FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE SIMULAZIONE della PROVA SCRITTA di STATISTICA 23/03/2011

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Oreste Di Carlo
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1 FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE SIMULAZIONE della PROVA SCRITTA di STATISTICA 23/3/2 ESERCIZIO ( ) La seguente tabella riporta la distribuzione della variabile "Stato Civile" per i residenti maschi della provincia di Monza-Brianza nel 2 (fonte: Ufficio Statistica e Studi del Comune di Monza): X=Stato Civile N residenti Celibe Coniugato Divorziato 6.57 Vedovo 8.94 a) Classificare il fenomeno X e calcolarne e rappresentarne graficamente la distribuzione delle frequenze relative; b) Sintetizzare X mediante un indice di posizione, commentando il risultato. Si supponga di estrarre un campione bernoulliano di 3 residenti: c) Descrivere la variabile casuale adatta a interpretare il numero di coniugati nel campione, calcolandone valore atteso e varianza; d) Calcolare la probabilità che 2 dei 3 estratti siano coniugati. ESERCIZIO 2 (4+2) La seguente tabella riporta l'andamento del numero delle imprese registrate nella provincia di Monza-Brianza dal 23 al 27 (dati Unioncamere elaborati dall'ufficio Statistica del Comune di Monza): Anno Numero a) Valutare l'andamento temporale del fenomeno nel periodo considerato calcolando i Numeri Indice a base fissa (anno base: 23) e a base mobile; le variazioni percentuali rispetto all'anno base e le variazioni percentuali annue, commentando i risultati; b) Calcolare il tasso di variazione medio annuo, commentando il risultato e confrontandolo con la media aritmetica delle variazione percentuali annue calcolate in a).

2 ESERCIZIO 3 ( ) a) Dopo aver esposto il concetto di Correlazione, definire il coefficiente di correlazione lineare ρ e discuterne i valori. Nella seguente tabella a doppia entrata sono riportati i risultati dell'osservazione congiunta delle variabili T=titolo di studio (D=diploma, L=laurea) e X=reddito annuo (in migliaia di euro) su impiegati di un'azienda. T, X D L 2 8 b) Costruire le distribuzioni del reddito condizionato dal titolo di studio e, sulla base di queste e motivando la risposta, specificare se sussiste indipendenza statistica tra T e X; c) Calcolare i redditi medi condizionati al titolo di studio, cioè x T = D e x T = L, e il reddito medio marginale x, verificando la proprietà associativa. Si supponga ora che i 4 impiegati laureati costituiscano un campione casuale estratto da una popolazione il cui reddito è interpretabile come una variabile casuale di media incognita µ e deviazione standard σ = 5 (migliaia di euro). d) Calcolare un intervallo di confidenza al 95% per µ; e) Verificare a livello di significatività del 99% l'ipotesi nulla H µ µ 5. : = f) Esporre la metodologia di costruzione di un Intervallo di Confidenza per grandi campioni esemplificando con la stima della percentuale di un fenomeno categoriale.

3 ESERCIZIO a) Il fenomeno è qualitativo sconnesso; in tabella, le frequenze relative, ottenute come p = f N. i i / X=Stato civile f i p i Celibe Coniugato Divorziato Vedovo TOTALE N= La rappresentazione grafica più adeguata è il diagramma a barre: celibe coniugato divorziato vedovo b) L'indice di posizione calcolabile è la moda, che corrisponde a "Coniugato", cioè la modalità con frequenza massima. La maggior parte dei residenti maschi della provincia di Monza-Brianza è "coniugata". c) La v.c. Y che descrive il numero di coniugati nel campione è una Binomiale con parametri n = 3 (dimensione del campione, ovvero numero di estrazioni con reinserimento) e p =. 59 (frequenza relativa della modalità "coniugato"). Il suo valore atteso vale np =. 557 e la sua varianza np ( p) =.749 d) La probabilità richiesta si calcola ricordando la funzione di probabilità della Binomiale: n y n y P( Y = y) = p ( p) y =,,..., n y e quindi: 3 2 3! 2 2 P ( Y = 2) =.59 (.59) =.59 (.59) = 3.59 (.59) = !!

4 ESERCIZIO 2 a) In tabella, i numeri indici a base fissa e a base mobile e le corrispondenti variazioni temporali. Anno N imprese NI bf var % NI bm var % b) I risultati (ultima colonna della tabella) evidenziano un aumento del numero di imprese nei primi tre anni, e quindi una leggera diminuzione passando dal 26 al c) ν = 5 % =.25% : c'è stato un incremento medio annuo pari al.25%. La media aritmetica delle variazioni percentuali annue è pari a ( ) / 4 = +.25%, ma solo per caso coincide col valore precedente. ESERCIZIO 3 a) Vedi appunti/libro di testo b) Nella seguente tabella, sono riportate, accanto alle frequenze congiunte, le frequenze marginali per T e X. T, X f i. D L f N= j La tabella seguente riporta le due distribuzioni condizionate dell'altezza dato il titolo di studio. Non coincidendo, si può concludere che non c'è indipendenza tra i due fenomeni. T, X D L c) Le due medie condizionate valgono: x T = D = = x T = L = ( ) = 52 4 La media marginale ( ) 5

8 b) I risultati (ultima colonna della tabella) evidenziano un aumento del numero di imprese nei primi tre anni, e quindi una leggera diminuzione passando dal 26 al 27. 6989 c) ν = 5 % =.

5 x = ( ) = ovvero, sfruttandone la proprietà associativa: x = ( ) = d) L'intervallo di confidenza, essendo α =.95 α =.5 α / 2 =.25 α / 2 =.975 (dalle tavole della Z ) z.96, α / 2 = σ σ 5 5 è dato da ( x zα / 2, x + zα / 2 ) = 52.96, = ( 47.35,56.65) n n 4 4 X µ e) Il test è unilaterale, rifiuta sulla coda sinistra. La statistica test è Z = ; il test rifiuta per σ / n valori di Z minori di = z = Z, sotto l'ipotesi nulla, assume per il campione estratto il z α valore z oss = = Essendo z oss > z. = 2. 33, si accetta H al livello del 99%. 5/ 4 f) Vedi appunti/libro di testo

65) n n 4 4 X µ e) Il test è unilaterale, rifiuta sulla coda sinistra. La statistica test è Z = ; il test rifiuta per σ / n valori di Z minori di = z = 2. 33.

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