L'equilibrio di Hardy-Weinberg

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1 L'equilibrio di Hardy-Weinberg Questo documento è pubblicato sotto licenza Creative Commons Attribuzione Non commerciale Condividi allo stesso modo

2 Un sistema tetra-allelico Il secondo locus tabulato da Das et al. è l alfa-1-antitripsina, per il quale sono stati individuati 4 alleli (*M1, *M2, *M3, e *S). L elenco dei genotipi osservati comprende 10 genotipi diversi, dei quali però vediamo che molti hanno frequenza osservata = 0 (alcuni anche negli altri campioni non mostrati). Perchè riportare questi genotipi in tabella, se sono irrilevanti ai fini del calcolo delle frequenze alleliche?

3 Numero di alleli e numero di genotipi Il motivo è che se vi sono quattro alleli nella popolazione, sono possibili in linea di principio tutte le loro combinazioni, anche quelle così rare che magari non si trovano in campioni di dimensioni limitate. Quindi è utile mostrare l'elenco di tutti i genotipi possibili. Poichè non possiamo distinguere i genotipi in base all ordine dei due alleli (M1-M2 è identico a M2-M1), la regola generale che dà il numero totale (G) dei possibili genotipi dati m alleli è G = m(m + 1)/2 Quindi ad esempio con 4 alleli sono possibili 10 genotipi, con 10 alleli sono possibili 55 genotipi, con 15 alleli sono possibili 120 genotipi, ecc.

4 Frequenze genotipiche attese Se la frequenza di un certo allele è piccola, è del tutto intuitivo che i genotipi in cui compare quell allele siano anch essi alquanto rari. Almeno questo è ciò che ci attendiamo. Ma quanto rari? Come facciamo a calcolare il valore atteso di una frequenza genotipica, date le frequenze alleliche? In generale, come sono connesse le frequenze alleliche alle frequenze genotipiche? La risposta a questa domanda fu fornita indipendentemente da due studiosi nel 1908; da loro ha preso il nome la cosiddetta legge di Hardy-Weinberg

5 Formazione degli zigoti per unione casuale dei gameti Immaginiamo che tutti i gameti maschili e femminili prodotti da una certa popolazione al momento della riproduzione costituiscano due enormi insiemi separati, in pratica due urne dalle quali possiamo pescare a caso. Consideriamo un locus diallelico, per il quale le frequenze dei due alleli A 1 e A 2 sono rispettivamente p e q (= 1 p), uguali nei due sessi. Immaginiamo quindi di prelevare a caso un gamete dall urna maschile e un'altro dall'urna femminile, e formiamo il genotipo dello zigote; abbiamo a quattro possibilità: A 1 A 1, A 1 A 2, A 2 A 1, e A 2 A 2.

6 Probabilità dei genotipi degli zigoti Con che probabilità otteniamo tali genotipi? Trattandosi di eventi indipendenti dobbiamo semplicemente moltiplicare fra loro le probabilità delle diverse estrazioni, per cui troviamo che Pr(A 1 A 1 ) = p x p = p 2, Pr(A 1 A 2 ) = p x q, Pr(A 2 A 1 ) = q x p, e Pr(A 2 A 2 ) = q 2.

7 La legge di Hardy-Weinberg Possiamo raffigurare il processo della formazione di uno zigote mediante un diagramma di Punnett,, in cui le frequenze alleliche sono rappresentate dalla lunghezza di un segmento su due assi cartesiani di lunghezza 1, così che la frequenza di ciascun genotipo è rappresentata dal prodotto di due frequenze, cioè dall'area di un quadrilatero. Poichè non possiamo distinguere il genotipo A 1 A 2, da A 2 A 1, diventa ovvio che le frequenze attese dei genotipi A 1 A 1, A 1 A 2 e A 2 A 1 in una popolazione con frequenze alleliche p e q sono rispettivamente p 2, 2pq e q 2. Questa è la legge di Hardy-Weinberg

8 Legge di Hardy-Weinberg per loci multiallelici L estensione della legge di HW a loci multiallelici è ovvia. Per un locus con tre alleli (es. A, B, C), si possono avere sei diversi genotipi (AA, AB, AC, BB, BC, CC), con quattro alleli 10 genotipi (AA, AB, AC, AD, BB, BC,..., DD), ecc. In generale quindi la legge di Hardy-Weiberg può essere formulata come segue: Dato il polinomio delle frequenze alleliche (p 1 + p 2, +..., + p m ) = 1, la distribuzione delle frequenze genotipiche attese è data dallo sviluppo del suo quadrato: (p 1 + p 2, +..., + p m ) 2 2 = p 1 + 2p 1 p p p m = 1

9 Numerosità genotipiche osservate e attese La legge di HW è formulata nei termini di frequenze relative, cioè riportate a somma 1. Poichè però noi partiamo da campioni di numerosità arbitraria, vogliamo in genere esprimere le frequenze genotipiche attese sulla stessa scala delle frequenze osservate. Per ottenere questo basta semplicemente moltiplicare le frequenze genotipiche attese (relative) per il totale del campione osservato (n);( in tal modo possiamo confrontare direttamente le numerosità attese e osservate di ciascun genotipo, e valutare criticamente se esse consistono. Chiamando E{. } il valore atteso di una data quantità abbiamo che E{ f ii } = n p 2 i, e E{ f ij } = 2n p i p j. Si può facilmente verificare che le quantità che compaiono nelle colonne Exp. No. di Das et al. sono state effettivamente calcolate moltiplicando il quadrato del polinomio delle frequenze alleliche per la numerosità dei campioni.

10 Calcolo delle frequenze genotipiche attese = x 38 = 2 x x x 38 = x 38 = 2 x x x 38 = 2 x x x 38 = x 38

11 Legge di Hardy-Weinberg per loci ipervariabili Un esempio di analisi di frequenze alleliche osservate e attese per un locus ipervariabile si trova nell articolo di Tie et al.: Il lavoro di Tie è volto a validare un particolare marcatore, denominato D2S1242, per l uso in medicina legale. Questo locus è un tipico microsatellite, o short tandem repeat (STR, corta sequenza ripetuta in tandem), costituito da un segmento di quattro basi ripetuto molte volte, variabile da allele ad allele. Tale struttura fa sì che i tassi di mutazione per l acquisizione o la perdita di una unità di ripetizione siano piuttosto alti, e ciò determina in genere una elevata variabilità genetica nelle popolazioni di questo tipo di loci.

12 Frequenze alleliche di un microsatellite (o STR)

13 Genotype Obs. Exp. Tie Exp. true others Frequenze osservate e attese Le numerosità genotipiche osservate e attese al locus D2S1242 in un campione di 213 individui della popolazione cinese sono riportate nella tabella accanto. Vediamo che sono stati individuati 32 genotipi diversi, determinati da 10 alleli; i nomi degli alleli corrispondono per convenzione al numero delle unità ripetute (quindi l allele più corto è di 9 unità e quello più lungo di 19). Se procediamo al calcolo delle frequenze alleliche e al calcolo delle frequenze genotipiche attesi usando l'equazione di Hardy- Weinberg, troviamo che i calcoli coincidono, tranne che in un caso

14 Un'approssimazione non necessaria Osserviamo in effetti una incongruenza. Con 10 alleli sono possibili 55 genotipi diversi, mentre ne sono stati osservati solo 32; quindi 23 genotipi hanno frequenza osservata 0. Tuttavia la loro frequenza attesa non è nulla. In effetti le numerosità attese dei 32 genotipi sommano esattamente a 208,7, non a 213. Per differenza troviamo quindi che i 23 genotipi con frequenza osservata zero nel campione hanno cumulativamente una frequenza attesa di 4,3, che non è una quantità trascurabile. Nella tabella di Tie et al. questo valore è stato chiaramente aggiunto all atteso del genotipo (il più frequente), una semplificazione arbitraria e non necessaria.

15 Deviazioni dall'equilibrio di Hardy-Weinberg Le frequenze genotipiche attese, calcolate per mezzo della legge di Hardy-Weinberg, differiscono da quelle osservate di una certa quantità, che può essere piccola o grande Ad esempio, per il genotipo 2/IS della popolazione Boro-Deshi di Das et al., il numero osservato (13) è quasi doppio di quello atteso (7,1) Come facciamo a decidere se le frequenze osservate coincidono sostanzialmente con quelle attese, o se ne discostano troppo? Nel secondo caso dovremmo concludere che la legge di Hardy-Weinberg non è vera, o meglio, che la legge non è adatta a rappresentare adeguatamente la realtà La decisione non può che essere adottata sulla base di un ragionamento statistico Il metodo con cui si saggia la bontà dell'accordo fra frequenze genotipiche osservate e attese prende il nome di controllo dell'equilibrio di Hardy-Weinberg

16 Controllo dell'equilibrio di Hardy-Weinberg Una popolazione in cui le frequenze genotipiche rispettano la legge di H-W si dice che è in equilibrio di Hardy-Weinberg Il controllo dell'equilibrio di Hardy-Weinberg si attua in tre passaggi: (1) Si calcolano le frequenze alleliche dalle frequenze genotipiche (2)Si calcolano le frequenze genotipiche attese secondo la legge di H-W (3)Si confrontano le frequenze osservate e attese per mezzo di un test statistico

17 Il test dell'equilibrio di H-W col chi quadro Nel caso di un sistema diallelico il controllo dell'equilibrio di Hardy- Weiberg è particolarmente semplice Genotipi Osservati Attesi Chi quadro AA 84 80,0 0,199 AB 85 93,0 0,684 BB 31 27,0 0,589 Total ,0 1,472 P = 0,22498 Alleli Osservati A 253 B 147 Tot 400 Alleli Frequenze A 0,633 B 0,368 Tot 1,000 Il valore della probabilità ci dice quanto è probabile che l'equilibrio di H- W sia rispettato da questi dati I valori di chi quadro si calcolano come [(oss-att) 2 /att] Il valore finale del chi quadro è la somma di tre valori parziali Il valore di chi quadro si converte in una probabilità con una apposita funzione matematica

18 Le condizioni per l'equilibrio di Hardy-Weinberg (1) Fra le condizioni che devono essere soddisfatte perchè una popolazione si trovi in equilibrio di Hardy-Weinberg sono spesso citate: la grande dimensione della popolazione questo non è corretto: la legge di H-W vale indipendentemente dal numero degli individui che si accoppiano a dalla numerosità della prole; in piccole popolazioni è semplicemente difficile decidere se l'equilibrio è soddisfatto o meno la segregazione mendeliana degli alleli in effetti alterazioni della segregazione (trasmissione anomala degli alleli dal genitore alla prole) sono stati descritti, ma sono fenomeni estremamente rari l'assenza di migrazione la migrazione può alterare l'equilibrio solo se il numero dei migranti è grande e se le frequenze alleliche nei migranti sono diverse da quelle della popolazione di interesse

19 Condizioni per l'equilibrio di Hardy-Weinberg (2) Altre condizioni che vengono spesso citate in relazione all'equilibrio: assenza di mutazione in effetti la mutazione è un fenomeno talmente raro che essa è praticamente irrilevante per l'equilibrio assenza di selezione per l'uno o l'altro dei genotipi osservati la selezione deve essere particolarmente forte per incidere sull'equilibrio che vi sia unione casuale dei gameti questa è la condizione della panmissia, e anche piccoli scostamenti da essa possono provocare deviazioni significative dall'equilibrio

20 Conclusioni Il controllo dell'equilibrio di Hardy-Weinberg è sempre il primo passo di qualunque studio genetico in una qualsiasi popolazione Generalmente ci attendiamo che l'equilibrio sia rispettato Una deviazione significativa dall'equilibrio di un locus particolare può segnalare difetti nelle procedure di genotipizzazione forti fenomeni di selezione deviazioni dall'accoppiamento casuale (deviazione dalla panmissia)