono quei valori che rendono nullo +GH ossia il denominat della fdt ad O. Quindi Z rappresenta il numero di poli della fdt ad O nel semipiano destro. Se vogliamo che il sistema ad O sia stabile deve risultare Z=0.

6 aperto H( soddisfi la relazione: Z = P N Dato che vogliamo che il sistema ad O sia stabile è chiaro che G/(+GH) non deve avere poli nel SPD quindi +GH non deve avere radici a parte reale positiva quindi Z=0 allora per avere la stabilità ad O deve risultare N = P. Distinguiamo alcuni casi P = 0 : il sistema ad anello aperto è stabile, allora il sistema ad anello chiuso risulta stabile se N = 0, cioè non ci devono essere rotazioni attorno al punto + j 0 (criterio di Nyquist ristretto). P > 0 : il sistema ad anello aperto è instabile, mentre il sistema ad anello chiuso risulta stabile se N > 0 con N=P tante rotazioni in senso antiorario quanti sono i poli positivi P; (criterio di Nyquist generalizzato). Abbiamo l INSTABILITA nei seguenti casi: Se con P = 0 si ha N 0, cioè esistono rotazioni attorno al punto critico (quindi N P) Se con P 0 si ha N P, cioè le rotazioni antiorarie sono in numero diverso dal numero dei poli positivi (ancora N P ) Se le rotazioni attorno al punto + j 0 sono in senso orario cioè N<0 (ancora N P visto che P non può essere <0 ) NOTA PER I DIAGRAMMI DI NYQUIST Quando vi è un polo nell origine di molteplicità q allora il diagramma di N. va completato con un numero q di semicerchi di raggio infinito (sul foglio basterà tracciare dei semicerchi sufficientemente grandi) che partono da 0 fino ad arrivare a 0 + in senso orario (SO). Vediamo esempi di diagrammi di N. Es H(= 0/( s+) in questo caso risulta N= fig. presa da internet ES H(= 0/[(4s+)(0s+)(5s+)(s+)] in questo caso è N= fig. presa da internet

7 Metodo grafico per ricavare i margini di guadagno e fase margine di guadagno Questa noi l abbiamo chiamata ω C Margine di fase questa ωπ. Figure prese da internet Entrambi i margini sono positivi

8 GUADAGNO STATICO Sia data la fdt di un sistema e la chiameremo. Si definisce guadagno statico il seguente valore lim s 0 cioè 0). Rappresenta il cosiddetto guadagno in continua e coincide con il valore a regime della risposta del sistema al gradino unitario. Infatti per il teorema del valore finale abbiamo che lim t y(t)= lim s 0 sy(. Ricordiamo che Y(=X(. Ma essendo l ingresso un gradino unitario Y(=*/s e applicando il teorema lim t y(t)= lim s 0 s*/s. Le s si annullano e rimane lim t y(t)= lim s 0. Cioè quello che volevamo dimostrare. Vediamo adesso alcuni aspetti della retoazione cioè come cambia il comportamento di un sistema quando viene retro azionato. Consideriamo i SISTEMI A RETROAZIONE UNITARIA O DIRETTA (il blocco H di ritorno è uguale a ) SISTEMI DEL ORD Con la retroaz unitaria si potreb dimostr che, nella risp al gradino, la K (guadagno statico) e la τ(cost di tempo) risultano moltiplicate per un fattore /(k+). In sostanza la retroazione provoca una diminuzione dell ampiezza della risposta al gradino e una diminuz della cost di tempo di un fattore (K+). Ciò vuol dire che la retroazione fa diventare il sist più pronto (più veloce) nella risp ad una variaz dell ingresso (a scapito di un valore di regime della risposta inferiore a quello che si avrebbe ad U. SISTEMI DEL ORD Con la retroaz unitaria si potrebbe dimostrare che anche in questo caso, per ingresso a gradino, la risposta a regime risulta attenuata di un fattore (k+). In sostanza la retroazione provoca una diminuzione dell ampiezza della risposta (es se k=5 l attenuazione sarà di un fattore 6). La ω n aumenta e ξ diminuisce. Ciò significa che la risposta, con la retroazione, può diventare oscillatoria o maggiormente oscillatoria (quindi sistema meno stabile il che lo sapevamo già) e contemporaneamente aumenta la velocità della risposta cioè la prontezza del sistema. COMPORTAMENTO A REGIME DEI SISTEMI RETROAZIONATI La stabilità non è l unico requisito che deve avere un sistema retroazionato. Un altro requisito molto importante è la precisione a regime. In un sistema NON retroazionato al quale applichiamo un ingresso a gradino, dopo il transitorio (nel quale ci possono essere eventuali oscillazioni), l uscita a regime sarà ancora un gradino della stessa ampiezza di quello d ingresso. La stessa cosa vale se in ingresso applichiamo una rampa unitaria y(t)=t. A regime l uscita sarà ancora una rampa unitaria. Tutto ciò non è detto che accada per i sistemi retroazionati anche se sono stabili. L uscita a regime può non coincidere esattamente con l ingresso. Pertanto ci può essere uno scostamento che chiameremo errore. Tale errore dipende da alcuni fattori ed in particolare da ciò che viene definito tipo di sistema. Quindi passiamo alla CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI RETROAZIONATI Abbiam vist che la fdt del sist retroaz ad O è W(= + H(. Si definisce fdt ad anello aperto o guadagno d anello il prodotto H(. E infatti la fdt che si otterrebbe aprendo l anello di retroaz nel nodo sommatore. La fdt ad anell aper H( è fondamentale nello studio dei sist di control ad anello chiuso. I sistemi retroazionati vengono classificati nel seguente modo. Sistemi di tipo zero H( non ha poli nell orig Sistemi di tipo uno H( ha un polo nell orig di molteplicità (/ Sistemi di tipo due H( ha un polo nell orig di molteplicità (/s ) e più in generale Sistemi di tipo q H( ha un polo nell orig di molteplicità q (/s q ). Di norma NON si ha a che fare con sistemi di tipo >. Se il sist retroazion è di tipo q possiamo sempre scriver la fdt ad U come G (H (*/s q dove G (H ( è la parte della fdt ad anello aperto senza poli nulli. Si definisce guadagno statico d anello di un sist retroazionato K st = G (0)H (0) cioè il coeffic che si ottiene col limite per s 0 della G (H (. In molti casi è utile ricondurre lo schema retroazionato ad uno equivalente con retroazione unitaria (vedi fig. in classe).

9 COMPORTAMENTO A REGIME DEI SIST RETROAZIONATI (supponiamo retroaz unitaria) oppure CARATTERISTICHE STATICHE DI UN SISTEMA AD ANELLO CHIUSO Consideriamo adesso sistemi retroazionati (retroazione unitaria) stabili. Se non fossero stabili tutto quello che diremo non avrebbe senso. Il comportamento a regime di un sist di controllo è quello che si ha dopo un tempo sufficientemente lungo per far finire i fenomeni transitori. Nello studio dei sist di controllo in retroaz, una specifica statica molto import è il cosiddetto errore a regime nella risp del sist stesso ai segnali canonici (gradino ecc.). Con la retroazione diretta (vedi fig. in classe), l errore a valle del nodo sommatore è e(t)=r(t)-y(t) dove r(t) è il segnale di riferimento (ingresso). Dato che noi vorremmo che, a regime, l errore fosse nullo r(t)-y(t)=0 cioè y(t) = r(t). Stiamo supponendo, in pratica, che il comportamo desiderato consista nella ripetizione esatta del segnale di riferimento r(t). Antitrasformando otteniamo E(=R(-Y(. Ma Y(=E(. Ricavando Y( dalla ª e sostituendolo nella ª, con banali passaggi, si ottiene E(=R(/[+]. A noi interessa l errore a regime cioè lim t e(t) e quindi in virtù del teorema del val finale (che non abbiamo fatto) risulta lim t e(t)= lim s 0 se(. ERRORE DI POSIZIONE Un criterio molto importante per valutare le prestazioni di un sist a retroaz diretta, stabile di tipo q è fornito dal coeff di errore di posizione. Esso è una misura dell errore a regime fra ingresso e uscita quando l ingresso è un gradino unitario. E utile prima definire il coefficiente di errore di posizione K p = lim s 0. Supponiamo di applicare quindi un gradino unitario (quindi R(=/ possiamo scrivere che E(=/s*/[+]. Passando al limite (ricordando che lim t e(t)= lim s 0 se() otteniamo lim t e(t)=lim s 0 s*/s*/[+] e allora lim t e(t) =/[+lim s 0 ] e quindi l errore di posizione è e p = /[+ K p ] E ovvio che l err di posiz dipende dal tipo di sistema: tipo 0 nessun polo nell orig K p num finito 0 e p finito 0 tipo un polo nell orig K p = e p =0 quindi errore nullo a regime tipo poli nell orig K p = e p =0 quindi errore nullo a regime ERRORE DI VELOCITA Un altro criterio importante per valutare le prestazioni di un sist a retroaz diretta, stabile di tipo q, è fornito dal coeff di errore di velocità. Esso è una misura dell errore a regime fra ingresso e uscita quando l ingresso è una rampa unitaria. Definiamo stavolta il coeff di errore di velocità K v = lim s 0 s. Supponiamo di applicare quindi una rampa unitaria e possiamo scrivere (essendo R(=/s ) che E(=/s */[+] E(=/s*/[s+s] Passando al limite (ricordando che lim t e(t)= lim s 0 se( otteniamo lim t e(t)=lim s 0 /[s+s ] = /[lim s 0 s ] = /K v e quindi l errore di velocità è e v = /K v E ovvio che l errore di velocità dipende dal tipo di sistema: tipo 0 nessun polo nell orig K v =0 e v = tipo un polo nell orig K v num finito 0 e v = valore finito non nullo a regime tipo poli nell orig K v = e v =0 quindi errore nullo a regime ERRORE DI ACCELERAZIONE Un altro criterio importante per valutare le prestazioni di un sist a retroaz diretta, stabile di tipo q, è fornito dal coeff di errore di accelerazione. Esso è una misura dell errore a regime fra ingresso e uscita quando l ingresso una parab unitaria. Definiamo coeff di errore di acceleraz K a = lim s 0 s. Supponiamo di applicare quindi una parab unitaria (t /) e possiamo scrivere (essendo R(=/s 3 ) E(=/s 3 */[+] E(=/s*/[s +s ] Passando al limite (ricordando che lim t e(t)= lim s 0 se( otteniamo lim t e(t) =lim s 0 /[s +s ] = /[lim s 0 s ] = /K a e quindi l errore di accelerazione è E( = e a = /K a

10 E ovvio che l err di velocità dipende dal tipo di sistema: tipo 0 nessun polo nell orig K a =0 e a = tipo un polo nell orig K a =0 e a = tipo poli nell orig K a num finito 0 e a = valore finito quindi errore non nullo a regime. Riportiamo a pag seguente una tabella riepilogativa dove i K sono i coeff di errore e le e sono gli errori rispettiv di posizione, di velocità e di accelerazione. Indichiamo con G (0) il guadagno statico della parte di fdt ad O senza poli nulli (ossia avendo prima tolto eventuali poli nulli). TIPO di SISTEMA K P K V K a ERRORE di 0 G (0) 0 0 POSIZIONE [+ K p ] G (0) 0 e p =0 ERRORE di VELOCITA K V G (0) e p =0 e v =0 ERRORE di ACCELERAZ K a Da questa tabella possiamo dedurre alcune considerazioni La precisione aumenta all aumentare del tipo di sistema. Infatti si vede che l errore di posizione passa da un valore finito 0 ad un valore nullo all aumentare del tipo di sistema. Analogamente l errore di velocità passa da un valore ad un valore nullo e quello di accelerazione passa da un valore ad un valore finito. Per aumentare il tipo di sistema occorre realizzare un regolatore o controllore avente i poli nell origine. Il problema è che all aumentare del numero di poli nell origine si va incontro all instabilità. Raramente si adottano sistemi di tipo perché è difficile stabilizzarli. Una tale scelta è giustificata solo in casi rari in cui è richiesta un altissima precisione. La precisione aumenta all aumentare del guadagno statico della parte di fdt ad O senza poli nulli cioè all aumentare di G (0). Più grande è il guadagno statico maggiore è la precisione a regime del sistema di controllo. Il problema è che, come abbiamo visto, ciò ha influenza negativa sulla stabilità. Stabilità e precisione sono caratteristiche che non vanno di pari passo. Occorre trovare sempre un compromesso. ESEMPIO Determinare l errore di posizione a regime per un sistema a retroazione unitaria la cui fdt ad U è =num/den dove num=40 e den=(s+)(s+0)(s+5). Soluzione: il sistema è di tipo 0 e l ingresso un gradino unitario. Il guadagno statico è G (0)=0)=,4 ottenuto sostituendo s=0. Quindi K p = G (0)=,4. L errore di posizione è e p =/[+ K p ] e p =/[+,4] =/,4=0,4. Ciò vuol dire che vi sarà un errore cioè una differenza di 0,4 fra il valore atteso e quello effettivo. Visto che l ingresso è un gradino unitario ci aspetteremmo che a regime il valore dell uscita fosse. Invece per il sistema retroazionato il valore è -0,4=0,58. Vedi grafico. Sapevamo già che la retroazione attenua il guad statico di K

11 ESEMPIO Per lo stesso sistema di prima determinare l errore di velocità a regime. Basta vedere la tabella e si nota subito che l errore è infinito. Infatti al passare del tempo la scostamento fra la rampa unitaria e la risposta del sistema a retroazione unitaria divergono (vedi fig. sotto) Dopo 0 s il valore dell ingresso (rampa unitaria) è arrivato a 0 Invece il valore dell uscita è arrivato a circa 6. Questo scostamento aumenterà al passare del tempo (entro i limiti ammessi dal sistema) ESEMPIO 3 Determinare l errore di posizione a regime per un sistema a retroazione unitaria la cui fdt ad U è =num/den dove num=40 e den=s(s+0)(s+5). Soluzione: il sistema è di tipo e l ingresso un gradino unitario. Il guadagno statico è G (0)=0)=,8 ottenuto sostituendo s=0. In realtà questo valore non ci serve perché basta guardare la tabella di pag. 9 per ricavare l errore di posizione è nullo. Questo vuol dire che se applichiamo un gradino unitario, dopo un certo tempo, la risposta convergerà verso il valore ESEMPIO 4 Per il sistema precedente determinare l errore di velocità a regime. Soluzione: il sistema è di tipo e l ingresso una rampa unitaria. Il guadagno statico è G (0)=0)=,8 ottenuto sostituendo s=0. Dalla tabella a pag. 9 si vede che K v = G (0)=,8 e che e v =/ K v e v =/,8] = 0,36. Questo vuol dire che dopo un po di tempo lo scostamento fra la risposta del sistema retro azionato e la rampa unitaria applicata in ingresso diventa costante ed è uguale a 0,36. Quindi a regime avremo semirette parallele: quella della risposta è più bassa dell altra di 0,36. Vedi fig a pag. successiva

12 5,0 Stavolta la pendenza è come quella della rampa unitaria. Però se andiamo 4,8 a verificare in un punto ad es. per t=5 s 4,6 4,4 4, 4,0 sulle ordinate anziché 5 troviamo un valore di circa 4,65 e questa differenza rimane praticamente costante nel tempo. 3,8 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5, ESEMPIO 5 Calcolare errori a regime e coefficienti del sist a retroaz unit la cui fdt ad O è =num/den dove num=0 e den=(s+)(s+3). Il sistema ad anello aperto è stabile (tutti i poli nel semipiano sinistro). Si potrebbe facilmente dimostrare che è stabile anche ad anello chiuso (vedi pag 4 di questi appunti). Il sistema è di tipo 0 (nessun polo nell origine). Dalla tabella deduciamo che K P = 0/6 =5/3 K v =0 e K a =0. Quindi e p = /[+5/3] = 3/8. e v = e a = Tutto quello che abbiamo detto sugli errori a regime vale per sistemi a retroazione unitaria e per ingresso a gradino unitario. Se la retroazione non fosse unitaria le cose si complicherebbero un po. Per semplificarle al massimo supponiamo di avere un blocco di retroazione non unitario ma almeno costante che chiameremo H 0. Inoltre consideriamo un ingresso a gradino di ampiezza R 0. Senza fare nessuna dimostrazione diciamo che la tabella a pag. 0 diventerebbe come questa. TIPO di SISTEMA K P K V K a ERRORE di 0 G (0) H POSIZIONE R 0 H 0 [+ K p ] G (0) H 0 0 e p =0 ERRORE di VELOCITA R 0 H 0 K V G (0) H 0 e p =0 e v =0 ERRORE di ACCELERAZ R 0 H 0 K a EFFETTI DEI DISTURBI NEI SISTEMI RETROAZIONATI Sappiamo che i disturbi sono delle variabili che possiamo considerare come degli ingressi indesiderati che tendono a modificare in modo non gradito il processo. In un sistema ad anello aperto l influenza di un disturbo si ripercuote sull uscita senza che si possa evitare e nemmeno limitare. Ad es. in un sistema di riscaldamento ad anello aperto in cui vi è solo la potenza termica costante dei termosifoni e nessun controllo in catena chiusa, succede che una variazione della temperatura esterna (che è un disturbo) si ripercuote in una variazione dell uscita per cui la temperatura interna avrà un valore diverso da quello desiderato. Vedremo in classe uno schema in base al quale ricaveremo gli effetti di un disturbo in un sistema ad anello aperto. Vedere anche appunti manoscritti Uno dei compiti della retroazione è quello di limitare l effetto dei disturbi sul processo. I disturbi possono introdursi in un qualsiasi punto della catena (chiusa) di controllo. Facciamo riferimento alla fig. che vedremo in classe con la linea di andata costituita da 3 blocchi G (, G ( e G 3 (. Mentre la linea di ritorno è costituita dal blocco trasduttore H(. Per semplificare il ragionamento consideriamo i disturbi come degli ingressi a gradino che intervengono in vari punti della catena. Applicheremo il pdsde (quindi sistemi lineari o quasi) per cui teniamo un ingresso per volta annullando tutti gli altri. Inoltre per semplificare ulteriormente il ragionamento faremo riferimento alla situazione a regime quindi per t e quindi (applicando il teorema del valore finale) per s 0

13 e consideriamo ogni blocco come un sistema del ordine quindi la sua fdt assume la forma K/(+τ. Allora di ogni blocco considereremo solo il suo guadagno statico (per s 0 rimane solo quello). Lo schema si può modificare come vedremo in classe e in appunti che verranno forniti a parte. Le conclusioni che possiamo dare sono queste. Nella config ad O, l efficacia nel limitare l effetto del disturbo si ha quando il disturbo compare nella linea di andata e quanto più è a valle. Il massimo beneficio lo si ha per disturbi che agiscono direttamente nel sistema da controllare (che è rappresentato dal blocco più a valle). Via via che si risale verso il nodo sommatore dove è applicato l ingresso di riferimento (scelto da noi) l effetto del disturbo, sull uscita, è meno contenuto. Il caso peggiore si ha però quando il disturbo avviene in ingresso al blocco trasduttore perché in tal caso gli effetti si trasmettono all uscita senza nessuna attenuazione. L efficacia del trasduttore è di fondamentale importanza in un sistema retro azionato. Facciamo un esempio banale. Se dovete lanciare un sasso per colpire un bersaglio che non potete vedre perché si trova al di là di un muro e la persona-trasduttore che vi deve guidare dicendovi di quanto vi siete sbagliati è cieca o sbronza non credo che si possa ottenere l uscita desiderata (bersaglio colpito). Inoltre possiamo aggiungere che, nel caso di un disturbo che agisce direttamente sul sistema controllato, l attenuazione del disturbo, a regime, aumenta all aumentare del tipo di sistema (0 ). Nei sistemi di tipo 0 possiamo attenuare il disturbo aumentando il guadagno statico G (0)H (0) senza tuttavia riuscire ad annullarne gli effetti,. Invece con un sistema di tipo o possiamo addirittura annullare gli effetti di un disturbo che agisce sul sistema controllato. Abbiamo detto a regime, perché durante il transitorio l errore determinato dalla presenza del disturbo fa certamente sentire il suo effetto sull uscita. Abbiamo visto che se il disturbo agisce in altri punti la situazione è più critica. Il termine disturbo non va inteso solo in senso stretto come una cosa accidentale ma anche come una cosa fisiologica e insita nel sistema stesso. Nel caso parleremo di rumore, nel di disturbi inerenti. Se può essere considerato un disturbo accidentale l aver lasciato acceso un apparecchio scaldante vicino al termostato di un sistema di riscaldamento, non può essere considerato accidentale il fatto che un utente prelevi dell acqua dalla rete idrica. Eppure ai fini della regolazione della temperatura (nel caso) e del livello dell acqua ( nel caso) sono entrambi disturbi. Non può essere un disturbo accidentale l inserzione di un carico in una rete elettrica dove si vuol mantenere la tensione costante. Le reti idriche ed elettriche sono fatte apposta per prelevare acqua e corrente elettrica. Se non vi è retroazione, come in fig., allora il disturbo influenza direttamente l uscita senza poterne annullare o limitare gli effetti. X( + + Y( W( DISTURBI PARAMETRICI O VARIAZIONE DEI PARAMETRI O SENSIBILITA x ( + E( y( _ la fdt è W(= + H ( H( Facciamo riferim al solito schema a blocchi di un sistema ad O in forma canonica. Ai disturbi esterni vi possono essere altre cause che possono influenzare negativamente la regolazione ottenendo così in uscita valori diversi da quelli desiderati. Ad esempio la variazione di condizioni ambientali (temperatura ecc.) o l invecchiamento di alcuni componenti può far variare la fdt di qualche blocco (ad es. il gudagno di un amplificatore) rispetto a quella prevista in sede di progettto. L aumento di temperatura è sì un disturbo per una regolazione termica, ma nel momento in cui fa variare il comportamento di qualche apparecchiatura elettrica o elettronica presente nel sistema di regolazione ecco che allora si parla di variazioni parametriche. Quello che vogliamo vedere sono le

14 ripercussioni che queste variazioni hanno sull intero sistema di regolazione ad O. Vogliamo vedere l entità dell effetto o meglio la sensibilità (è così che viene chiamata) nei seguenti casi: Variazione dei parametri di G Variazione dei parametri di H F( S p Viene definita sensibilità di una funzione F( rispetto ad un parametro p, indicato con il, rapporto fra la variazione percentuale della funzione e la variazione percentuale del parametro. Nel nostro caso, la funzione F( è W( cioè la fdt ad O e il parametro p sarà una volta G (considerando H costante) e una volta H (considerando G costante). Il tutto verrà trattato dopo questa premessa matematica. Sia data una funzione y(x) derivabile: allora possiamo scrivere y (x)=dy/dx da cui dy=y (x)dx. Nel nostro caso la variabile non sarà x ma una volta G e una volta H. E la funzione sarà W(G) e W(H) cioè le fdt del sistema retroazionato in funzione delle varazioni di G o di H. Finita la premessa. Dalla definizione di sensibilità di W( rispetto a G si ha W( G dw W dg G S = per le premesse fatte dw=w (G)dG dove W (G) è la derivata di un quoziente (con G + GH GH H cost) W(G)= quindi W (G) = + GH ( + GH ) W (G)= ( + GH ) Allora dw(g)=w (G)dG cioè dw= ( + GH ) dw ( G) dg + GH sostituzioni, = * e semplificando W ( G) ( + GH ) G dalla definizione di sensibilità dw W dg G W( S G = = e semplificando dg volendo ricavare dw/w avrò, facendo le + GH Dalla definizione di sensibilità di W( rispetto a H si ha dw W dh H dw ( G) dg = * e infine W ( G) ( + GH ) G commenteremo dopo questo risultato. S = per le premesse fatte dw=w (H)dH dove W (H) è la derivata di un quoziente (con G W( H G G cost) W(H)= quindi W (H) = + GH ( + GH ) G Allora dw(h)=w (H)dH cioè dw= dh volendo ricavare dw/w avrò, facendo ( + GH ) dw ( H ) G + GH le sostituzioni, = dh * e semplificando W ( H ) ( + GH ) G dw ( H ) G * dh W ( H ) = ( + GH ) e moltiplicando e dividendo per H dw ( H ) GH dh = * W ( H ) ( + GH ) H infine dalla definizione di sensibilità ottenuti. dw W dh H S W( H = = GH + GH commentiamo adesso i risultati

15 Il primo risultato ci dice che la variazione relativa di influisce sulla fdt ad O cioè sulla W( e quindi sulla risposta, del sistema retroazionato, con un attenuazione pari a +GH. Invece nel caso in cui la variazione relativa si ha su H, si riflette praticamente tutta sull uscita con segno cambiato. Questo vuol dire che ad una variazione di G corrisponde una piccolissima variazione di W con lo stesso segno. Invece ad una variazione di H corrisponde una variazione di W molto più rilevante e di segno opposto (un aumento di H avrebbe come conseguenza una diminuzione di W( e viceversa). Faremo degli esempi numerici in classe. Da tutto quanto detto a proposito di disturbi e variazione di parametri si può concludere che: Qualsiasi disturbo e/o variazione di parametro i sulla linea diretta si trasmette sull uscita in modo attenuato (piò meno dipende da vari fattori). Qualsiasi disturbo e/o variazione di parametro i sulla linea di retroazione si trasmette sull uscita senza subire attenuazioni significative. Ciò significa che bisogna curare molto la progettazione, la realizzazione e la scelta della componentistica della linea di retroazione e anche cercare di proteggere il più possibile questo tratto dai disturbi. Ribadiamo che i disturbi sono degli ingressi indesiderati esterni al sistema che si aggiungono e provocano una risposta diversa da quella prevista in seguito alla sollecitazione applicata. Le variazioni parametriche sono di tipo interno e dipendono dall invecchiamto o comunque dal deterioramento di parti del sistema. Le specifiche della risposta a regime sono l errore a regime, l insensibilità ai disturbi e alle variazioni parametriche. La banda passante di un sistema è l intervallo di frequenze entro il quale il sistema risponde (agli ingressi) in modo soddisfacente. Una definizione più precisa è questa. La banda passante di un sistema è l intervallo di frequenze nel quale l uscita risulta attenuata al max di 3 db rispetto al valore che essa assume ad una frequenza specificata. Per molti sistemi di controllo retroazionati (passa basso) tale frequenza vale zero. Se un sistema ha una banda passante molto grande (larga) vuol dire che risponde bene a segnali alta frequenza senza distorcerli in modo apprezzabile. Ciò vuol dire anche che il sistema è più pronto, cioè è maggiore la sua velocità di risposta agli ingessi che variano rapidamente. Difatti vedremo che Banda Passante e Tempo di Salita sono inversamente proporzionali. Vedremo in classe qualche esempio.