TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE ( 1 ) Risolvendo il sistema lineare ( 1 ) rispetto alle incognite x, y si ottiene: = e

Transcript

1 Generalità sulle affinità TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Chiamasi affinità o trasformazione lineare una corrisondenza biunivoca tra due iani o tra unti dello stesso iano che trasforma rette in rette conservando il arallelismo. Dati due unti del iano: P(x, y) e P'(x',y'), diciamo che essi si corrisondono in un'affinità ϕ se le loro coordinate ossono essere esresse mediante euazioni lineari del tio: = ax+ a1y+ = a1x+ a y+ ( 1 ) dove a, a1, a1, a,, sono numeri reali e a a1 det A = = aa a1a1 0 ( ) a a 1 Se det A = 0, la ( 1 ) si dice affinità degenere. Risolvendo il sistema lineare ( 1 ) risetto alle incognite x, y si ottiene: x' a a x' ax+ a1 y = x' a1x+ a y = y' da cui x y' a 1 = e det A y = Che, risolte, forniscono le euazioni dell'affinità inversa ϕ 1. a y' 1 det A Definizione Un unto P si dice unto unito o fisso er una trasformazione ϕ, se ϕ ( P) = P, cioè se il trasformato di P è P stesso. In articolare, se le euazioni del sistema si riducono a delle identità, allora tutti i unti del iano R sono unti uniti. Per determinare gli eventuali unti uniti di ϕ basta orre: x' = x y' = y Teorema 1 - Una affinità viene univocamente determinata da tre coie (A, A'), (B, B'), (C,C') di unti corrisondenti tali che né i unti A, B, C né i loro corrisondenti A', B', C' siano allineati. Infatti, imonendo alle ( 1 ) di contenere i unti A, B, C ed i loro corrisondenti, si ottiene un sistema lineare di 6 euazioni nelle 6 incognite a, a1, a1, a,, che er le iotesi fatte ammette una sola soluzione.

2 Le affinità godono di articolari rorietà: trasformano rette in rette trasformano rette incidenti in rette incidenti trasformano rette arallele in rette arallele trasformano il unto medio M di un segmento nel unto M' del segmento corrisondente conservano costante il raorto delle aree di figure corrisondenti; tale raorto costante è chiamato raorto di affinità ed è uguale a: si dice diretta; se k<0 l'affinità si dice inversa) trasformano cerchi o ellissi in cerchi o ellissi trasformano arabole in arabole, ierboli in ierboli. k = det A, (se k>0 l'affinità Euazione di una affinità con un unto unito nell'origine Sia data l'affinità di euazione = ax+ a1y+ = a1x+ a y+ con det A 0 affinché l'origine O(0, 0) si trasformi in se stesso, deve essere 0= a0+ a1 0+ 0= a10+ a0+ ovvero = 0 = 0 Quindi, le euazioni di una generica affinità avente come unto unito l'origine sono = ax+ a1y = a1x+ a y con det A 0 Caso articolare di affinità è la similitudine. Casi articolari della similitudine sono: l'omotetia, la dilatazione, le isometrie dirette e inverse (simmetrie centrali, traslazione, rotazione,simmetrie assiali).

3 Similitudine Definizione - Si chiama similitudine iana una corrisondenza biunivoca ϕ di R in se stesso in modo che A' B ' = k AB (1) essendo k un numero reale ositivo. In una similitudine il raorto fra le misure di segmenti corrisondenti è costante. La costante k > 0 rende il nome di raorto di similitudine. Per determinare le condizioni analitiche cui devono soddisfare i coefficienti dell'affinità = ax+ a1y+ = a1x+ a y+ () affinché si verifichi la (1), consideriamo due unti A( x1, y1); B( x, y ) e i loro corrisondenti A'( x' 1, y' 1); B'( x', y ' ), che er l'affinità () hanno coordinate A'( a x + a y + ; a x + a y + ) B'( a x + a y +, a x + a y + ) 1 1 Essendo AB= ( x x ) + ( y y ) avremo: 1 1 [ ] [ ] A' B' = a ( x x ) + a ( y y ) + a ( x x ) + a ( y y ) = = a ( x x ) + a a ( x x )( y y ) + a ( y y ) + a ( x x ) a a ( x x )( y y ) + a ( y y ) = = ( a + a1)( x x1) + ( aa1 + a1a)( x x1)( y y1) + ( a1 + a )( y y1) Affinché sia valida la (1) deve essere ( x' x') + ( y' y') = k ( x x ) + ( y y ) ossia 1 1 k ( x x ) + ( y y ) = = ( a + a )( x x ) + ( a a + a a )( x x )( y y ) + ( a + a )( y y ) e, confrontando i termini dell'uguaglianza, si ottiene il sistema: a + a1 = k aa + a1a = 0 a1 + a = k

4 ed essendo a + a = k segue che: 1 a a + a = ka da cui si ricava: ( ) a = a oure a1 = a1 Tenendo conto delle relazioni trovate, la seconda euazione del sistema uò scriversi aa1 + a1a = 0 cioè a1( a + a ) = 0 a = a oure aa1 a1a = 0 cioè a1( a a) = 0 a = a In conclusione si ha: (a1 = a1 ) ( a = a ) (a1 = a1 ) ( a = a ) Nel rimo caso le euazioni della () divengono = ax+ a1y+ = a1 x ay+ con det A= ( a + a ) = k 1 Nel secondo caso le euazioni della () divengono = ax 1 y+ = a1x+ ay+ con det A= a + a1 = k e raorto di similitudine k = a + a 1 uguale alla radice uadrata del raorto di affinità k = det A Il unto unito della trasformazione si dice centro di similitudine. Omotetia Definizione 1 Si chiama omotetia di centro C( x0, y0 ) ogni trasformazione biunivoca del iano in se in cui due unti corrisondenti P e P' sono allineati con il centro C in modo che il raorto tra i segmenti orientati CP' e CP sia uguale a k 0. La trasformazione associa uindi ad ogni unto Pxy (, ) il unto P'( x', y') allineato con C, tale che sia k il raorto fra i segmenti orientati

5 uuur CP' k = uuur CP P' y' P' P y P C y 0 C C 1 P 1 P' 1 x 0 x X Per il Teorema di Talete, si ha x x0 y y0 = = k x' x0 y' y0 er cui si ha x0 = k( x x0) y0 = k( y y0) e uindi = kx+ x0( 1 k) (1) = ky+ y0( 1 k) con det A k 0 = = k 0 k Il unto C( x0, y0 ) è il unto unito della trasformazione e si chiama centro dell'omotetia; ogni retta assante er C viene trasformata in se stessa: è erciò una retta unita. Teorema - Ogni omotetia è una similitudine di raorto k ; se k > 1 si ha una dilatazione; se 0 < k < 1 si ha una contrazione se k = 1 si ha l'identità se k = -1 si ha la simmetria centrale di centro C. Si dimostra che il raorto fra le aree di due figure corrisondenti F e F' è uguale al uadrato della costante di omotetia.

6 Definizione - L'omotetia (1) si dice concorde o diretta se k R +. Essa trasforma un segmento PQ nel segmento P'Q' arallelo ed euiverso al rimo. Q Q' C P P' Definizione 3 - L'omotetia (1) si dice discorde o inversa se k R Essa trasforma un segmento PQ nel segmento P'Q' arallelo e di verso oosto a PQ Q P' C P Q' Se il centro dell'omotetia è l'origine, la trasformazione ha euazioni = kx = ky () che trasformano un unto Pxy (, ) nel unto P'( kx, ky) e ai unti (1, 0) e (0, 1) corrisondono i unti (k, 0) e (0, k ) er cui le () raresentano un cambiamento di unità di misura er i segmenti del iano se k è ositivo; se k è negativo raresentano anche un cambiamento del senso ositivo degli assi del sistema. (vedi dilatazioni). Dilatazioni Sono articolari affinità che hanno gli assi coordinati e l'origine uniti. Definizione - Si dice dilatazione un'affinità di euazioni

7 = x = y con, R -{0} ( 1 ) Questa terminologia è dovuta al fatto che tali trasformazioni non mantengono invariate le distanze, er cui se P e P', Q e Q' sono coie di unti corrisondenti, si ha: PQ PQ ' ' Nel rimo caso la dilatazione determina un allungamento del segmento PQ, nel secondo caso rovoca una contrazione di PQ. Se nella (1) è = 1e 1 si ha una dilatazione orizzontale, iù recisamente, se > 1 si ha una dilatazione concorde o discorde secondo che risulti > 1o< 1. Se < 1 si ha una contrazione concorde o discorde secondo che ], [ o > ] 1, 0 [ > 0 1 Se nella (1) = 1 e 1 si ha una dilatazione verticale se > 1 una contrazione se < 1. Una trasformazione di euazioni = kx+ a = ky+ b = D k con a e b non entrambi nulli raresenta una dilatazione in cui l'unico unto unito è C che è il centro della dilatazione. In articolare, se k = 1 si ha: = x+ a D = 1 che raresenta una traslazione. = y+ b Rotomotetie Definizione 4 - Si chiama rotomotetia di centro O, di angolo α e costante k 0, la trasformazione del iano in se di euazioni = k( xcosα ysen α) = k( xsenα + ycos α) (3) Se k = 1 si ha una rotazione di amiezza α, mentre se α = 0 non si ha un'omotetia. La (3) si uò ensare uindi come la trasformazione che muta un segmento PQ nel segmento corrisondente P'Q' che risetto al rimo risulta ruotato di un angolo α e k volte dilatato.

8 Isometrie Si chiama isometria una trasformazione del iano in sé che conserva le distanze, ossia se P'Q' è il segmento corrisondente di PQ nella trasformazione, si ha PQ= PQ ' ' PQ, R er cui un'isometria è una articolare similitudine di raorto k = 1. Poiché un'isometria conserva anche gli angoli essa è individuata dalle euazioni = ax a1y+ = a1x+ ay+ o = xcosα ysenα + = xsenα + ycosα + con det A = 1, detta anche isometria diretta o concorde, oure = ax+ a1y+ = a1 x ay+ o = xcosα + ysenα + = xsenα ycosα + con det A = - 1, detta anche isometria inversa o discorde. Le isometrie, ovvero uelle articolari trasformazioni biunivoche del iano in sé che conservano le distanze e gli angoli, si classificano in identità traslazioni rotazioni rototraslazioni simmetrie centrali e assiali Identità L'dentità ha euazioni = x = y nell'identità tutti i unti sono uniti. Traslazione Dicesi traslazione ogni isometria diretta nella uale se A' e B' sono i corrisondenti di due unti ualsiasi A e B, risettivamente si ha AA' = BB ' Le euazioni sono ertanto

9 = x+ = y+ Nella traslazione, che non sia l'identità, non vi sono unti uniti. Traslazione di un vettore ( ai+ bj). Questa orta l'origine nel unto O' (a, b), con i e j versori degli assi. Se a = 0 o b = 0 la traslazione è risettivamente verticale o orizzontale. y Y b O' X O a x Rotazione Si dice rotazione di centro O e di amiezza β, la corrisondenza biunivoca che ad O associa O stesso e ad ogni unto P R associa P' R in modo che OP = OP ' e l'angolo orientato POP' sia congruente e concorde a β. Le euazioni della rotazione attorno all'origine sono = xcosα ysenα rotazione diretta = xsenα + ycosα oure = xcosα + ysenα = xsenα ycosα rotazione inversa Nella rotazione il unto O è unto unito. Se α = 180 si ha la simmetria centrale risetto ad O(0, 0) di euazioni

10 = x = y Seα = 0 si ha x = x' e y = y' che raresentano la trasformazione identica I, in cui ogni unto del iano è unto unito. Rototraslazione Per determinare le coordinate del unto P(x, y) risetto ad un nuovo sistema di riferimento O' X Y rototraslato risetto ad O x y, faremo uso delle formule: x = X cosα Ysenα + a y = X senα + Ycosα + b e, viceversa X = ( x a) cos α + ( y b) senα Y = ( x a) sen α + ( y b) cosα che si ottengono dalla comosizione dei casi recedenti. y Y P N M X O' α O H K x