Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada Seconda prova intermedia 12 Febbraio 2015

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1 Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada Seconda prova intermedia 12 Febbraio 2015 Nome e Cognome: Matricola Firma Durata della prova: 1 h e 30 min. Numero di esercizi: 4 Punteggio: il numero di punti è indicato a fianco di ciascun esercizio Consegna: esclusivamente il presente fascicolo, senza fogli di brutta Utilizzare esclusivamente i fogli di brutta/carta semilogaritmica forniti dal docente Unico ausilio permesso: una calcolatrice non programmabile - tutti gli altri dispositivi elettronici vanno messi, spenti, sul banco - non è ovviamente consentito consultare libri,appunti,dispense - Non è consentito scrivere a matita

2 ESERCIZIO 1 punti: 8 su 32 Si consideri un sistema dinamico, con ingresso u(t) e uscita y(t), caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento s + 50 G(s) = 10 s(s + 1)(s + 40) 1. Si dica se il sistema è asintoticamente stabile. 2. Si dica se il sistema è a fase minima. 3. Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase di G(s) negli appositi spazi in scala semilogaritmica in Fig Bode Plot 40 Magnitude (db) Phase (degrees) Frequency - log scale Figure 1: Carta semi-logaritmica per il tracciamento dei diagrammi di Bode dell Esercizio 1 2

3 4. Si calcoli il valore esatto della fase di G(jω) a ω = 5rad/s. 5. Si tracci l andamento qualitativo del diagramma polare di G(s) (Facoltativo: determinare eventuali asintoti e/o intersezioni con gli assi). 3

4 ESERCIZIO 2 punti: 6 su 32 1 Si consideri il sistema retroazionato della Figura 2, dove G(s) = e R(s) = k. ( s)(1 + 8s) 2 w - + e R(s) G(s) y Figure 2: Sistema di controllo con feedback dell Esercizio 2 Applicando il criterio di Nyquist, si calcoli analiticamente per quali valori di k > 0 il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. 4

5 ESERCIZIO 3 punti: 12 su 32 Si consideri il sistema di controllo con feedback negativo di Fig.3, in cui compaiono sia un disturbo di processo d(t) che uno di misura n(t). d w e L(s) + + n y Figure 3: Sistema di controllo con feedback dell Esercizio 3 La funzione di trasferimento d anello è L(s) = 10 s (s + 10) 2 40 Bode Plot 20 Magnitude (db) Phase (degrees) Frequency - log scale Figure 4: Carta semi-logaritmica per il tracciamento dei diagrammi di Bode dell Esercizio 3 1. Si verifichi, mediante il Criterio di Bode, che il sistema di controllo in anello chiuso è asintoticamente stabile. 5

6 2. Posto d(t) = n(t) = 0, t 0, si tracci l andamento qualitativo dell uscita forzata y(t) in anello chiuso con riferimento w(t) = sca(t). Si specifichino, in particolare, il valore finale, il valore iniziale e il tempo di assestamento dell uscita (vanno benissimo anche valori approssimati). 6

7 3. Posto w(t) = n(t) = 0, t 0, si tracci l andamento qualitativo dell uscita forzata y(t) in anello chiuso con disturbo di processo d(t) = sca(t). Si specifichino, in particolare, il valore finale, il valore iniziale e il tempo di assestamento dell uscita (vanno benissimo anche valori approssimati). 4. Si dica, giustificando la risposta, se sistema di controllo amplifica, lascia passare invariato o attenua un disturbo di misura n(t) in ciascuno dei tre seguenti casi: (a) n(t) = sin(10 2 t) (b) n(t) = cos(10 3 t) (c) n(t) = sin(10 3 t) 7

8 ESERCIZIO 4 punti: 3 su 32 Data la funzione di trasferimento W (s) = s, si scrivano i comandi Matlab per calcolare il modulo e la fase della risposta in frequenza, associata a W (s), in corrispondenza della pulsazione ω =

9 DOMANDE -0.25=risposta errata, 0=risposta non data, +0.5=risposta corretta Ogni quesito ha una sola risposta corretta. 1. Quale delle seguenti azioni su un sistema di controllo in retroazione negativa porta certamente ad una riduzione del tempo di assestamento dell uscita? A. Una diminuzione del margine di fase B. I poli dominanti in anello chiuso vengono spostati a sinistra nel piano complesso C. Una diminuzione della pulsazione critica D. I poli dominanti in anello chiuso vengono spostati a destra nel piano complesso 2. Un sistema con ritardo può essere descritto dalla seguente funzione di trasferimento G(s) = e sτ k 1 + sτ p. Per determinare i coefficienti τ, k and τ p, viene calcolata e tracciata (Fig.5) la risposta allo scalino unitario del sistema reale. 1 Step Response Amplitude Time (seconds) Figure 5: Risposta allo scalino Quali sono i valori dei coefficienti τ, k and τ p deducibili dal grafico? A. τ = 0.5, k = 3 e τ p = 0.6 B. τ = 0.1, k = 3 e τ p = 1 C. τ = 0.5, k = 1 e τ p = 4 D. τ = 0.5, k = 1 e τ p = Si consideri un sistema di controllo standard a retroazione negativa per il quale la funzione d anello è L(s) = R(s)G(s). Il margine di guadagno di L(s) è definito come A. k m = L(jω π ) db con ω π : (L(jω π ) = 90 B. k m = 180 (L(jω c )) con ω c : L(jω c = 1 C. k m = L(jω π ) db con ω π : (L(jω π ) = 180 D. k m = L(jω π ) db con ω π : (L(jω π ) = 180 9

10 4. Si consideri un sistema descritto dalla funzione di trasferimento G(s) = 1. Per tale sistema, s + 1 controllato in retroazione negativa con un controllore con solo guadagno proporzionale µ R > 0, possiamo dire che A. aumentando µ R, il sistema in anello chiuso può divenire instabile B. diminuendo µ R, il sistema in anello chiuso può divenire instabile C. aumentando µ R, (fino ad un valore grande a piacere, ma minore di infinito) è possibile annullare l errore a regime con riferimento a scalino D. Aumentando µ R, (fino ad un valore grande a piacere, ma minore di infinito) è possibile diminuire l errore a regime con riferimento a scalino 5. Un controllore PID A. è dato dalla somma di tre azioni di controllo basate sull errore B. è un controllore puramente proporzionale basato sull errore C. può avere un numero qualsiasi di poli e zeri D. è utilizzato molto raramente nelle applicazioni industriali s 6. Un sistema con funzione di trasferimento G(s) = s A. esercita un azione passa-basso con banda passante [0, 100] B. esercita un azione passa-alto con banda passante [100, ) C. esercita un azione passa-alto con banda passante [10, ) D. esercita un azione passa-alto con banda passante [1, ) 10