Polinomi. Definizioni. Polinomi a più variabili. Grado di polinomi a più variabili. Operazioni tra polinomi. Somma. Moltiplicazione.

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1 Polinomi Definizioni Polinomi a più variabili Grado di polinomi a più variabili Operazioni tra polinomi Somma Moltiplicazione Fattorizzazione Polinomi a singola variabile Grado di un polinomio a singola variabile Divisioni Euclidee di polinomi a variabile singola. Metodo classico Metodo di Horner Ruffini - 0

2 Polinomi Es: Polinomio def: Somma algebrica di uno o più monomi. Monomio def: Espressione algebrica data dal prodotto di fattori costituiti da numeri lettere. o Monomi simili: Sono monomi che hanno la stessa parte letterale, essi possono essere sommati o sottratti tra loro. Es: 2ab e 5ab. Elementi di un polinomio Parametro def: grandezza che moltiplica una variabile. Incognita def: grandezza non nota, di cui si ricerca il valore con operazioni algebriche. Variabile def: grandezza che può assumere valori diversi. o Variabile indipendente: variabile che può assumere un valore qualsiasi e a sua discrezione all interno del dominio. o Variabile dipendente: variabile il cui valore viene assunto come immagine di quella di partenza associata alla sua applicazione. Polinomi a più variabili Grado di un polinomio a più variabili Si chiama grado di un polinomio, rispetto ad una lettera, il massimo dei gradi dei suoi termini rispetto a quella lettera. Il grado di un polinomio è dato dal grado del monomio col grado più alto. Es, il polinomio 3x 4 y + 3y 2 z xy 2 z ha grado 6, poiché questo è il grado del monomio maggiore. Polinomio: 3x 4 y + x 3 y 2 z 4xy 2 z Grado: Operazioni tra polinomi Somma Si possono sommare solo monomi simili. Es. P 1 = 2a + 3b 5c ; P 2 = a + 5b + 2c ; P 1 + P 2 = (2a + a) + (3b + 5b) + ( 5c + 2c) = 3a + 8b 3c. Moltiplicazione Si moltiplica ogni monomio del primo polinomio con il monomio del secondo, coerentemente con la proprietà distributiva, in seguito si sommano i monomi simili. Es. P 1 = 2a + 3b 5c ; P 2 = a + 5b + 2c - 1

3 P 1 P 2 = (2a + 3b 5c) (a + 5b + 2c) = (2a a + 2a 5b + 2a 2c) + (3b a + 3b 5b + 3b 2c) + (-5c a + -5c 5b + 5c 2c) = = (2a ab + 4ac) + (3ab + 15b 2 + 6bc) + (-5ac + -25bc + -10c 2 ) = = 2a b c 2 + (10ab + 3ab) + (4ac + -5ac) + (6bc + -25bc) = 2a b c 2 + (13ab) + (-ac) + (-19bc) = = 2a b 2 10c ab ac 19bc. Fattorizzazione L operazione di fattorizzazione consiste nel raccogliere un espressione algebrica in un unico fattore. Es: data l espressione 45a 2 c + 20b 2 c, possiamo raccogliere 5c a fattor comune: 5c (9a 2 + 4b 2 ), questo è già un fattore, che può però ulteriormente essere fattorizzato, poiché 9a 2 + 4b 2 è un prodotto notevole: 3 2 a b 2 = (3a 2b) (3a + 2b), il risultato della fattorizzazione è perciò: factor(45a 2 c + 20b 2 c) = 5c (3a 2b) (3a + 2b). Polinomi a singola variabile P 0 (x) = k 0 polinomio in x di grado 0 (retta orizzontale) ; P 1 (x) = k 0 + k 1 x polinomio in x di I grado (retta) ; P 2 (x) = k 0 + k 1 x + k 2 x 2 polinomio in x di II grado (parabola) ; P 3 (x) = k 0 + k 1 x + k 2 x 2 + k 3 x 3 polinomio in x di III grado (cubica) ; P 4 (x) = k 0 + k 1 x + k 2 x 2 + k 3 x 3 + k 4 x 4 polinomio in x di IV grado (polinomiale di 4 ) ; ; P k (x) = k 0 + k 1 x + k 2 x k k x k polinomio di grado n (polinomiale). ; P n (x) = k 0 + k 1 x + k 2 x k n x n polinomio di grado n (polinomiale). Oss. P -1 (x) = k 0 x -1 = k 0 / x polinomio in x di grado -1 (iperbole). Grado di un polinomio a singola variabile Un Polinomio prende il grado del Monomio col grado maggiore. Es, il polinomio 3x 4 + x - 4x 7 ha grado 7, poiché questo è il grado del monomio maggiore. Polinomio: 3x 4 + x 4x 7 Grado: Es: Grado Monomio Binomio Trinomio Quadrinomio Zero 5 Primo 2x x + 3 Secondo 3x 2 2x 2 5/2 2x 2 + x + 1 Terzo -5x 3 4/3 x 3 + x 2 2x 3 + 2x x 3 + x 2 + x 3 Quarto 3/4 x 4 x 4 + x -5x 4 + 2x 3 + x -x 4 + x 2 + x 1 Divisioni Euclidee di polinomi a variabile singola. Metodo classico Innanzitutto occorre ordinare i termini dei polinomi dal grado maggiore al grado minore. Poi si comincia la divisione: 1. Si divide il termine col grado maggiore del dividendo con quello maggiore del divisore. 2. si scrive il risultato di questa operazione dopo il segno di uguale. 3. si moltiplica il risultato appena scritto per il divisore e si incolonna questo prodotto sotto il dividendo, cambiandolo di segno. 4. si somma termine a termine e si scrive il risultato di questa sottrazione nella riga sotto incolonnata. 5. si riprende dal punto 1 continuando dall ultima riga. - 2

4 Es. (2x 3 + 0x x + 15) : (x + 3) = 2x x + 5-2x 3-6x 2 0x 3-6x 2-13x x x 0x 2 + 5x x x + 0 Metodo di Horner Ruffini Sia dato il seguente polinomio a singola variabile: P(x) = 2x 4 + 6x 3-3x 2-7x + 6 Si desidera scomporre il polinomio in una forma fattorizzata del tipo (R(x)) (x + a) + 0. Dove valga: P(x) = R(x) (x + a). P(x) è dunque il polinomio di partenza, mentre R(x) è il polinomio che risulta dalla divisione con resto zero. Occorre pertanto trovare un possibile divisore che dia al polinomio resto nullo. A tale scopo, essendo il metodo di Horner Ruffini una tecnica empirica, bisogna andare per tentativi, occorre cioè trovare un valore al parametro a tale che valga: P(-a) = 0. Va detto che dato un polinomio, non sempre è possibile trovare un divisore per cui l operazione dia un risultato con resto zero, per questa ragione, ad esercizi di questo tipo, vengono sempre dati polinomi creati ad hoc, di modo che provando ad attribuire dei valori ad a, si trovi resto zero con un valore compreso tra -3 e +3, a meno che non venga specificato diversamente. Eseguiamo dunque alcune prove: Con a = -1: P(1) = = 4 ; con a = 1: P(-1) = = 6 ; con a = -2: P(2) = = 60 ; con a = 2: P(-2) = = -8 ; con a = -3: P(3) = = 282 ; con a = 3: P(-3) = = 0. Siccome P(-3) = 0, si assume a =

5 Si procede dunque applicando la seguente tecnica: Tecnica di Horner Ruffini Il Polinomio che risulta dunque dalla divisione di P(x) con (x + a) è dunque: =