Classe 2Obi Competenze di Matematica 5 Ottobre 2015

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1 Classe Obi Competenze di Matematica 5 Ottobre Si considerino gli insiemi I = {x 1,x,x,x 4,x 5,x 6,x 7 } e F = {,,,, } esia la relazione R : I! F definita come segue: R = {(x 1, ), (x, ), (x, ), (x 4, ), (x 6, ), (x 7, )} Generalità sulle Relazioni Si consideri una generica relazione R : A! B; sidicedominio della relazione (Dom R) l insieme degli elementi di A che ammettono un immagine secondo R, mentresidicecodominio l insieme di tutte le immagini.. ( /4 pt) Facendo riferimento alla relazione dell esercizio 1 si scrivano per elencazione Dominio e Codominio (a) ( / pt) Rappresentare la relazione con Diagramma di Eulero-Venn. ( / pt) Spiegare che relazione sussiste tra gli insiemi sui quali è definita una relazione e Dominio e Codominio della relazione stessa. (b) ( / pt) Indicare se si tratta di una funzione, motivando la risposta. (c) ( / pt) Indicare le immagini degli elementi x,x 5,x 6,x 7 I usando una freccia (7!) l associazione tra gli elementi e le rispettive immagini. 4. ( / pt) Supponendo che R sia una funzione, quali caratteristiche assumono Dominio e Codominio?

2 Proprietà delle Relazioni Alcune relazioni sono definite da un insieme a se stesso, ovvero sono del tipo R : A! A (per comodità si scrive anche R A ). Per questo tipo di relazioni si possono riconoscere, in certi casi molto speciali, delle proprietà particolari : 7. ( / pt) Avendo una relazione rappresentata mediante Tabella a DOppia Entrata, quali sono le caratteristiche che ci consentono di riconoscere dalla rappresentazione le proprietà Simmetrica e Riflessiva? Motivare la risposta con degli esempi. Proprietà Riflessiva: ogni elemento di A è in relazione con se stesso; Proprietà Simmetrica: se per ogni coppia (a, b) appartenente alla relazione anche la coppia (b, a) appartiene alla relazione; Proprietà Transitiva: se per ogni terna di elementi di A per la quale il primo elemento sia in relazione con il secondo ed il secondo con il terzo, esiste anche la relazione tra il primo elemento ed il terzo. 5. ( /4 pt) Associa le seguenti scritture simboliche alle proprietà appena descritte. (a) ( / pt) arb ^ brc ) arc, 8a, b, c A (b) ( /1 pt) ara, 8a A (c) ( /1 pt) arb ) bra, 8a, b A NOTA: arb significa a in relazione con b! 6. ( / pt) Si consideri l insieme C = { studenti di una classe } e la relazione H C definita come segue H: x è alto come y, con x, y C. Qualcuna delle proprietà descritte è verificata per la relazione H? Motivare la risposta.

3 Classe Obi Verifica di Matematica 17 Ottobre 015 Correzione 1. Determinare le soluzioni delle seguenti dis/equazioni. (a) ( / pt) (x + )(x ) = x 1+x (b) ( / pt) x(x + 1) x (x + 8) > x(1 + 4x) Es. Punti % Errori Altro 1 /6 c s p f d i r /1 c s p f d i r. Scomporre in fattori i seguenti polinomi. (a) ( /1 pt) 65x 6 56y (b) ( / pt) x 4 1x 85 (c) ( / pt) x 4 x + x x 6 (d) ( / pt) 15a 4 bx 50a x + 75a x z 5a x (e) ( / pt) 7a x + 15a (f) ( / pt) 8a b 1a b z +abz 6 z 9 (g) ( /1 pt) k 7k + 1 /6 c s p f d i r 4 /6 c s p f d i r Tot. /0 Ordine. ( /6 pt) Nel quadrilatero ABCD si ha i lati delle coppie AB, CD e BC, DA sono tra loro paralleli, ovvero ABCD è un parallelogramma. Si dimostri che i triangoli 4ACD e 4ABC sono congruenti. Bonus 4. Si consideri la Tavola Pitagorica delle moltiplicazioni per numeri da 1 a 10. La Diagonale Principale (D) contiene i quadrati dei primi dieci naturali non nulli. Considerando D come una relazione definita in D con D = {1,,,...,10}: (a) ( / pt) rappresentare D mediante grafico cartesiano, (b) ( /4 pt) verificare se D è simmetrica e riflessiva (motivare la risposta).

4 Classe Obi Test di Matematica Ottobre 015. ( /4 pt) Determinare le soluzioni di p 5x p 60 = 0 semplificando i risultati ottenuti. 1. Si consideri l equazione x 4 x = 0. (a) ( /1 pt) L equazione è A. quadratica B. fattorizzabile C. pura D. lineare (b) ( / pt) Per risolvere è necessario applicare la. e successivamente (c) ( / pt) Una volta scomposta in fattori, si ottengono due equazioni :una ed una. (d) ( /4 pt) Determinarne le soluzioni 4. ( /5 pt) Un equazione quadratica si dice pura se è del tipo. Tali equazioni possono avere un diverso numero di soluzioni: se i coe cienti a e b sono, sei invece i coe cienti sono. 5. ( /4 pt) Semplificare la seguente espressione [( p 5 + 1)( p 5 1) ( p 5 1) ]:. ( /4 pt) Determinare le soluzioni di p 5x x = 0 semplificando i risultati ottenuti.

5 Classe Obi Verifica di Matematica Gennaio 016. ( /6 pt) x 4 7x +6=0 Soluzioni: x = ±1 _ x = ± p 6 Indicazioni per lo svolgimento Per conseguire la su cienza in questa verifica non è necessario svolgere l intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di esercizi tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il massimo dei voti si devono raggiungere 0 punti. Il punteggio di ogni esercizio è proporzionale alla sua di coltà. Indicare gli esercizi che si intendono svolgere su questo fogli mettendo una crocetta nel riquadro a fianco del punteggio. Fattorizzazione - Equazioni Pure - Legge Annullamento del Prodotto 4. ( /4 pt) x 7x +4=0 Si determinino le radici delle seguenti equazioni utilizzando la procedura risolutiva migliore e semplificando i valori finali. 1. ( /7 pt) p x x p x +=0 Soluzioni: x = 7 ± p 17 4 Formula Risolutiva Soluzioni: x = p _ x = p _ x = p Fattorizzazione - Equazioni Pure - Razionalizzazione - Legge Annullamento del Prodotto 5. ( /4 pt) 10x +8x +1=0 Soluzioni: x = 4 ± p 6 10 Formula Risolutiva Ridotta. ( /5 pt) p x 1=0 Soluzioni: x = ± 4p 6. ( /5 pt) p x 6x p =0 Equazioni Pure - Razionalizzazione Soluzioni: x = p ± p 6 4 Formula Risolutiva Ridotta - Razionalizzazione

6 7. Indicare quante radici ammettono le seguenti equazioni motivando la risposta. "!# 5p 7p (a) ( / pt) 10x 5p 7 = 7 (b) ( / pt) x 7x =0 (c) ( / pt) 5 p x + 7p 1 = 0 (d) ( / pt) 5x 6x +=0 p (e) ( / pt) x p x =0 (f) ( / pt) p x + 4p 6+ p =0 Correzione Es. Punti % Errori Altro 1 /7 c s p f d i r /5 c s p f d i r Soluzioni: /6 c s p f d i r (a) 1 soluzione poiché monomia (b) soluzioni poiché = > 0 4 /4 c s p f d i r (c) 0 soluzioni poiché pura a coe cienti concordi (d) 0 soluzioni poiché 4 =9 10 < 0 5 /4 c s p f d i r (e) soluzioni poiché spuria (f) 0 soluzioni poiché pura a coe cienti concordi 6 /5 c s p f d i r 7 /1 c s p f d i r Tot. /4 Ordine

7 Classe Obi Verifica di Matematica Gennaio 016 Indicazioni per lo svolgimento Correzione Es. Punti % Errori Altro Per conseguire la su cienza in questa verifica non è necessario svolgere l intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di esercizi tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il massimo dei voti si devono raggiungere 0 punti. Il punteggio di ogni esercizio è proporzionale alla sua di coltà. Indicare gli esercizi che si intendono svolgere su questo fogli mettendo una crocetta nel riquadro a fianco del punteggio. Si determinino le radici delle seguenti equazioni utilizzando la procedura risolutiva migliore e semplificando i valori finali. 1. ( /7 pt) p x x p x +=0. ( /5 pt) p x 1=0. ( /6 pt) x 4 7x +6=0 4. ( /4 pt) x 7x +4=0 1 /7 c s p f d i r /5 c s p f d i r /6 c s p f d i r 4 /4 c s p f d i r 5 /4 c s p f d i r 6 /5 c s p f d i r 5. ( /4 pt) 10x +8x +1=0 6. ( /5 pt) p x 6x p =0 7 /1 c s p f d i r 7. Indicare quante radici ammettono le seguenti equazioni motivando la risposta. "!# 5p 7p (a) ( / pt) 10x 5p 7 = 7 (b) ( / pt) x 7x =0 (c) ( / pt) 5 p x + 7p 1 = 0 (d) ( / pt) 5x 6x +=0 p (e) ( / pt) x p x =0 (f) ( / pt) p x + 4p 6+ p =0 Tot. /4 Ordine

8 Classe Obi Recupero di Matematica 17 Febbraio 016 Indicazioni per lo svolgimento Il recupero del debito formativo si ottiene totalizzando almeno 18 punti svolgendo gli esercizi di seguito proposti. É di fondamentale importanza, però, svolgere correttamente, nei calcoli e nelle procedure, almeno tre equazioni o la tabella. Se non si dovesse rispettare questa richiesta non è garantito il superamento della prova, anche nell eventualità che si siano totalizzati i 18 punti richiesti. 1. Risolvere le seguente equazioni fattorizzabili. (a) ( /4 pt) x +=x + x (b) ( /4 pt) x 4 16 = 0 (c) ( /4 pt) x 1 = 4x x. ( /1 pt) Si completi la tabella seguente. Equazione Tipologia Soluzioni. Determinare la tipologia di ciascuna di queste equazioni quadratiche incomplete e trovarne le radici. (a) ( / pt) (x 1) 4(x ) = 0 (b) ( / pt) (x + ) + x (1 x) = (x + 4) (c) ( / pt) p 5x 1=0 [Semplificare le radici ottenute!] 4. Risolvere le seguenti equazioni utilizzando la procedura più adatta. (a) ( /4 pt) (x 1)(x + 1) = 16x (b) ( /4 pt) x x( x) 8=0 Correzione Es. Punti % Errori Altro 1 /1 c s p f d i r x 4=0 /1 c s p f d i r x 4x =0 (x ) = 4(1 x) /6 c s p f d i r 1x = 0 7x 41 = 0 x 4x = (x 1) x 4 /8 c s p f d i r Tot. /8 Ordine

9 Classe Obi Verifica di Matematica Marzo ( /10 pt) Data la circonferenza C O,R,sia\BAC un suo angolo alla circonferenza. Detta AM la mediana dell arco sotteso dall angolo \BAC, conduci la corda CD parallela ad AM. Dimostra che AD = BM. Indicazioni per lo svolgimento Per conseguire la su cienza in questa verifica non è necessario svolgere l intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di esercizi tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il massimo dei voti si devono raggiungere 0 punti. É di fondamentale importanza, però, svolgere correttamente, nei calcoli e nelle procedure, almeno due sistemi lineari e l impostazione della risoluzione del problema di geometria. Se non si dovesse rispettare questa richiesta non è garantito il superamento della prova, anche nell eventualità che si siano totalizzati i 18 punti richiesti. 1. ( /5 pt) Si applichi il metodo del confronto per risolvere il seguente sistema lineare. 8 >< (y 1) + 1 = (x 1) + 5. ( /9 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema lineare 8 x + y >< =z 4x + y z = >: y +z +1=1 x Correzione Es. Punti % Errori Altro 1 /5 c s p f d i r >: (x 1) + 1 y = (1 y) /7 c s p f d i r. ( /7 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema utilizzando un metodo a piacere. 8 >< >: (x + 1) y(x + 1) = x(x y) x(y 1) (x + 1) =y(x 1) x. ( /7 pt) Utilizzare il Metodo di Cramer per risolvere il seguente sistema. /7 c s p f d i r 4 /10 c s p f d i r 5 /9 c s p f d i r 8 >< >: y + x = x 4 + y 5 x = y + 6 4x Tot. /8 Ordine

10 Classe Obi Test di Matematica 18 Marzo 016. Considerando le rette dell esercizio precedente individua, se ci sono, le coppie di rette parallele e le copiie di rette perpendicolari giustificando la scelta fatta. Parallele 1. Rappresenta nel in un sistema di riferimento cartesiano xoy le rette: r 1 : y =x 1 r : y = r : x = Perpendicolari 4. Completare la seguente tabella: Equazione Tipologia m q. Indicare le intersezioni della retta r : y = x + con gli assi coordinati. r 1 : y = +x V O OC OD r : x = V O OC OD r : y = x V O OC OD 4 r 4 : y =7 7x V O OC OD r 5 : y =x 4 V O OC OD r 6 : y = V O OC OD

11 5. Si determinino per via algebrica i punti di intersezione delle rette date con l asse delle ascisse. Utilizzare la tabella sottostante. Retta Equazione Intersezioni r 1 : y =x r : y =1 x 6. Si considerino le rette r 1 : y =x 1 r : y =x + r : x =4 y r 4 : y = x +8 si completi la seguente tabella Completare la seguente tabella: r : y = x Rette Parallele Incidenti Coincidenti r 4 : y = 5 x 1 r 5 : y = 7 r 6 : x = r 1 e r r e r r 4 e r 1 r e r 4 r e r 4 Giustificare la risposta per la prima coppia di rette. Rette Parallele o Coincidenti Date due rette le cui equazioni sono in forma implicita e semplificate r 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 =0 r : a x + b y + c =0 se il determinante della matrice dei coe cienti è nullo le rette sono 1. parallele se c 1 6= c. coincidenti se c 1 = c

12 Classe Obi Test di Matematica 6 Maggio 016 Livello Intermedio Indicazioni per lo svolgimento. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni. (a) 10 7x > 5 14 Per conseguire la su cienza non è necessario svolgere l intera verifica, ma soltanto uno dei tre livelli proposti. La corretta risoluzione del livello base da diritto ad un voto massimo pari a 7, il livello intermedio a 8 1 /, mentre la piena valutazione si ottiene svolgendo correttamente il livello avanzato. Si abbia cura di verificare la correttezza elacoerenza dei passaggi e delle procedure. (b) 6+( x) x + (c) x 1 x 1 x 6 1= x x (d) x 4 7x 1x + 5x 10 < 0 Livello Base 1. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni. (a) 10 7x = 5 14 (b) x +1 x 1 > 4 (c) x 1 x 1 x = 4. In un triangolo rettangolo un cateto e la sua proiezione sull ipotenusa misurano rispettivamente 60 cm e 6 cm. (a) Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del problema. (b) Calcolare l area del rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. (c) Calcolare area e perimetro del triangolo. Livello Avanzato 5. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni. x 8 (a) (x 1) x + 1 > 0 (d) x 11x + 17x 6 > 0 (b) 6+( x) x + 1 > x x. Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del seguente problema: Nel triangolo rettangolo 4ABC, rettangolo in A, sia AH l altezza relativa all ipotenusa. Dimostra che il rettangolo avente i lati congruenti a BH e CH è equivalente a un rettangolo avente un lato congruente ad AC e l altro congruente alla proiezione di AH su AC. (c) (x + x + x + 1)(x 7) < 0 6. Si determinino le soluzioni di (ax 1)(ax x a x +a) 6 0 supponendo che a Z. 7. Dimostrare il problema enunciato nel quesito.

13 Classe Obi Verifica di Matematica 1 Giugno p x x p x +=0. p x 1=0. x 4 7x +6=0 4. x 7x +4= x +8x +1=0 6. p x 6x p =0 7. Si applichi il metodo del confronto per risolvere il seguente sistema lineare. 8 >< (y 1) + 1 = (x 1) + >: (x 1) + 1 y = (1 y) 8. Determinare le soluzioni del seguente sistema utilizzando un metodo a piacere. 8 >< (x + 1) y(x + 1) = x(x y) >: x(y 1) (x + 1) =y(x 1) x 9. Utilizzare il Metodo di Cramer per risolvere il seguente sistema. 8 >< >: y + x = x 4 + y 5 x = y + 6 4x 10. Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del seguente problema: Nel triangolo rettangolo 4ABC, rettangolo in A, sia AH l altezza relativa all ipotenusa. Dimostra che il rettangolo avente i lati congruenti a BH e CH è equivalente a un rettangolo avente un lato congruente ad AC e l altro congruente alla proiezione di AH su AC.

14 Classe Obi Verifica di Matematica Settembre 015 Correzione 1. ( /6 punti) Si risolva la divisione utilizzando il Metodo Standard. (a 5 a +5a a + 7) : (a +a 1) Es. Punti % Errori Altro 1 /6 c s p f d i r /6 c s p f d i r. ( /6 punti) Si svolga la divisione (x 4 x +4x x 8) : (x ) /6 c s p f d i r utilizzando il Metodo di Ru ni. 4 /6 c s p f d i r. Sviluppare i seguenti prodotti notevoli: (a) ( /1 punto) (x +5x) (b) ( / punti) (x z ) (c) ( /1 punto) (5abc + x)(x 5abc) (d) ( /1 punto) (x xy + 1) (e) ( /1 punto) (k 7)(k 5) 5 /6 c s p f d i r Tot. /0 Ordine 4. Determinare le soluzioni delle seguenti dis/equazioni. (a) ( / punti) (x + )(x ) = x 1+x (b) ( / punti) x +x = 5x 4 6 (c) ( / punti) x x (x 1) < x(1 x) 5. ( /6 punti) Congiungendo i tre punti medi di un triangolo isoscele si ottiene un altro triangolo. Dimostrare che tale triangolo è anch esso isoscele. Firma per presa visione: