Corso di Idraulica Agraria ed Impianti Irrigui

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1 Corso di Idraulica Agraria ed Impianti Irrigui Docente: Ing. Demetrio Antonio Zema Lezione n. 7: Correnti a superficie libera Anno Accademico Caratteri cinematici ed energetici delle correnti (cenni). Stato critico (cenni). Canali a debole e forte pendenza (cenni). Moto uniforme (cenni).

2 Generalità Una corrente a superficie libera (o a pelo libero) presenta una superficie a contatto con l atmosfera, l sulla quale pertanto la pressione relativa è nulla La superficie libera è dunque isobarica 3 Generalità Sezione trasversale A = area L = larghezza in superficie h = altezza, profondità o tirante idrico 4

3 Formula di Chezy Si definisce raggio idraulico della generica sezione il rapporto: R = A C dove: R = raggio idraulico A = area della sezione C = contorno bagnato 5 Generalità Sezione longitudinale Si distinguono: la linea del fondo la linea o profilo della superficie libera 6

4 Generalità Ipotesi: 1) corrente lineare le traiettorie sono sensibilmente rettilinee e parallele 7 Generalità ) pendenza del fondo piccola il tirante idrico (ortogonale alla linea di fondo) ) si può confondere con la verticale Ad esempio per α = (i = tg 10 = = 17.6%) risulta cos α

5 Generalità Se si verificano le ipotesi 1 e, potremo considerare le pressioni variabili con legge idrostatica lungo la normale alla linea di fondo Preso un riferimento coincidente col fondo di una sezione,, risulterà: p z + = h γ 9 Espressione dell'energia specifica Energia specifica o carico totale (H) (rispetto al piano di riferimento z = 0): 0 H = p V z + γ +α g Energia specifica o carico totale riferiti al fondo (E): E V = h + α g 10

6 Espressione dell'energia specifica Introducendo la portata Q: Q E = h + α Q g A In una data sezione, a parità di portata Q, l energia l specifica riferita al fondo E ed il tirante idrico h sono legati matematicamente 11 Espressione dell'energia specifica E = h + α Q g A Studio qualitativo della funzione E = f(h),, per Q fissata e costante: per h 0 A 0 E per h Q /ga 0 E h 1

7 Stato critico Stato critico: minima energia specifica E rispetto al fondo con cui una fissata portata Q può transitare in una data sezione energia critica (E( c ) altezza critica o tirante critico (h( c ) velocità critica (V( c ) 13 Correnti lente e veloci Le correnti con h > h c si dicono correnti lente ; ; esse hanno V < V c Le correnti con h < h c si dicono correnti veloci ; ; esse hanno V > V c 14

8 Correnti lente e veloci Una corrente idrica di generica energia specifica E e fissata portata Q può transitare in condizioni di corrente lenta o di corrente veloce 15 Scala delle portate Sotto altro approccio, possiamo ricavare il tirante idrico h in funzione dell energia energia specifica E e della portata Q: Q h = E α Q g A In una data sezione, a parità di energia specifica E, il tirante idrico h e la portata Q sono legati matematicamente Tale relazione ed il corrispondente grafico denominati scala delle portate sono 16

9 Scala delle portate h = E α Q g A Q = A g α ( E h) Studio qualitativo della funzione h = f(q),, per E fissata e costante: per h = 0 A = 0 Q = 0 per h = E Q = 0 17 Portata critica Stato critico: massima portata Q che può transitare in una sezione con una data energia specifica E portata critica (Q( c ) altezza critica o tirante critico (h( c ) velocità critica (V( c ) 18

10 Portata critica Le correnti con h > h c si dicono correnti lente ; ; esse hanno V < V c Le correnti con h < h c si dicono correnti veloci ; ; esse hanno V > V c 19 Portata critica Una corrente idrica di generica portata Q e fissata energia specifica E può transitare in condizioni di corrente lenta o di corrente veloce 0

11 Portata critica Esiste, dunque, una relazione univoca tra una fissata portata Q e l altezza critica h c, che dipende dalla forma della sezione trasversale,, ma non dalle altre caratteristiche idrauliche del canale 1 Espressione dell'energia critica nella sezione rettangolare Se ci riferiamo ad una sezione rettangolare di larghezza L, l energia l specifica rispetto al fondo è,, se poniamo α = 1: 1 E = h + Q g L h La minima energia E c si trova ponendo: da cui: Q h + h g L h = 0 E h = 0 Q g L h 1 3 = 0

12 Espressione dell'energia critica nella sezione rettangolare Se h c è il valore di h per cui l equazione l è soddisfatta e Q c la corrispondente portata,, si ottiene: h c = 3 Q g L c d altra parte si ha: e sostituendo: Q = g L 3 c h c g L h 3 Qc Qc c V c = = = = A Lhc Lhc g h c 3 Espressione dell'energia critica nella sezione rettangolare da cui: E c = h c Vc + g = h c + 1 h c = 3 h c In una corrente a superficie libera con sezione rettangolare l'energia critica è pari a 3/ dell altezza critica 4

13 Il moto uniforme di una corrente a superficie libera Nel moto uniforme la corrente presenta in tutte le sezioni la stessa velocità,, lo stesso tirante idrico e la stessa area della sezione Segue da ciò che nel n moto uniforme la cadente piezometrica coincide con la pendenza del fondo i = J Anche la linea dei carichi totali sarà parallela al fondo 5 Canali a pendenza critica e a debole/forte pendenza Fissata la portata Q e calcolati il tirante idrico di moto uniforme h 0 (con la formula di Chezy,, cfr. infra) e il tirante critico h c (con le formule precedenti), se risulta: h 0 > h c si dice che il moto uniforme è in corrente lenta Se invece risulta: h 0 < h c si dice che il moto uniforme è in corrente veloce 6

14 Canali a pendenza critica e a debole/forte pendenza Definiamo canali a a pendenza critica (i c ) quelli in cui il tirante di moto uniforme h 0 coincide con l altezza critica h c i = i c = 7 Canali a pendenza critica e a debole/forte pendenza Se risulta: i < i c definiamo il canale a a debole pendenza uniforme si svolge in corrente lenta h 0 > h c il moto 8

15 Canali a pendenza critica e a debole/forte pendenza Se risulta: i > i c definiamo il canale a a forte pendenza il moto uniforme si svolge in corrente veloce h 0 < h c 9 Verifica e progetto dei canali in condizioni di moto uniforme 30

16 La formula di Chezy Il dimensionamento e la verifica dei canali in cui la corrente si muove di moto uniforme si basano sulla formula di Chezy,, valida per il regime di moto puramente turbolento v = C R J = C R i C è un coefficiente di velocità (o o di scabrezza) γ, m, k e n sono indici di scabrezza (tabellati nei manuali in funzione della tipologia del materiale) 31 Altre formule di moto uniforme Formula di Gauckler-Strickler v = k R 3 i J 1 1 R n Formula di Manning 3 1 k ha dimensioni [L 1/3 T -1 ] n ha dimensioni [L [L -1/3 T] v = i J 3

17 Indici di scabrezza 33 Verifica dei canali Data la forma e le dimensioni della sezione trasversale di un canale di nota scabrezza e pendenza i, determinare la portata Q corrispondente ad un assegnato tirante idrico di moto uniforme h 0 34

18 Verifica dei canali Abbiamo visto che esiste una relazione univoca fra il tirante idrico di moto uniforme h 0 e la portata Q, data ad esempio dalla formula di Chezy Q = AV = Aχ Ri = A h ) ( h ) R( h ) i ( 0 χ 0 0 Tale equazione ed il corrispondente grafico sono denominati scala delle portate di moto uniforme 35 Verifica dei canali In generale tale relazione ha espressione esponenziale, del tipo: b Q = a h0 36

19 Verifica dei canali 37 Verifica dei canali Sezione rettangolare Se si sceglie la formula di Chézy zy, per la sezione rettangolare si ha: Q = A χ R i 38

20 Verifica dei canali essendo: Q = VA si ha: A = Lh 0 R = A/ C = Lh0 0 Q Lh χ L + h i 0 1/ = Lh0 L + h 0 39 Verifica dei canali Data la forma e le dimensioni della sezione trasversale di un canale di nota scabrezza e pendenza i, i determinare il tirante idrico h 0 relativo alla corrente di moto uniforme di assegnata portata Q 0 La soluzione del problema necessita il ricorso ancora alla formula di Chezy,, che tuttavia non può essere risolta immediatamente rispetto al tirante idrico h 40

21 Verifica dei canali Si procede: analiticamente per tentativi, cercando il valore di h 0 che risolve l equazione l per portata Q 0 assegnata (anche con l ausilio l del foglio elettronico Microsoft Excel ) Q = AV = Aχ Ri = A h ) ( h ) R( h ) i 0 ( 0 χ Verifica dei canali graficamente costruendo la scala delle portate di moto uniforme h 0 Q 0 4

22 Progetto dei canali Consiste nello stabilire le dimensioni (nel caso di sezione rettangolare l altezza l h e la larghezza L) da assegnare alla sezione del canale, affinché sia in grado di convogliare, per assegnati valori della pendenza i e della scabrezza,, la corrente di assegnata portata Q Il ricorso alla sola formula di Chezy rende il problema analiticamente indeterminato, dato che il numero delle incognite è almeno pari a due (nel( caso di sezione rettangolare le due dimensioni della sezione L ed h) Q = AV = Aχ Ri = A h ) ( h ) R( h ) i ( 0 χ 0 0 E necessario pertanto adottare un ulteriore criterio di progettazione che riduca il numero delle variabili incognite 43 Bisogna inoltre prevedere la presenza di un opportuno franco (zona di sicurezza non occupata dall acqua) acqua) Per tenere conto del grado di incertezza nel dimensionamento (es. coefficiente di scabrezza, presenza di vegetazione, ecc.), al tirante massimo di esercizio risultante dal calcolo - h = f (Q) - si aggiunge il franco (f), variabile in funzione del tipo di canale e del suo impiego Indicativamente: Progetto dei canali piccole canalette di distribuzione f = 0,10 0,0 m piccoli canali non rivestiti f = 0,5 0,50 m grossi canali di adduzione f > 0,5 m 44

23 Progetto dei canali 1 criterio di progettazione: minimizzazione delle resistenze al moto Dal punto di vista idraulico è possibile definire sezioni di minima resistenza,, ossia le sezioni che, a parità di area,, hanno il massimo raggio idraulico (R = A/C), ossia il minimo contorno bagnato (C) 45 Progetto dei canali 1 criterio di progettazione: minimizzazione delle resistenze al moto sezione rettangolare la sezione di minima resistenza presenta L = h sezione trapezia la sezione di minima resistenza è il semiesagono regolare (s = 0.577) circoscritto ad un semicerchio (raramente possibile nei casi reali) 46

24 Progetto dei canali criterio di progettazione: minimizzazione dei costi di costruzione In genere esistono vincoli progettuali sulla larghezza di fondo,, per ragioni economiche: il costo di scavo è funzione della profondità il costo del terreno è funzione della superficie Minima larghezza/altezza compatibile con la funzionalità del canale 47 Progetto dei canali 3 criterio di progettazione: limiti alla velocità media della corrente Ridotte velocità originerebbero fenomeni di sedimentazione con interrimento, ostruzione e parzializzazione della sezione idrica il valore minimo della velocità media per evitare eccessiva sedimentazione è m/s Eccessive velocità della corrente potrebbero condurre nei canali in terra a fenomeni di erosione del fondo e delle sponde 48

25 Progetto dei canali 3 criterio di progettazione: limiti alla velocità media della corrente Valori massimi della velocità media della corrente idrica che evita il verificarsi di fenomeni di erosione del canale 49 Progetto dei canali 3 criterio di progettazione: limiti alla velocità media della corrente Talvolta, per non avere velocità eccessive,, si devono adottare pendenze minori di quella del terreno si realizzano discontinuità nella pendenza del canale con riduzioni di quota localizzate ( salti( di fondo ) 50

26 Progetto dei canali Se si utilizzano il 1 ed il criterio di progettazione, procedendo per tentativi,, per ogni tirante idrico h ipotizzato si calcola la corrispondente portata Q con la formula di Chezy Q = AV = Aχ Ri = A h ) ( h ) R( h ) i ( 0 χ 0 0 Il canale avrà l altezza pari al tirante idrico h 0 (+ il franco f) f cui corrisponde la portata assegnata di progetto Q 0 51 Se si utilizza il 3 criterio di progettazione,, si fissa il valore massimo della velocità media della corrente V a, che consente la conservazione del materiale del canale in terra Dato che: si ha: Progetto dei canali Q = A V a A = Q/V a 5

27 Progetto dei canali Ipotizzando, per semplicità,, una sezione di forma rettangolare: A = L h ed, essendo per il criterio di minima resistenza L = h, h si ha: A = h da cui: h = A = Q V a 53 Progetto dei canali Dal valore trovato del tirante h, si calcola L = h e quindi il raggio idraulico R: R L h h R = = = L + h 4h h Applicando una delle note formule per il calcolo del coefficiente di scabrezza χ,, con la formula di Chezy, si verifica il valore della velocità media V I V I = Aχ R i 54

28 Progetto dei canali Se la differenza percentuale % tra il valore V I appena determinato ed il valore V a ipotizzato è inferiore al 10%, il tirante idrico h calcolato (Q/V a ) 1/ viene assunto (aggiungendovi il franco) quale altezza del canale I V Va % = 100 < 10% V a In caso contrario, si fissa un valore di secondo tentativo V II, finchè % fra la velocità media calcolata e quella ipotizzata V a diviene inferiore al 10% V II V = I + V a 55 Profili di moto permanente (cenni). Tracciamento dei profili in canali cilindrici (cenni). Il risalto idraulico. 56

29 Il moto permanente in correnti a superficie libera Nel moto permanente la portata deve restare costante in tutte le sezioni secondo l equazione l di continuità: Q = AV = 1 1 AV Lungo l'ascissa s può variare l area e quindi la velocità ed il tirante idrico; ; la superficie libera della corrente, in una sezione longitudinale, presenterà quindi un profilo non parallelo al fondo,, detto profilo di moto permanente 57 Il moto permanente in correnti a superficie libera Date la portata Q e la sezione di area A, si può valutare l altezza critica h c Date, inoltre, la pendenza i e la scabrezza del canale, si può valutare il tirante di moto uniforme h 0 Si potrà stabilire quindi se il canale è a debole o a forte pendenza 58

30 Profili di corrente in canale a debole pendenza Il tirante di moto uniforme h 0 è superiore all altezza altezza critica h c TRE PROFILI Profilo al di sopra del tirante di moto uniforme Profilo compreso tra l altezza l critica e il tirante di moto uniforme Profilo compreso tra il fondo e l altezza l critica 59 Profili di corrente in canale a debole pendenza Il moto uniforme viene raggiunto all infinito a monte Allo stato critico si tende sempre verso valle 60

31 Profili di corrente in canale a debole pendenza Originata in una sezione qualsiasi di una corrente lenta una perturbazione,, che determina lo scostamento dal regime di moto uniforme, può risalire lungo il canale verso l infinito l a monte le correnti lente vengono governate da valle I profili di corrente lenta devono essere tracciati da valle verso monte 61 Profili di corrente in canale a forte pendenza Il tirante di moto uniforme h 0 è inferiore all altezza altezza critica h c TRE PROFILI Profilo al di sopra dell altezza critica Profilo compreso tra l altezza l critica ed il tirante di moto uniforme Profilo compreso tra il fondo ed il tirante di moto uniforme 6

32 Profili di corrente in canale a forte pendenza Il moto uniforme viene raggiunto all infinito a valle Allo stato critico si tende sempre verso monte 63 Profili di corrente in canale a forte pendenza Originata in una sezione qualsiasi di una corrente veloce una perturbazione,, che determina lo scostamento dal regime di moto uniforme, deve necessariamente propagarsi verso valle le correnti veloci vengono governate da monte I profili di corrente veloce vengono tracciati da monte verso valle 64

33 Profili di corrente in canale a debole/forte pendenza Canale a debole pendenza Canale a forte pendenza Dei sei profili quattro corrispondono a correnti ritardate, due a correnti accelerate: : questi ultimi si svolgono nell intervallo di altezze comprese fra quella critica e quella di moto uniforme,, qualunque sia la pendenza del canale 65 Trasformazione di una corrente lenta in una corrente veloce e viceversa Una corrente lenta può trasformarsi in corrente veloce senza discontinuità,, passando per lo stato critico Ciò avviene per l unico l profilo di corrente lenta accelerata (D),, che termina con lo stato critico e per l unico l profilo di corrente veloce che parte dallo stato critico (F) 66

34 Trasformazione di una corrente lenta in una corrente veloce e viceversa Deve esserci una causa perturbatrice che faccia localizzare lo stato critico in una determinata sezione (a( valle del tratto di corrente lenta ed a monte del tratto di corrente veloce), che si localizza in corrispondenza di un cambio di pendenza del canale 67 Trasformazione di una corrente lenta in una corrente veloce e viceversa A differenza del caso precedente, il profilo D3 (corrente veloce in canale a debole pendenza) deve essere determinato da una perturbazione a monte Il profilo F1 (corrente lenta in canale a forte pendenza) deve essere determinato da una perturbazione a valle 68

35 Trasformazione di una corrente lenta in una corrente veloce e viceversa Nei casi reali non si verifica mai che possano coesistere un cambio di pendenza e due cause perturbatrici poste nella esatta posizione tale che lo stato critico si trovi esattamente nella sezione in cui cambia la pendenza La trasformazione di una corrente veloce in corrente lenta non avviene mai con continuità con un passaggio per lo stato critico 69 Il risalto idraulico M 1 Π 1 G senα G Π α -M La trasformazione di una corrente veloce in corrente lenta avviene attraverso un fenomeno noto come risalto idraulico o salto di Bidone 70

36 Il risalto idraulico M 1 Π 1 G senα G Π α -M Il fenomeno si presenta come un vortice ad asse orizzontale con rilevante dissipazione di energia,, che si sviluppa in un tronco di canale in cui: a monte si trova un profilo di corrente veloce (D3 se è i < i c, oppure F o F3 se è i > i c ) a valle si trova un un profilo di corrente lenta (D1 o D se è i < i c, F1 se è i > i c ) 71 Il risalto idraulico M 1 Π 1 α -M G senα G Π La somma della spinta idrostatica Π e della spinta idrodinamica M è detta spinta totale della corrente (S): S = Π + M 7

37 Il risalto idraulico M 1 Π 1 G senα G Π α -M L equazione globale dell idrodinamica evidenzia che nelle sezioni 1 e : S = Π 1 + M 1 = Π + M In particolare, per la sezione rettangolare si ha: S = 1 ρq γ h L + Lh 73 Il risalto idraulico Π = f(h) M = f(h) Si può studiare la funzione S(h): per h 0 Π 0 e M (V ) S(h) per h Π em 0 (V 0) S(h) La funzione S(h) avrà allora un minimo per h = h c 74

38 Il risalto idraulico Il diagramma delle spinte totali S viene perciò diviso in due rami: quello delle correnti lente (h > h c ) e quello delle correnti veloci (h < h c ) Esistono sempre due altezze, una di corrente lenta h 1 e una di corrente veloce h, che presentano la stessa spinta totale assegnata S; esse si dicono altezze coniugate del risalto 75 Il risalto idraulico Il risalto si localizza nella sezione in cui è soddisfatta l equazione globale dell idrodinamica idrodinamica,, cioè dove si ha: S(h 1 ) = S(h ) 76

39 Applicazioni 77 Passaggio sotto una paratoia in un canale a debole pendenza a valle Allo sbocco si forma l altezza critica k Procedendo dallo sbocco verso monte, si trova un profilo di corrente lenta accelerata (D),, che tenderebbe a raggiungere il moto uniforme all infinito a monte 78

40 Passaggio sotto una paratoia in un canale a debole pendenza a valle Immediatamente a valle della paratoia si realizza un profilo di corrente veloce ritardata (D3),, che si raccorda con un risalto idraulico al profilo di corrente lenta (D) A monte della paratoia si realizza un profilo di corrente lenta ritardata (D1) 79 Passaggio sotto una paratoia in un canale a forte pendenza a valle A monte della paratoia si forma un profilo di corrente lenta in canale a forte pendenza (F1) 80

41 Passaggio sotto una paratoia in un canale a forte pendenza a valle A valle della paratoia si realizza un profilo di corrente veloce, ritardata (F3) o accelerata (F), a seconda che l apertura l a risulti minore o maggiore di h 0 81 Passaggio su una soglia La corrente sia lineare in una sezione a monte della soglia (1) e in una sezione sulla soglia () Inoltre consideriamo nulla la perdita di energia in prossimità della soglia 8

42 Passaggio su una soglia Per il teorema di Bernoulli applicato tra le sezioni 1 e, avremo: V1 V h1 = a + h + g g + E 1 a = E Nella sezione si ha un energia rispetto al fondo minore rispetto alla sezione 1 83 Passaggio su una soglia Se la corrente a monte è veloce,, il tirante idrico sulla soglia è maggiore di quello a monte (h > h 1 ) Se invece la corrente a monte è lenta,, il tirante sulla soglia è minore di quello a monte (h < h 1 ) La corrente lenta si deprime La corrente veloce si solleva 84

43 Passaggio su una soglia Se però la soglia è abbastanza alta,, quando ci si abbassa di a dal punto (E 1, h 1 ) relativo alla corrente a monte della soglia, è possibile che risulti: E - a < E c 85 Passaggio su una soglia In questo caso la corrente non può transitare sulla soglia nelle condizioni previste: essa infatti non possiede l energia minima necessaria,, che dovrà guadagnare aumentando il suo livello a monte 86

44 Passaggio su una soglia Poiché la soglia agisce controllando la corrente,, essa a monte della soglia dovrà essere lenta La corrente si troverà allo stato critico sulla soglia stessa e con energia E = a + E c immediatamente a monte di essa 87 Passaggio su una soglia In un canale a debole pendenza (h 0 > h c ), si avrà: a monte della soglia un profilo di corrente lenta ritardata (D1) con h m > h 0, che si raccorda all infinito verso monte al moto uniforme a valle della soglia un profilo di corrente veloce ritardata (D3) con h v < h c < h 0, che si raccorda all infinito verso valle al moto uniforme mediante un risalto idraulico 88

45 Applicazioni Passaggio su una soglia In un canale a forte pendenza (h 0 < h c ), si avrà: a monte della soglia un profilo di corrente lenta ritardata (F1) con h m > h c > h 0, che si raccorda all infinito verso monte al moto uniforme con un risalto idraulico a valle della soglia un profilo di corrente veloce ritardata (F3) se h v < h 0 o veloce accelerata (F) se h v > h 0, che si raccordano all infinito verso valle al moto uniforme 89