La ricostruzione di immagini da strumentazione TAC

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1 INTRODUZIONE La ricostruzione di immagini da strumentazione TAC Un sistema per tomografia assiale computerizzata (TAC) per poter produrre immagini dell interno del corpo umano, procede attraverso l analisi strato per strato in senso trasversale. Da questa analisi si ottengono delle proiezioni unidimensionali dalle quali vengono ricostruite, mediante appositi algoritmi le immagini dei vari strati. In questo volume vengono illustrate sia le varie tecnologie dei sistemi TAC, dalle origini fino ad oggi, sia le tecniche di ricostruzione delle immagini più utilizzate e più efficienti. L obbiettivo consiste quindi nella ricostruzione di sezioni anatomiche del corpo umano, con lo scopo di studio ed indagine diagnostica in modo incruento e poco invasivo, come visualizzato in figura 1. Figura 1 Strumentazione TAC e immagini ricostruite di strati del corpo. I

2 Le proiezioni delle sezioni del corpo vengono ottenute grazie all utilizzo dei raggi X, in base all applicazione del principio fondamentale della radiografia: l attenuazione che i raggi X subiscono nell attraversamento di un mezzo dipende dalla natura del mezzo stesso, oltre che dalle sue dimensioni. La ricostruzione delle immagini, che costituisce la base matematica della Tac, comprende una serie di tecniche sia algebriche che analitiche, il cui perfezionamento e sviluppo sono coincisi con il progresso di numerose scienze applicate: tecniche di imaging, strumentazioni utilizzate, uso del computer. Il matematico austriaco Radon nel 1917 fu il primo a presentare una formulazione analitica applicabile al problema della ricostruzione di un oggetto a partire dalle sue proiezioni. Successivamente, negli anni 50, molti studiosi cominciarono a sviluppare numerose tecniche di ricostruzione e ad applicarle in vari campi scientifici quali ad esempio la microscopia elettronica e la radioastronomia. Nello stesso periodo, grazie all uso dei primi rudimentali calcolatori, Bracewell mise a punto la prima elaborazione del metodo della trasformata di Fourier e si iniziò ad implementare numericamente i vari metodi di ricostruzione di immagini. Quindi i primi sistemi di scansione di strati traversi tramite radioisotopi, che dovevano sopperire ai problemi della tomografia convenzionale, furono introdotti negli anni 60 e per ottenere immagini utilizzavano il metodo della retroproiezione semplice. L applicazione delle tecniche di ricostruzione matematica delle immagini al campo della radiologia fu studiata in modo indipendente da Oldendorf e Cormack negli anni 50. Fu proprio Oldendorf per primo ad avere l idea di far passare attraverso un oggetto un fascio di raggi X secondo angolazioni diverse. In tal modo si può ricavare una misura del coefficiente di attenuazione dei raggi nella regione posta al centro del sistema di rotazione. Nel 1963 fu invece Cormack a descrivere in un articolo l idea di compiere misurazioni sulla trasmissione dei raggi X lungo linee parallele secondo un elevato numero di direzioni,in modo da ricavare una serie di profili relativi alla trasmissione stessa. Tali profili, successivamente, venivano sottoposti all analisi di Fourier per ricostruire i coefficienti di assorbimento nell area di scansione. II

3 Più tardi Hounsfield, per primo, progettò uno strumento capace di ottenere immagini per scopi medici ad alta risoluzione. Tale apparecchio fu posto in commercio nel 1971 con il nome di EMI Scanner e fu utilizzato per l analisi neurologica. L applicazione di tecniche di ricostruzione di immagini da proiezioni ottenute con strumentazione TAC ha rivoluzionato la diagnostica radiologica in campo medico. Ciò ha permesso di visualizzare sezioni e volumi del corpo umano evidenziando organi e tessuti interni, cosa impensabile con le semplici radiografie. Una immagine TAC è il risultato del calcolo di distribuzioni assiali traverse di densità radiologiche, ottenuto tramite elaborazione numerica di misure di assorbimento della radiazione X. Tali misure vengono eseguite su varie angolazioni attorno alla regione anatomica in esame tramite un sistema di scansione sorgente-rivelatori a raggi X che ruota attorno al corpo. La TAC è quindi un potente strumento diagnostico, scarsamente invasivo, che deve la sua unicità al fatto di essere una perfetta sistesi ingegneristica di principi complementari tratti da varie discipline scientifiche, quali la fisica delle radiazioni, la matematica, la scienza dell informazione, le tecnologie biomediche e l elaborazione numerica dei segnali. Si è anche avanzata l ipotesi che le tecniche di ricostruzione da proiezioni, utilizzate anche in altri campi non medici, potrebbero essere alla base del meccanismo di percezione visiva del cervello umano. Scopo del lavoro Lo scopo di questa tesi consiste nel presentare le tecnologie ed i metodi per ottenere immagini da strumentazione TAC di qualità. Particolare attenzione verrà data ai metodi di ricostruzione di immagini da proiezioni unidimensionali di strati trasversi e ai loro fondamenti matematici. Dopo una prima parte dedicata all ambiente delle bioimmagini, ai loro fondamenti e al loro utilizzo, in particolare per quel che riguarda l uso dei raggi X, si passerà ad una breve esposizione delle varie soluzione tecnologiche adottate per configurare un sistema sorgente-rivelatore al fine di ottenere i profili delle immagini di sezioni del corpo da sottoporre ai metodi di ricostruzione. III

4 Gran parte di questo volume sarà quindi dedicata ai metodi e agli algoritmi che permettono una miglior ricostruzione, in termini di qualità ed efficienza, delle immagini degli strati in esame. Il concetto di proiezione e l uso della Trasformata di Radon sono alla base delle relazioni matematiche utilizzate nello sviluppo di questi metodi. I vari metodi sono da ritenersi equivalenti dal punto di vista della soluzione matematica ideale e teorica del problema, cioè senza imprecisione e discretizzazione, ma si differenziano dal punto di vista delle approssimazioni e delle discretizzazioni da applicare alle formule usate per ricavare l algoritmo da implementare. Da questa considerazione si deduce che i vari metodi sono in parte analiticamente derivabili uno dall altro, ma possono altresì fornire risultati numerici differenti. Gli algoritmi di ricostruzione da proiezioni sono numerosi e dipendono dalle caratteristiche del sistema di acquisizione usato e dalle particolari scelte nella realizzazione numerica. I principali possono essere schematicamente suddivisi nei seguenti gruppi: - metodi iterativi; - metodi per sommatoria; - metodi analitici per trasformazione; - metodi analitici diretti. I metodi iterativi, essendo di più raro utilizzo, verranno solo accennati. Verrà invece trattato in modo esauriente il metodo della retroproiezione semplice, appartenente ai metodi per sommatoria, evidenziandone pregi e difetti. Tale tecnica riveste un ruolo importante in quanto sta alla base del metodo della retroproiezione filtrata, che è in assoluto la tecnica più efficiente per le sue caratteristiche di velocità e precisione. L analisi prosegue poi mettendo in risalto i metodi analitici che si fondano su importanti risultati dell analisi di Fourier, come il teorema della sezione centrale e la teoria delle trasformate. Questo lavoro si conclude con il confronto tra le varie tecniche prese in considerazione, mostrandone limiti e vantaggi, pregi e difetti. IV

5 Contenuto dei capitoli Sono indicati tra parentesi quadre [] i riferimenti bibliografici di ogni capitolo, che possono essere consultati alla fine di questo elaborato. Capitolo 1: dopo alcuni cenni storici riguardo alle bioimmagini si pone l attenzione sull utilizzo dei raggi X, a partire dall esperimento di Roentgen. Vengono trattate le basi scientifiche della tecnica radiografica e della tomografia convenzionale, illustrandone innovazioni e problemi [1,10,12,13]. Capitolo 2: viene descritto un sistema TAC, la tecnologia e la struttura. [2,5,9], il principio di funzionamento del sistema di scansione [2,4,5,9] e l evoluzione tecnologica dalle origini ad oggi (sistemi di 1,2,3,4 generazione) [2]. Capitolo 3: il procedimento di generazione dei dati [4,7,12], che formano i profili radiologici misurati dal sistema di scansione. Successivamente si introducono i concetti di raggio del fascio e di integrale di raggio, la definizione di funzione di proiezione, di trasformata di Radon e della sua inversione per poter ricostruire le immagini dalle proiezioni [2,4,6,]. Applicando la versione approssimata di tale relazione alla matrice di ricostruzione si ricava una versione discreta della stessa, implementabile al calcolatore [4]. Si riportano poi gli approcci algebrici al problema della ricostruzione: il metodo per sommatoria o retroproiezione semplice [2,4,6,7,8], il limite dell artefatto a stella [2,4], i metodi iterativi con un esempio pratico [4,6]. Capitolo 4: il metodo analitico della Fourier-trasformata, dalle equazioni teoriche all algoritmo da implementare al calcolatore [3,7]. Capitolo 5: la retroproiezione filtrata [2,4,6,7,8]. I passaggi matematici fondamentali per ricavare le relazioni analitiche fondamentali [4,7] e i due differenti approcci: in frequenza e la tecnica della convoluzione lineare. La retroproiezione filtrata come soluzione del problema dell inversione della trasformata di Radon [2,7]. Capitolo 6: Confronto tra i vari metodi studiati, pregi e difetti, soluzioni e stato attuale [2,6,7]. V