Esercitazione di Matematica su retta e parabola

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1 Esercitazione di Matematica su retta e parabola 1. (a) Scrivere l'equazione della retta r passante per i punti A( 1, ), B( 5, 0). (b) Scrivere l'equazione della retta s parallela ad r passante per il punto P (1, ); (c) Scrivere l'equazione della retta t perpendicolare ad r e passante per il punto Q(4, 5); (d) Stabilire la posizione della retta r rispetto alla retta u di equazione x + 5y 6 = 0.. Considerata la parabola Γ di equazione y = x x +, calcolare (a) la distanza tra il vertice di Γ e la retta r di equazione 4x 5y 6 = 0; (b) la lungezza della corda AB che la retta s, di equazione x+y+6 = 0, intercetta su Γ; (c) la distanza tra il punto P Γ la cui ascissa è 1 e il punto medio del segmento di estremi A(, 4) e B(4, ). 3. Determinare analiticamente e gracamente la posizione retta-parabola nei casi seguenti: (a) retta x 10y = 0 e parabola y = 4x + 5x; (b) retta 7x + y 4 = 0 e parabola y = x 9x + 5; (c) retta y = 5x e parabola y = x Risolvere le seguenti disequazioni di secondo grado studiando il segno del trinomio dal graco della parabola corrispondente: (a) x 5x > 0; (b) x 4x + 4 0; (c) 4 x 0; (d) 4x + 4x 1 < 0; (e) 4x + 1 > 0; (f) x + x + 4 < 0. 1

2 Risoluzione esercizi 1. (a) Per rispondere al quesito, proponiamo tre metodi. (i) L'equazione della retta passante per due punti A(x 1, y 1 ) e B(x, y ) ha equazione y y y y 1 = x x x x 1 da cui, sostutuendo le rispettive coordinate dei punti in questione, r : y 0 0 = x ( 5) 5 ( 1) = y = x = y = x = y = (x + 5)) 4 da cui, moltiplicando ambo i membri per e togliendo le parentesi al secondo membro, r : y = 1 x + 5 (ii) Tutte le retta passanti per il punto B costituiscono il fascio proprio delle rette di centro B dato da y y B = m(x x B ) che, nel nostro caso, si scrive come r m : y = m(x + 5) da cui, imponendo il passaggio per A, = m( 1 + 5) = 4m = = m = 4 = m = La retta cercata si ottiene ponendo M = 1/ nell'equazione del fascio ed è, dunque, r = r 1 : y = 1 (x + 5) o, in forma es- plicita y = 1 x + 5, come determinato col metodo precedente. (iii) Tenendo presente che l'equazione generica di una retta in forma esplicita è y = mx + q, imponendo il passaggio sia per A sia per B, si perviene ad un sistema lineare algebrico nelle incognite m, q avente come soluzione m = 1/, q = 5/4 come già determinato con gli altri metodi. (b) Ricordando che due rette parallele hanno lo stesso coeciente angolare, tutte le rette parallele ad r hanno coeciente angolare m = 1/ e dieriscono per il termine noto sicché esse costituiscono il fascio improprio delle rette parallele ad r: r k : y = 1 x + k Si ha, poi, che s è la retta del fascio passante per P ottenibile, dunque, calcolando il termine noto che si ottiene imponendo al fascio di passare per P stesso.

3 Così facendo, si ha: = k = k + 1 = = k = 1 = k = 5 Sostituendo il k trovato nella equazione del fascio improprio, si ha l'equazione della retta cercata data da s = r 5 : y = 1 x 5 (c) Ricordando la condizione di perpendicolarità, tra due rette di coecienti angolari m ed m rispettivamente, che vuole nel nostro caso deve aversi mm = 1 = m = 1 m m t = 1 m r = 1 1/ = con evidente signicato dei simboli. Dunque, t fa parte del fascio improprio t k delle rette perpendicolari ad r e, cioè, di coeciente angolare m t precedentemente determinato. Essendo t k : y = x + k ed imponendo il passaggio per Q, si ha: 5 = 4 + k = k 8 = 5 = k = = k = 13 Ne consegue che la retta cercata è t = t 13 : y = x + 13 (d) Mettendo a sistema le due rette (r ed u), si ottiene il sistema lineare { y = 1 x + 5 x + 5y 6 = 0 esprimibile anche come { 1 x + y = 5 x + 5y = 6 in cui i coecienti delle rispettive incongnite risultano non proporzionali sicché il sistema è determinato. Allo stesso risultato si perviene con un qualsiasi metodo risolutivo per sistemi lineari. Dunque, le rette sono incidenti. Al medesimo risultato si può pervenire per via graca disegnando, in uno stesso diagramma, entrambe le rette. 3

4 . Per rispondere ai quesiti posti, risultano ultili le formule o le informazioni seguenti: ( (I) V b a, ) (vertice della parabola y = ax + bx + c, = 4a b 4ac) (II) AB = (x b x a ) + (y b y a ) (distanza tra due punti del piano) (III) dist(p 0, r) = ax 0 + by 0 + c a + b retta r : ax + by + c = 0) (distanza del punto P 0 (x 0, y 0 ) dalla (IV) corda intercettata da una retta su una parabola: segmento di estremi i pounti di contatto tra retta e parabola se la retta seca la parabola ( xa + x B (V) M, y ) A + y B (punto medio del segmento AB) Ciò premesso, passiamo a rispondere ai quesiti posti. (a) Il vertice di Γ è, in virtù della (I) precedente, è dato da V essendo a = 1, b = 1, c =. Applicando la (III) si ha: ( 4 1 ) ( 5 9 ) 6 4 dist(v, r) = = 3 = che rappresenta la distanza richiesta. ( 1 ), 9 4 (b) Mettendo a sistema l'equazione di Γ con quella della retta data, si ottiene { { y = x x + y = x x + y + 6 = 0 = x + y = x 6 Dal confronto tra le due equazioni ovvero sostituendo y, come ricavato nella seconda, nella prima equazione, si determina l'equazione risolvente x x = x 6 = x + 4 = 0 = x 4 = 0 = x = 4 da cui x = ± 4 = ±. Ne consegue che il sistema retta-parabola è risolto da { { x = y = ( ) 6 = 6 = 4 y = y = 6 = 8 e, per quanto ricordato al punto (IV) precedente A(, 4), B(, 8) sono gli estremi della corda da considerare. Applicando la formula richiamata al precedente punto (II), si determina la lunghezza della corda AB: AB = ( + ) + ( 8 + 4) = + ( 4) = = 0 = 5 4

5 (c) L'ordinata di P si ottiene mettendo l'ascissa 1 al posto di x nell'equazione che denisce la parabole onde ottenenre la corrispondente y e, dunque, P (1, ) P (1, ). Riguardo al punto medio del segmento AB, si ha che esso è M(3, 1) come si ottiene applicando la formula (V). Applicando la (II) si ha: P M = (3 1) + (1 ) = + ( 1) = = 5 che rappresenta la misura cercata. 3. Per determinare analiticamente la posizione retta-parabola è suciente mettere a sistema le due equazioni e studiare il segno del discriminante dell'equazione risolvente, mentre per farlo gracamente, occorre disegnare sia la retta sia la parabola in uno stesso diagramma onde stabilie la reciproca posizione. Ciò premesso, rispondiamo ai quesiti posti. (a) Mettendo a sistema retta e parabola otteniamo { y = 4x + 5x x 10y = 0 da cui, sostituendo y già ricavata nella prima equazione nella seconda, si determina l'equazione risolvente x 10(4x +5x) = 0 = x 40x 50x = 0 = 40x 49 = 0 = 40x +49 = 0 L'equazione risolvente è spuria per cui il suo > 0 ammettendo due soluzioni reali e distinte e ciò vale anche per il sistema. Dunque, la retta è secante. Allo stesso risultato si perviene per via graca tracciando in uno stesso diagramma sia il graco della retta che quello della parabola. Iniziamo dalla prima portandola dapprima nella forma esplicita y = x 10. Dando, adesso, due valori alla x ricavando le corrispondenti y si ricavano due punti A, B estremi di un segmento contenuto nella retta da gracare. Applicando tale procedimento si ottiene la tabella seguente: x y y = 0/10 = 0 y = 1/10 dove sono stati ricavati i punti A(0, 0) e B(1, 1/10). Dunque, come detto in precedenza, si può gracare la retta e ciò viene fatto nel prossimo graco insieme alla parabola y = 4x +5x 5

6 della quale diciamo subito che volge la concavità verso l'alto essendo positico il coeciente di x e che interseca l'asse y nell'origine essendo nullo il termine noto (punto A per cui passa anche la retta). Le intersezioni con l'asse x sono i punti P 1, (x 1,, 0) dove x 1, sono le soluzioni dell'equazione 4x + 5x = 0 = x 1 = 0 x = 5/4. Dunque, P 1 (0, 0) A e P (5/4, 0). Il vertice V della parabola è, inne, V ( 5/8, 5/4). La situazione è gracamente rappresentata nel disegno che segue da cui si evince che la retta è secante. (b) Ponendo a sistema retta e parabola, si ha: { y = x 9x + 5 7x + y 4 = 0 da cui, sostituendo y già ricavata nella prima nella seconda, si ottiene l'equazione risolvente che, in forma canonica, si scrive come x x + 1 = 0 = 4 = 1 1 = 0 sicché la retta è tangente il graco della parabola. Procedendo ad una rappresentazione graca, come fatto nella seconda parte del punto (a) precedente, si trova lo stesso risultato in quanto si ottiene il graco seguente. 6

7 (c) Mettendo a sistema retta e parabola si ha: { y = x 10 y = 5x da cui, sostituendo y ricavata dalla prima equazione nella seconda, si ottiene l'equazione risolvente che, in forma canonica, si scrive come x 5x 10 = 0 = x +5x+10 = 0 = = 5 40 = 15 < 0 sicché il sistema non ammette soluzioni reali e, pertanto, la retta è esterna. Allo stesso risultato si perviene per via graca come mostra il seguente diagramma in cui sono disegnate retta e parabola considerate. 7

8 4. Tenendo presente che, dal graco di una parabola è possibile studiare il segno del trinomio di secondo grado in quanto esso è nullo dove la parabola taglia l'asse delle x, è positivo in corrispondenza di x tali che il graco sta sopra l'asse delle ascisse ed è negativo sul complementare dell'unione dei due insiemi precedenti, la soluzione di una diseguazione di secondo grado è data, dopo aver studiato il segno del trinonmio di grado, dalla unione degli insiemi il cui segno è concorde col verso della disequazione. Dopo queste premesse, passiamo alla risoluzione delle disequazioni considerate. (a) L'equazione associata è x 5x = 0 = x 1 = 0 x = 5 e, pertanto, la parabola di equazione y = x 5x taglia l'asse delle ascisse per x = 0 e per x = 5 ed, essendo 1 > 0 il coeciente di x, la parabola volge la concavità verso l'alto ed un suo graco è mostrato in gura seguente dove viene evidenziato anche il segno che è, poi, quello di x 5x. Soluzione della disequazione è, allora, l'insieme S = {x R : x < 0 x > 5} che può anche scriversi come S = (, 0) (5, + ) (b) Procedendo come nel caso precedente, si determina che l'equazione associata possiede soluzioni coincidenti x 1 = x =. Dunque, la parabola y = x 4x + 4 ha il graco tangente l'asse delle ascisse nel punto P (, 0) che, dunque, è anche vertice della parabola. Inoltre la parabola volge la concavità verso l'alto essendo positivo il coeciente di x. Si ricava, allora, il graco di gura seguente dove viene posto anche il segno. 8

9 L'insieme soluzione dell'equazione di partenza è, allora, S = {}. (c) Notiamo dapprima che la disequazione può essere riscritta, cambiando di segno, come x 4 0 e, procedendo come nei casi precedenti (l'equazione associata è risolta da x = ± mentre la parabola da gracare è y = x 4), si ottiene la seguente situazione graca da cui si ricava S = {x R : x } = [, ] quale insieme soluzione. (d) Cambiando di segno ovvero moltiplicando ambo i membri della disequazione per 1, si ha: 4x 4x + 1 > 0 la cui equazione associata ammette soluzioni coincidenti con x = 1 e, tracciando il graco della parabola y = 4x 4x + 1 onde determinare il segno del trinomio, si ha la situazione del disegno seguente da cui si evince che l'insieme soluzione della disequazione è ( S = {x R : x 1/} =, 1 ) ( ) 1, + 9

10 (e) L'equazione associata non ammette soluzioni reali ed, essendo positivo il coeciente di x, la parabola y = 4x + 1 sta tutta sopra l'asse delle x come mostrerebbe un eventuale graco cosicché è deducibile che S = R rappresenta l'insieme soluzione della disequazione di partenza. (f) L'equazione associata x + x + 4 = 0 non ammette soluzioni reali per cui, ragionando in modo analogo a quanto fatto al punto precedente, si deduce che il trinomio ha segno positivo sicché la disequazione non è mai vericata ovvero S = { }. 10