INDICE. Studio di funzione. Scaricabile su: TEORIA. Campo di esistenza. Intersezione con gli assi
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- Antonella Bertini
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1 P r o f. Gu i d of r a n c h i n i Antprima Antprima Antprima www. l z i o n i. j i md o. c o m
2 Scaricabil su: Studio di funzion INDICE TEORIA Campo di sistnza Intrszion con gli assi Sgno (positività ngatività) Limiti Asintoti Drivata prima (crscnza dcrscnza) Drivata sconda (concavità convssità) Punti di stazionarità (massimi, minimi flssi) ESERCIZI Studio di funzion rapprsntazion grafica Studio di funzion paramtrica rapprsntazion grafica
3 Scaricabil su: Studio di funzion PROCEDURA PER LO STUDIO DI FUNZIONE TEORIA Pr studiar rapprsntar graficamnt ogni funzion dl tipo f ( ) " sprssion contnnt la " bisogna svolgr i sgunti punti:. Campo di sistnza (o dominio) Pr dtrminar il campo di sistnza (o dominio), cioè i valori dll pr i quali la funzion sist, bisogna mttr a sistma una nuova condizion ogni volta ch si trova nlla funzion: dnominator contnnt l incognita: Condizion: tutto l ass ral con prò il dnominator posto divrso da zro radic pari, cioè alla sconda, alla quarta, alla ssta, cc : Condizion: porr il trmin sotto radic maggior o ugual a zro logaritmo: Condizion: porr l'argomnto dl logaritmo maggior di zro S né dnominatori, né radici pari, né logaritmi sono prsnti nlla funzion, il campo di sistnza ' tutto l'ass ral. Tutti i punti dll strmità dl campo di sistnza così trovato sono i punti di discontinuità dlla funzion vanno sgnati sul grafico con un pallino vuoto (o bianco). Intrszioni con gli assi Il possibil punto di intsrzion con l ass y si trova mttndo a sistma la funzion con l quazion. S il sistma dà risultato impossibil la funzion non intrsca l ass y. I possibili punti di intrszion con l ass si trovano mttndo a sistma la funzion col l quazion y. S il sistma dà risultato impossibil la funzion non intrsca l ass. Notar ch ogni funzion può avr solo una intrszion con l ass y, ma più di una con l ass. I punti così ottnuti vanno sgnati sul grafico con un pallino pino (o nro).. Sgno (positività ngatività) Srv pr individuar in quali parti dl piano passra' il grafico dlla funzion. Si dv porr la funzion maggior di zro trovar pr quali valori di ' vrificata: pr tali valori il grafico sara' sopra l'ass dll quindi si canclla la part sotto l ass dll, mntr pr valori divrsi sara' sotto quindi si canclla la part sopra.
4 Scaricabil su: Studio di funzion 4. Limiti Pr vdr com la funzion si comporta si calcola il it dlla funzion con ch tnd a: -, ma solo s è un valor comprso nl dominio tutti gli vntuali punti di discontinuità (cioè gli strmi dgli intrvalli dl dominio), ma solo s è un valor comprso nl dominio Graficamnt, pr ogni it i risultati ottnuti si indicano con dll lintt nl piano cartsiano com s fossro di punti: la coordinata è il valor a cui tnd la nl it, mntr la coordinata y è il risultato dl it. Tali lintt rapprsntano la funzion in qulla zona dl piano cartsiano. 5. Asintoti Esistono tipologi di asintoti: Orizzontal: sistono s il calcolo dl it con la ch tnd a - o avva dato un valor finito (cioè un numro). Corrispondono alla rtta orizzontal dl tipo y valor finito possono ssr al massimo : uno rifrito al it con la ch tnd a -, l altro a. Obliquo: Vrtical: possono sistr s il calcolo dl it con la ch tnd a - o avva dato un valor infinito. Corrispondono alla rtta obliqua dl tipo y m*q, dov m q sono numri da dfinir scondo il procdimnto illustrato nll srcizio [] possono ssr al massimo : uno rifrito al it con la ch tnd a -, l altro a. sistono s il calcolo dl it con la ch tnd ad un punto di discontinuità avva dato un valor infinito (cioè o - ). Corrispondono alla rtta vrtical dl tipo punto di discontinuità possono ssr tanti quanti sono i punti di discontinuità. Graficamnt, sono dll rtt trattggiat a cui la funzion si avvicina smpr di più nlla zona rlativa al it associato. Qusta è solo una antprima dimostrativa di contnuti disponibili nl Fil Complto: Studio di funzion su Qui sopra avt trovato una part dl capitolo "Toria"
5 Studio di funzion Scaricabil su: Data la funzion si chid di dtrminar a) Il dominio, dov è continua, i iti agli strmi dl campo di dfinizion, vntuali asintoti; b) Dov la funzion è drivabil, la sua drivata d vntuali punti angolosi cuspidi; c) Gli intrvalli di monotonia, massimi minimi rlativi assoluti, strmo suprior d infrior; d) Un grafico qualitativo dlla funzion. Svolgimnto :.. Intrszioni Assi R / y y y y. Sgno dlla Funzion, ) ( > < > > f, :.. R CE ( ) f Es.
6 Scaricabil su: Studio di funzion 4. Limiti,, H H 9 5. Asintoti, asintoti vrtical, y asintoto orizzontal Vrifica dll sistnza dll asintoto obliquo, y m q, pr m H 4 H H 7 6 non sist quindi l asintoto obliquo.
7 Studio di funzion Scaricabil su: 6. Drivata ^ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ) ( ' f 4, 4 8 ) ( ' > < > > f La ( ) f assum minimo rlativo in 4 massimo rlativo in 4. Il grafico :
8 Scaricabil su: Studio di funzion Riassumndo : La f ( ) risulta continua in : ], [ U], [ U], [ ; ( ) ], [ U], [ U], [. f risulta drivabil in : 4 4 La f ( ) risulta monotòna crscnt in : ], [ U, U, 4 4 monotòna dcrscnt in :, U,. ; La f ( ) assum minimo rlativo in 4 ; massimo rlativo in 4. La f ( ) ha com strmo suprior ( sup f ) ; com strmo infrior ( f ) inf. Qusta è solo una antprima dimostrativa di contnuti disponibili nl Fil Complto: Studio di funzion su Qui sopra trovat solo uno di 55 srcizi svolti prsnti nl capitolo "Esrcizi"
9 Scaricabil su: Studio di funzion Esrcizio 69 Studio dlla funzion: ln f () ln (8) Soluzion Insim di dfinizion La funzion è dfinita in X (, ). Intrszioni con gli assi ln f () ln (8) Pr risolvr tal quazion poniamo: Quindi: t Ripristinando la variabil : t t t ln (84) ) t t,t (85) 4
10 Scaricabil su: Studio di funzion Prciò: Inoltr: Studio dl sgno t ln t ln A (, ), B, γ (86) X P γ y ln f () > ln > (87) Esgundo nuovamnt il cambio (84): ch corrispondono a t t > t <,t > ln < (, ) (88) ln > (, ), ciò implica: f () > (, ) (, ) pr cui il grafico giac nl smipiano y > pr (, ) (, ), nl smipiano y < pr (, ). Comportamnto agli strmi Abbiamo: ( ln f () ln (89) Poniamo: t ln ( ) ( t f () t t, t t t quindi l ass y è asintoto vrtical. f () t ( t t Esaminiamo la prsnza di vntuali asintoti obliqui:, 44
11 Scaricabil su: Studio di funzion prciò: Calcolo dll drivat Un calcolo dirtto porg: ( f () ln ln m ln ln, ln H ln H m asintoti obliqui f () ln (9) f () ln Studio dlla monotonia ricrca dgli strmi rlativi d assoluti Calcoliamo gli zri di f (): prtanto è un punto strmal. Studiamo il sgno di f (): f () ln f ln () > > (, ), pr cui la funzion è strttamnt crscnt in (, ) d è strttamnt dcrscnt in (,). Quindi è punto di minimo rlativo pr f. Ed è anch punto di minimo assoluto: ( ) m, Studio dlla drivata sconda Dtrminiamo gli zri di f (): Il sgno dlla drivata sconda: f () ln ( f () > ln <,, pr cui γ è concavo vrso l alto in (, ) concavo vrso il basso in (, ). Prciò è punto di flsso. Notiamo ch tal punto è uno zro di f (), quindi il flsso è il punto B (q. 86). Il grafico complto è riportato in figura (5). 45
12 Scaricabil su: Studio di funzion y 4 ln Figur 5: Grafico dlla funzion f () ln Qusta è solo una antprima dimostrativa di contnuti disponibili nl Fil Complto: Studio di funzion su Qui sopra avt trovato solo uno di 55 srcizi svolti prsnti nl capitolo "Esrcizi"
FUNZIONI. Dominio: il dominio di una funzione è l insieme delle x in cui una funzione è definita.
FUNZIONI Dominio: il dominio di una funzion è l insim dll in cui una funzion è dfinita. Funzioni Fratt: una funzion si dic fratta quando compar la al dnominator Pr calcolar il dominio di una funzion fratta
y = ln x ln x x x Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.
Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. atg Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag.9 ln
x 1 x 2 Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.4
Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. y 5 y Esrcizio no. Soluzion a pag.6 Esrcizio no. Soluzion a pag.8
STUDI DI FUNZIONI. Dunque : y=1 è asintoto orizzontale sia sinistro che destro. x=0 è asintoto verticale ( solo a sinistra di zero )
ESERCITAZIONI 7-8- 9- STUDI DI FUNZIONI A) Esrcizi svolti. Studiar il dominio d il comportamnto agli strmi dl dominio dll sgunti funzioni. Calcolarn splicitamnt vntuali asintoti orizzontali o vrticali.
Risoluzione dei problemi
Risoluzion di problmi a) f rapprsnta un fascio di funzioni omografich, al variar dl paramtro a in R, s si vrifica la condizion: a$ (- a) +! 0 " a!! S a!! il grafico rapprsnta iprboli quilatr di asintoti
Poiché l argomento del logaritmo naturale è una quantità sempre positiva, basta imporre che l argomento dell arcoseno sia compreso tra 1 ed 1, cioè:
78 ( ) Funzion 6: f( ) arcsnln + (funzion trascndnt) CAMPO DI ESISTENZA Poiché l argomnto dl logaritmo natural è una quantità smpr positiva, basta imporr ch l argomnto dll arcosno sia comprso tra d, cioè:
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Matmatica pr l Economia (A-K) Matmatica Gnral 6 fbbraio 9 (prof Biscglia) Traccia A Trovar, s possibil un punto di approssimazion con un rror nll intrvallo, Dopo avrn accrtata l sistnza, calcolar il sgunt
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CONOSCENZE. 1. La derivata di una funzione y = f (x)
ESAME D STATO ESEMP D QUEST D MATEMATCA PER LA TERZA PROVA CONOSCENZE. La drivata di una funzion y f (), in un punto intrno al suo dominio, : il it, s sist d è finito, dl rapporto incrmntal pr h, f ( h)
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NOME:... MATRICOLA:.... Corso di Laura in Fisica, A.A. 00/0 Calcolo, Esam scritto dl 3.0.0 Data la funzion f(x = x +x, a dtrminar il dominio (massimal di f ; b trovar tutti gli asintoti di f ; c trovar
x ( sin x " ha una unica soluzione x " 0. 0,0
PROBLEMA ESAME DI STATO CORSO DI ORDINAMENTO ANNO 8-9 ) L ara richista è la diffrnza dll ara dl sttor circolar qulla dl triangolo AOB, cioè S r ( r sin " r & ( sin ) Posto r= si ha S$ % " & ( sin$ % '.
Ulteriori esercizi svolti
Ultriori srcizi svolti Effttuar uno studio qualitativo dll sgunti funzioni ) 4 f ( ) ) ( + ) f ( ) + 3) f ( ) con particolar rifrimnto ai sgunti asptti: a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli
PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO
ISTITUTO TECNICO PER IL TURISMO EUROSCUOLA ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI BIANCHI SCUOLE PARITARIE PROGRAMMA DI RIPASSO ESTIVO CLASSI MATERIA PROF. QUARTA TURISMO Matmatica Andra Brnsco Làvor ANNO SCOLASTICO
Esercizi sullo studio di funzione
Esrcizi sullo studio di funzion Trza part Com visto nll parti prcdnti pr potr dscrivr una curva data la sua quazion cartsiana splicita f () occorr procdr scondo l ordin sgunt: ) Dtrminar l insim di sistnza
La forma generale di una disequazione di primo grado è la seguente: ax + b > 0 ( o ax + b < 0) con a e b numeri reali. b se a > 0 a.
Disquazioni di I grado La forma gnral di una disquazion di primo grado è la sgunt: a + b > o a + b < con a b numri rali. La soluzion dlla disquazion si ottin dai sgunti passaggi: a + b > a > b > < b s
Soluzioni. a) Il dominio è dato da tutti i numeri reali tranne quelli che annullano il denominatore di (x+1)/x. Quindi D = R {0} = (-,0) (0,+ ).
Soluzioni Data la unzion a trova il dominio di b indica quali sono gli intrvalli in cui risulta positiva qulli in cui risulta ngativa c dtrmina l vntuali intrszioni con gli assi d studia il comportamnto
PRIMI ESERCIZI SULLE FUNZIONI DERIVABILI. (1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni:
PRIMI ESERCIZI SULLE FUNZIONI DERIVABILI VALENTINA CASARINO Esrcizi pr il corso di Analisi Matmatica (Inggnria Gstional, dll Innovazion dl Prodotto, Mccanica Mccatronica, Univrsità dgli studi di Padova)
Teoria. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante. Matematica 1
LA ERVATA UNA FUNZONE Toria l problma dlla tangnt Uno di problmi classici c portano al conctto di drivata è qullo dlla dtrminazion dlla rtta tangnt a una curva in un punto. La tangnt ad una circonfrnza
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE CORSO DI LAUREA IN STATISTICA Prof. Franco EUGENI Prof.ssa Danila TONDINI Parzial n. - Compito I A. A.
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PRIMO APPELLO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA CORSO DI LAURA IN INFORMATICA, A.A. 7/8 GENNAIO 8 CORREZIONE SE AVETE FATTO IL COMPITO A SOSTITUITE a ; COMPITO B a ; COMPITO C a 5; COMPITO D a 4; Esrcizio,
1;. Argomenta con adeguate motivazioni. ax b abbia un massimo di.. Argomenta con adeguate motivazioni
CALCOLO DIFFERENZIALE APPLICAZIONI E COMPLEMENTI 1 Calcola il valor di a b in modo ch il grafico dlla 3 funzion y a b 4 1 abbia un massimo nl punto di coordinat ;1 Argomnta con adguat motivazioni Calcola
Le soluzioni della prova scritta di Matematica del 6 Febbraio 2015
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DERIVATE. h Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante congiungente i punti della curva di ascissa x. y = in un punto x.
DERIVATE OBIETTIVI MINIMI: Conoscr la dinizion di drivata d il suo siniicato omtrico Sapr calcolar smplici drivat applicando la dinizion Conoscr l drivat dll unzioni lmntari Conoscr l rol di drivazion
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Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}.
![Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}.](/thumbs/52/29110632.jpg "Soluzioni. Capitolo 2 (, 0 3] [2.1] A B = {1, 3, 4, 6, 7, 8}, A B = {4, 7}, A\B = {1, 3, 6}, B\A = {8}.")
Soluzioni Capitolo [.] A B = {,,,, 7, 8}, A B = {, 7}, A\B = {,, }, B\A = {8}. [.] I) [, 0] V) VI) V [, 0] (, 0) V IX) [, 00) X) ( [, ],(, 00) (, 00) (, 0 + ) (, 0 ], ), (, 0 + ) [.] B\A = {} {b = n +,
La condizione richiesta è soddisfatta quando il primo massimo della curva, di ascissa x, si trova sulla
Esam di Stato 8 sssion suppltiva Problma La condizion richista è soddisfatta quando il primo massimo dlla curva, di ascissa, si trova sulla bisttric dl primo quadrant, pr cui (tutt l misur linari sono
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L soluzioni dlla prova scritta di Matmatica dl 9 Giugno. Sia data la unzion a. Trova il dominio di b. Scrivi, splicitamnt pr stso non sono suicinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui è positiva
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PROGRAMMAZIONE IV Gomtri ORGANIZZAZIONE MODULARE (Divisa in unità didattich) MODULO TITOLO DEL MODULO ORE PREVISTE A Richiami di algbra 15 B Rcupro di trigonomtria C Funzioni rali a variabil ral 12 D Limiti
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SOLUZIONE PROBLEMA 1 1 SOLUZIONE PROBLEMA 1 1. Studiamo la funzion q ( = at, ssndo a b costanti rali con a >. Il dominio dlla funzion è tutto R la funzion è ovunqu continua. Il grafico dlla funzion non
Svolgimento di alcuni esercizi
Svolgimnto di alcuni srcizi Si ha ch dal momnto ch / tnd a pr ch tnd a (la frazion formata da un numro, in qusto caso il numro, fratto una quantità ch tnd a ±, in qusto caso, tnd smpr a ) S facciamo tndr
x = QAR ˆ calcola il seguente limite: lim 0 x 180 con x 90 OA r = = cos x cos x lim = lim = lim = 0 2 r sen 2 AP = 2sen sen 2 r sen 2 sen x x
Problma Sia P un punto di un arco AB di una smicirconfrnza di cntro O raggio r. Sia T il punto in cui la smirtta OP incontra la tangnt in A all arco. Porr AOT ˆ PT AP P A AT P A AT AOT ˆ Limitazioni gomtrich
ESERCIZI PARTE I SOLUZIONI
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0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = a x si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y.
INTRODUZIONE Ossrviamo, in primo luogo, ch l funzioni sponnziali sono dlla forma a con a costant positiva divrsa da (il caso a è banal pr cui non sarà oggtto dl nostro studio). Si possono allora vrificar
lim x 3 lim Servendosi della definizione, verifica l esattezza dei limiti seguenti Esercizio no.1 Esercizio no.2 Esercizio no.3 Esercizio no.
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Numeri complessi - svolgimento degli esercizi
Numri complssi - svolgimnto dgli srcizi ) Qusto srcizio richid di calcolar la potnza n-sima (n 45) di un numro complsso. Scriviamo z nlla forma sponnzial z ρ iθ dov ) ( ) ρ ( + θ π 6 dato ch sin θ cos
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Liceo scientifico, opzione scienze applicate e indirizzo sportivo
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MATEMATICA GENERALE (A-K) -Base 13/2/2004
MATEMATICA GENERALE (A-K) -Bas //004 PRIMA PARTE ) Individuar la rimitiva dlla funzion f(x) = x log x assant r il unto (4,) ) Calcolar, usando la d nizion, la drivata dlla funzion f(x) = x + nl unto x
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Soluzione. Un punto generico ha coordinate ( x, y) Per cui. Le coordinate del centro sono allora
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Funzioni Continue. se (e solo se) 0
: A R R A ' Funzioni Continu La unzion si dic continua in ( ( s ( solo s A N sguono tr proprità ainché ( sia continua in :. Dvono sistr initi il it dstro sinistro di ( in. Tali iti dvono ssr uguali tra
2n + 1 = + [Verif.] n + 2 n + 2
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Esrcizi.. Matmatica dl discrto Dir s i sgunti limiti sono vrificati: n. lim n [Vrif.]. lim n n [Vrif.] n. lim [Vrif.]. lim n ( ) n n [Non vrif.]. lim ( ) n n [Vrif.]. lim n n n [Non vrif.] n n. lim [Vrif.]
lim β α e detto infinitesimo una qualsiasi quantita tendente a zero quando una dati due infinitesimi α e β non esiste
Infinitsimi dtto infinitsimo una qualsiasi quantita tndnt a zro quando una opportuna variabil tnd ad assumr un dtrminato valor dati du infinitsimi α β α β non sono paragonabili tra loro s il lim β α non
= l. x 0. In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f ( x) tendere ad un elemento dell insieme
LIMITI DI FUNZINI. CNCETT DI LIMITE Esula dallo scopo di qusto libro la trattazion dlla toria sui iti. Tuttavia, pnsando di far cosa gradita allo studnt, ch dv possdr qusta nozion com background, ritniamo
e coerentemente con quanto evidenziato dal grafico;
POBLEMA Punto La unzion : - È dinita in ; - Intrsca l ass dll asciss in du unti all sgunti asciss: Si noti ch corntmnt con quanto vidnziato dal graico; - Intrsca l ass dll ordinat in, cornt con il graico;
Nozioni di base sulle coniche (ellisse (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, iperbole(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1, parabola e circonferenza):
Nozioni di bas sull conich (lliss (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, iprbol(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1, parabola circonfrnza): Dlta =0, significa un solo punto di intrszion tra fascio di rtt conica Dlta >=0, significa 2
Teorema (seconda condizione sufficiente per i campi conservativi piani): Sia F ( x, y)
Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part Torma (sconda condizion sufficint pr i campi consrvativi piani): Sia F (, y) un campo vttorial piano dfinito in un aprto A di R, si supponga ultriormnt = y ;
Rapporto Incrementale Def. rapporto incrementale nel punto x incremento h Nota:
Rapporto Incrmntal + α Δ= Δ m tan +. Il rapporto incrmntal dlla unzion nl punto rlativo ad un incrmnto è il coicint anolar dlla scant al raico dlla unzion ni punti di ascissa d + Nota: Nll smpio raico
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( ) = 8x 1 + x 2 + 8x 3 con i vincoli x k! 0 ( 1 " k " 3) e
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