Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche. R. Notari

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1 Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche R. Notari 14 Aprile

2 1. Proprietà del prodotto scalare. Sia V = R n lo spazio vettoriale delle n-uple su R. Il prodotto scalare euclideo verifica le seguenti proprietà : 1. u v = v u per ogni coppia di vettori u, v V ; 2. u ( v + w) = u v + u w per ogni scelta dei vettori u, v, w V ; 3. u (x v ) = x u v per ogni x R, e per ogni scelta dei vettori u, v V ; 4. u u 0 per ogni vettore u V. Inoltre, u u = 0 se, e solo se, u = 0. Viceversa, se V è uno spazio vettoriale su R ed esiste una funzione (, ) : V V R che verifica le proprietà precedenti, allora (, ) è un prodotto scalare. 2

3 2. Lunghezze ed angoli tra vettori. Il modulo di un vettore v R n è definito come v = v v. Alla base della definizione di angolo tra due vettori c è il seguente Teorema 1 (disuguaglianza di Schwartz) Siano u, v R n due vettori. Allora u v u v. Corollario 2 Siano u, v R n due vettori non nulli. Allora u v 1 u v 1. L angolo tra due vettori non nulli u, v R n è allora l unico angolo θ = u, ˆv [0, π] che verifica u v cos θ = u v, e la definizione è pienamente consistente. 3

4 3. Proiezione ortogonale. Teorema 3 Sia U R n un sottospazio di dimensione t 1, e sia E = ( e 1,..., e t ) una base ortonormale di U. Il vettore proiezione ortogonale di v su U è uguale a proj U ( v ) = ( v e 1 ) e ( v e t ) e t. Il vettore proj U ( v ) dipende da v e da U ma non dalla base ortonormale E scelta in U. Proposizione 4 Sia U R n un sottospazio di dimensione t 1. Allora la funzione proj U : v R n proj U ( v ) R n è un applicazione lineare. 4

5 4. Basi ortonormali. Teorema 5 (Gram-Schmidt) Ogni sottospazio di R n ha una base ortonormale. La dimostrazione consiste nel verificare che il seguente algoritmo produce la base ortonormale richiesta, partendo da una base qualsiasi di U. Input: B = ( u 1,..., u t ) base di U. Output: E = ( e 1,..., e t ) base ortonormale di U. e 1 := 1 u 1 u 1 ; for i = 2 to t do: v i := u i proj L( u 1,..., u i 1 ) ( u i ); e i := 1 v i v i ; end for; 5

6 5. Complemento ortogonale. Proposizione 6 Sia U R n un sottospazio. Allora U è un sottospazio e verifica U U = R n. Lemma 7 Sia U R n un sottospazio e sia v R n un vettore. Allora proj U ( v ) è l unico vettore in U che verifica v proju ( v ) U. Proposizione 8 Siano U, V R n sottospazi. Allora valgono le due uguaglianze e (U + V ) = U V, (U V ) = U + V. 6

7 6. Calcolo del complemento ortogonale. Teorema 9 Sia E = ( e 1,..., e n ) una base ortonormale di R n. Sia U il sottospazio di R n generato dai vettori u 1,..., u t. Allora U = { v R n AX = 0} dove X = [ v ] E, e le righe di A sono uguali a [ u 1 ] E,..., [ u t ] E. Viceversa, se U è costituito dai vettori u le cui componenti X = [ u ] E risolvono il sistema lineare AX = 0 allora U è generato dai vettori v 1,..., v m le cui componenti sono uguali alle righe di A. 7

8 7. Isometrie e loro proprietà. Proposizione 10 Sia f : R n R n un isometria. Allora 1. v e f( v ) hanno lo stesso modulo, per ogni vettore v R n. 2. Per ogni coppia di vettori u, v R n l angolo u, ˆv è uguale all angolo formato dalle loro immagini. 3. f è inveribile ed f 1 è ancora un isometria. 4. Sia λ R un autovalore di f. Allora λ = 1 oppure λ = Sia v un autovettore per f, e sia u un vettore ortogonale a v. Allora f( u ) è ortogonale a v. 8

9 8. Isometrie e basi ortonormali. Teorema 11 Sia f : R n R n un isometria, e sia E = ( e 1,..., e n ) una base ortonormale di R n. Allora E = (f( e 1 ),..., f( e n )) è ancora una base ortonormale di R n. Viceversa, se f : R n R n è un endomorfismo e se E = ( e 1,..., e n ) ed E = (f( e 1 ),..., f( e n )) sono basi ortonormali di R n, allora f è un isometria. Infine, sia f : R n R n un endomorfismo, e siano E = ( e 1,..., e n ) ed E = ( e 1,..., e n ) basi ortonormali di R n. f è un isometria se, e solo se, M E,E (f) è una matrice ortogonale. 9

10 9. Isometrie di R 2 ed R 3. Teorema 12 Le isometrie positive di R 2 sono tutte e sole le rotazioni di un angolo θ fissato. Le isometrie negative di R 2 sono tutte e sole le simmetrie rispetto ad un sottospazio di R 2 di dimensione 1. Teorema 13 Le isometrie positive di R 3 sono tutte e sole le rotazioni di un angolo θ fissato attorno ad un sottospazio di dimensione 1. Le isometrie negative di R 3 sono o simmetrie rispetto ad un piano, o simmetrie rispetto ad un piano composte con rotazioni intorno al complemento ortogonale al piano. 10

11 10. Endomorfismi simmetrici. Proposizione 14 Sia E = ( e 1,..., e n ) una base ortonormale di R n, e sia f : R n R n un endomorismo di R n. f è simmetrico se, e solo se, M E,E (f) è una matrice simmetrica. Teorema 15 (Teorema spettrale) Sia f : R n R n un endomorfismo simmetrico. Allora le radici del polinomio caratteristico di f sono tutte reali, dim V (λ) = m(λ) qualunque sia l autovalore λ di f, ed infine V (λ) e V (µ) sono ortogonali non appena λ e µ sono autovalori distinti. Viceversa, se esiste una base ortonormale di R n di autovettori di f allora f è un endomorfismo simmetrico. Corollario 16 Sia A una matrice reale di ordine n. Esiste una matrice ortogonale P tale che t P AP è diagonale se, e solo e, A è simmetrica. 11

12 11. Forme quadratiche. Proposizione 17 Sia q(x 1,..., x n ) una forma quadratica su R n. Esiste un endomorfismo simmetrico f : R n R n per cui, detto v = (x 1,..., x n ) si ha q( v ) = v f( v ). Teorema 18 Sia q(x 1,..., x n ) una forma quadratica su R n. Esiste una matrice ortogonale P con det(p ) = 1 che definisce un cambio di coordinate x 1. x n = P X 1. X n su R n ed in tale sistema di coordinate la forma quadratica q è in forma canonica, ossia q(x 1,..., X n ) = λ 1 X λ nx 2 n. Remark 19 La segnatura di una forma quadratica può essere letta dagli autovalori dell endomorfismo simmetrico associato. 12

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