Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune

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1 Capitolo 1 Richiami sulle funzioni 1.1 Richiami di teoria Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune nozioni sulle funzioni e sui vettori. Per tale motivo in questo capitolo sarà fatto un richiamo sulle nozioni, riguardanti gli argomenti suddetti, che saranno utili per la comprensione della teoria e degli esercizi dei prossimi capitoli. Coloro che sono interessati ad un maggiore approfondimento di questi argomenti, possono consultare i volumi 1 (per le funzioni) e 8 (per i vettori) di questa collana. Per motivi di spazio, non è possibile presentare i richiami di geometria euclidea e di geometria analitica del piano; per questi argomenti si rimanda rispettivamente ai volumi 2 e 6 di questa collana. Incominciamo con i richiami sulle funzioni. Definizione. Una funzione f dall'insieme A nell'insieme B è una legge che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. In simboli una funzione f dall'insieme A all'insieme B si rappresenta anche nel modo seguente: f : A B. Si noti che esistono dei sinonimi della parola funzione; essi sono: corrispondenza, applicazione, trasformazione, operatore, mappa.

2 Se all'elemento a A è associato l'elemento b B per mezzo di una funzione f : A B, si dice anche che b è il corrispondente di a, oppure che all'elemento a corrisponde l'elemento b, od anche che b è l'immagine di a tramite la funzione f, oppure che b è il trasformato di a tramite la f, e si scrive : f(a) = b. Talvolta si usa anche una delle seguenti notazioni per indicare che f(a) = b: f a b oppure, più semplicemente: a b. Una funzione f : A B può essere efficacemente visualizzata per mezzo dei diagrammi di Eulero-Venn, facendo la convenzione di collegare l'elemento a A ed il suo corrispondente b B per mezzo di una freccia, come nella figura successiva. Figura 1 Definizione. Due funzioni f : A B e g : A B sono uguali se si ha: f(a) = g(a) a A. Definizione. Data una funzione f : A B, l'insieme A si chiama dominio della funzione, l'insieme B si chiama codominio della funzione. Definizione. Data una funzione f : A B ed un sottoinsieme C A, si chiama immagine (o corrispondente, o trasformato) di C tramite la f (e si indica con il simbolo f(c) ) il sottoinsieme di B formato dalle immagini di tutti gli elementi c C:

3 f(c) = { b B : b = f(c), c C }. Se C = A, allora l'insieme f(a) viene chiamato semplicemente l'immagine di f. Figura 2 Nota. Data una funzione f : A B, alcuni autori chiamano l'insieme B immagine o codominio, cioè considerano sinonimi le parole immagine e codominio. Date due funzioni f : A B e g : B C, si chiama funzione composta da f e g e si indica con il simbolo g o f; la funzione definita nel modo seguente. Si consideri un generico elemento a A e sia f(a) = b B; sia f(a) il corrispondente per mezzo della funzione g; sia dunque g(f(a)) = c. La funzione composta h : A C è quella che ad ogni elemento a A associa l'elemento c C nel modo precedentemente stabilito. In altre parole si ha : h(a) = ( g o f )(a) = g(f(a)) a A. Figura 3

4 Si osservi che in generale si ha: g o f f o g. Si noti inoltre che è possibile fare la composizione g o f di due funzioni f : A B e g : D C purché l'immagine f(a) della funzione f sia un sottoinsieme dell'insieme D. Per la composizione di funzioni vale la seguente proprietà (proprietà associativa della composizione di funzioni): Siano date tre funzioni h : A B, f : B C e g : C D, allora si ha: ( g o f ) o h = g o ( f o h ). Definizione. Una funzione f : A B si dice suriettiva se f(a) = B. Scritto in formule, una funzione f : A B è suriettiva se: b B, a A : f(a) = b. Detto in parole, una funzione f : A B è suriettiva se ogni elemento b B è il corrispondente di almeno un elemento a A. Definizione. Una funzione f : A B si dice iniettiva se i corrispondenti di due qualunque elementi distinti di A sono elementi distinti di B. Scritto in formula, una funzione f : A B è iniettiva se si ha: a, b A : a b f(a) f(b).

5 Definizione. Una funzione f : A B si dice biettiva (o biunivoca) se essa è sia iniettiva che suriettiva. Scritto in formule, una funzione f : A B è biettiva ( o biunivoca ) se si ha: b B,! a A : f(a) = b. Detto in parole, una funzione f : A B è biunivoca se per ogni elemento b B esiste uno ed un solo elemento a A tale che f(a) = b. Le funzioni biunivoche godono della seguente importante proprietà. Se f : A B e g : B C sono due funzioni biunivoche, allora la loro composizione h = g o f è una funzione biunivoca. A partire da una funzione biunivoca f : A B si può costruire una nuova funzione, detta funzione inversa, nel seguente modo. Essendo la funzione f : A B biunivoca, per ogni b B esiste uno ed un solo elemento a A tale che f(a) = b; è possibile allora far corrispondere ad ogni elemento b B l'unico elemento a A tale che f(a) = b. Si ottiene in questo modo una legge che associa ad ogni elemento b B uno ed un solo elemento a A, cioè una funzione dall'insieme B all'insieme A. La funzione ottenuta nel modo precedentemente descritto si chiama la funzione inversa di f e si indica con il simbolo f -1 ; dunque, se f : A B, allora f -1 : B A.

6 Figura 4 Si può dimostrare che la funzione inversa f -1 : B A è anch'essa biunivoca. Nota. La funzione inversa di una funzione f si può definire soltanto se f è biunivoca. In realtà anche le funzioni iniettive sono invertibili.infatti una funzione iniettiva può diventare biunivoca prendendo come codominio la sua immagine. Una particolare funzione biunivoca da un insieme A nell'insieme A stesso è la cosiddetta funzione identica ( in simboli i : A A ), definita nel modo seguente: i(a) = a, a A. La funzione identica ( talvolta chiamata anche identità ) è dunque la funzione che associa ad ogni elemento a A lo stesso elemento a. Talvolta, per tener conto del fatto che la funzione identica agisce nell'insieme A, si usa anche il simbolo i A. Poiché si ha: f -1 (f(a)) = a a A e f(f -1 (b)) = b b B, si ottiene :

7 f -1 o f = i A e f o f -1 = i B. Un'altra particolare, ma importante, funzione da un insieme A ad un insieme B è la funzione costante, che ad ogni elemento di A fa corrispondere sempre lo stesso elemento di B. Fra le corrispondenze del piano in sé rivestono notevole importanza,per lo studio delle proprietà delle figure geometriche, le isometrie (o congruenze). Definizione. Si chiama isometria (o congruenza) una corrispondenza biunivoca f dal piano in sé tale che per ogni coppia di punti P, Q del piano si ha: PQ P' Q', dove P' = f(p) e Q' = f(q). Due figure F ed F' del piano si dicono isometriche (o congruenti) se esiste un'isometria che trasforma F in F'. Figura 5 Le isometrie hanno le seguenti proprietà: 1) un'isometria manda rette in rette, semirette in semirette, segmenti in segmenti, semipiani in semipiani, angoli in angoli. 2) un'isometria manda rette incidenti in rette incidenti e rette parallele in rette parallele.

8 E' molto utile negli esercizi la seguente osservazione. Poiché un'isometria manda rette in rette, per determinare la corrispondente r' di una retta r per mezzo di un'isometria f è sufficiente determinare i corrispondenti A' e B' di due punti qualunque A e B di r; la retta r' è proprio la retta A'B'. Figura 5 Definizione. Data un'isometria f, un punto P del piano si dice unito per l'isometria f se il corrispondente di P è P stesso. Definizione. Data un'isometria f, una retta r del piano si dice unita per l'isometria f se la corrispondente di r è r stessa. L'insieme delle isometrie con la legge di composizione formano un gruppo non commutativo. Ricordiamo che un gruppo è un insieme G dotato di un'operazione interna (cioè una legge che a due elementi qualunque dell'insieme G associa uno ed un solo elemento di G), indicata con il simbolo, tale che sono verificate le seguenti condizioni: 1) l'operazione è associativa, cioè per ogni a, b, c G si ha: (a b) c = a (b c);

9 2) esiste l'elemento neutro u, cioè un elemento (unico) u G tale che per ogni a G si ha: a u = u a = a; 3) ogni elemento a G ha il simmetrico, cioè per ogni a G esiste un elemento a 1 G tale che: a a 1 = a 1 a = u. Se inoltre vale la proprietà commutativa, cioè per ogni a, b G si ha: a b = b a, allora il gruppo è detto gruppo commutativo. 1.2 Esercizi svolti 1. Sia N l'insieme dei numeri naturali. Trovare l'immagine della funzione f : N N che ad ogni numero naturale fa corrispondere il suo doppio. Determinare l'immagine dell'insieme C = { 2, 5, 6, 10, 13 } per mezzo di questa funzione. In formula la funzione f si scrive nel modo seguente: f(n) =2n. Allora l'immagine di f è il sottoinsieme dei numeri pari. Si ha: f(c) = { 4, 10, 12, 20, 26 }. 2. Sia A l'insieme di tutti i poligoni del piano. Sia f : A N la funzione che ad ogni poligono associa il numero dei suoi lati. Trovare l'immagine della funzione e l'immagine dell'insieme dei quadrilateri. L'immagine di f è l'insieme dei numeri naturali (escluso lo 0). Se C è l'insieme dei quadrilateri, allora f(c) = { 4 }. 3. Siano date le funzioni f : N N e g : N N così definite: f(n) = 4n + 2 e g(n) = 2n + 3.

10 Trovare g o f e f o g. Si ha: (g o f)(n) = g(f(n)) = g(4n + 2) = 2(4n + 2) + 3 = 8n + 7; (f o g)(n) = f(g(n)) = f(2n + 3) = 4(2n + 3) +2 = 8n Mostrare che la composizione di due funzioni non è in generale commutativa. Basta considerare le funzioni dell'esercizio precedente. 5. Dimostrare la proprietà associativa della composizione di funzioni. Siano date le funzioni h : A B, f : B C e g : C D. Occorre provare che per ogni elemento a A si ha: Si ha: ((g o f) o h)(a) = (g o (f o h))(a). ((g o f) o h)(a) = (g o f)(h(a)) = g(f(h(a))); (g o (f o h))(a) = g((f o h)(a)) = g(f(h(a))). 6. Siano dati gli insiemi A = { a, b, c } e B = { 2, 3, 5, 6 }. Mostrare che la funzione f : A B così definita: f(a) = 2, f(b) = 5, f(c) = 6 non è suriettiva. Tale funzione non è suriettiva, poiché 3 non è il corrispondente di alcun elemento di A.

11 7. Sia Z l'insieme dei numeri interi e sia f : Z Z la funzione così definita: f(x) = x + 3. Mostrare che f è biunivoca. Si ha che ogni elemento y Z è il corrispondente dell'elemento y - 3. Infatti si ha: f(y - 3) = (y - 3) + 3 = y; dunque f è suriettiva. Per mostrare che f è anche iniettiva, occorre mostrare che ad elementi distinti corrispondono elementi distinti. Infatti si ha:, da cui si ha: f x f. x1 x2 x1 3 x2 3 1 x 2 8. Mostrare che la funzione dell'esercizio precedente, considerata come funzione dall'insieme dei numeri naturali nell'insieme dei numeri naturali, non è biunivoca. La funzione non è suriettiva; infatti il numero naturale 1 non è il corrispondente di alcun numero naturale (1 sarebbe il corrispondente di -2, che però non è un numero naturale). 9. Dimostrare che la composizione di due corrispondenze biunivoche è una corrispondenza biunivoca. Siano date le corrispondenze biunivoche f : A B, g : B C e sia h = g o f. Occorre provare che per ogni elemento c C esiste uno ed un solo elemento a A tale che h(a) = c, cioè g(f(a)) = c. Essendo la corrispondenza g biunivoca, fissato un qualunque elemento c C esiste uno ed un solo elemento b B tale che g(b) = c. D'altra parte, essendo anche la corrispondenza f biunivoca, esiste uno ed un solo elemento a A tale che f(a) = b. Dunque, per ogni elemento c C, esiste uno ed un solo elemento a A tale che g(f(a)) = c. Perciò la corrispondenza h = g o f è biunivoca.

12 10. Provare che l'inversa di una corrispondenza biunivoca è una corrispondenza biunivoca. Sia data una corrispondenza biunivoca f : A B. Dalla definizione di corrispondenza inversa segue che ogni elemento a A è il corrispondente per mezzo di f -1 di uno ed un solo elemento b B. Perciò anche f -1 è biunivoca, 11. Trovare l'inversa della corrispondenza biunivoca dell'esercizio 7. Sia y il corrispondente dell'elemento x Z; allora si ha: y = x + 3, da cui si ottiene: x = y - 3. Perciò la corrispondenza inversa è data da: f 1 y y Esercizi proposti 1. Dimostrare che la funzione che ad ogni numero reale associa il suo quadrato non è né iniettiva, né suriettiva. 2. Dimostrare che la funzione che ad ogni numero naturale associa il suo quadrato è iniettiva ma non suriettiva. 3. Sia R l'insieme dei numeri reali e siano date le funzioni f : R R e g : R R così 2 definite: f(x) = 3x x 1e g(x) = 2x - 3. Trovare f o g e g o f. 2 2 R. (f o g)(x) = 12x 34x 25, (g o f)(x) = 6x 2x 1.

13 4. Dimostrare che la funzione f : R R così definita: f(x) = x 3 1 è invertibile e trovare la sua inversa. 1 R. f y 3 y Determinare l'immagine dell'intervallo A = 2, 4 per mezzo della funzione dell'esercizio precedente. R. f(a) = 7, Dimostrare che un'isometria trasforma rette in rette. 7. Dimostrare che la composizione di due isometrie è un'isometria. 8. Dimostrare che 'insieme delle isometrie con la legge di composizione formano un gruppo.