Algebra + numeri relativi +l calcolo letterale Equazioni, disequazioni, problemi

Transcript

1 Algr + numri rltivi +l lolo lttrl Equzioni, isquzioni, prolmi + numri rltivi Rpprsnt on un numro rltivo l sgunti grnzz. SEZ. O g Altituin i 00 m sul livllo l mr. Trzo pino i un prhggio sottrrno. Prit i pso i kg. Inrmnto ll vnit l 0%. Przzi lti l %. L ttgli i Cnn è vvnut nl.c. Mnno soni ll prtnz i un gr. I numri rltivi rihisti sono: +00; ; ; +0; ; ; g. Srivi il moulo i sgunti numri rltivi , +, I numri ssoluti rihisti sono: 8 7; ; ; 0, ; ;,. Si i rltivo un numro otto i un sgno. I numri rltivi positivi sono pruti l sgno +. I numri rltivi ngtivi sono pruti l sgno. Lo zro non h sgno. L insim i numri rltivi intri si ini on Z, qullo i numri rltivi rzionli on Q, qullo i rli on R. Il moulo o vlor ssoluto i un numro rltivo è il numro stsso privto l sgno, ioè: + Briiol i tori Briiol i tori Srivi i numri rltivi h hnno i sgunti vlori ssoluti. 7,7 ± 7 7 ; ± ; ± ; 7, ± 7, Quli tr l sgunti oppi sono ormt numri rltivi onori? +,, +, +0, Du numri rltivi sono onori s sono pruti llo stsso sgno; l oppi i vlori onori sono unqu, mntr i numri ll oppi sono pruti sgni ivrsi. Quli tr l sgunti oppi sono ormt numri rltivi isori? +, 7,,, +8 Du numri rltivi sono isori s sono pruti sgni ivrsi; l oppi i vlori isori sono unqu, mntr i numri ll oppi hnno lo stsso sgno, sono quini onori. A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

2 Szion O Algr Quli tr l sgunti oppi sono ormt numri rltivi opposti?, +, + +,, + Du numri rltivi si iono opposti s sono isori hnno lo stsso vlor ssoluto; l oppi i vlori opposti sono unqu. Ossrvimo h nh l oppi sono ormt numri isori, m i loro vlori ssoluti non oiniono. 7 Conront i numri rltivi ll sgunti oppi insrno l opportuno sgno <, >, Pr onrontr u numri rltivi rior h: ogni numro positivo è mggior i qulsisi numro ngtivo ti u numri positivi è mggior qullo h h moulo mggior ti u numri ngtivi è mggior qullo h h moulo minor lo zro è mggior i isun numro ngtivo minor i isun numro positivo S si rpprsntno i numri rltivi su un rtt orintt, i ngtivi stnno sinistr llo zro i positivi str; in tl moo si può ir h ti u numri rltivi il mggior si trov smpr str l minor. Briiol i tori 7 < + prhé ogni numro ngtivo è minor i qulsisi numro positivo. > prhé ssno u numri ngtivi, è mggior qullo on vlor ssoluto minor. + > 0 prhé ogni numro positivo è mggior i 0. < + prhé ogni numro ngtivo è minor i qulsisi numro positivo. < prhé ssno u numri ngtivi, è minor qullo on vlor ssoluto mggior. 7 + < + prhé ssno u numri positivi, è minor qullo on vlor ssoluto minor. 8 Clol l sgunti somm lgrih (7) (+) + () Riorimo h l somm i u numri rltivi onori è un numro rltivo h h pr sgno il sgno i numri ti pr moulo l somm i mouli. Quini imo: +( + 7) +0 (8 + ) Riorimo poi h l somm i u numri rltivi isori è un numro rltivo h h il sgno ll no on il vlor ssoluto mggior pr moulo l irnz i mouli i numri, mntr l somm i u numri rltivi opposti è smpr zro. Quini imo: >, l somm rt h quini il sgno i +: + +( ) + 8 >, l somm rt h quini il sgno i 8: + 8 (8 ) Riorimo h il sgno + vnti ll prntsi lsi i sgni ntro prntsi uguli, il sgno mir tutti i sgni i numri ntro prntsi. Quini imo: 7 A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

3 + numri rltivi Esgui l sgunti moltiplizioni ivisioni. g h (+) (+) () () (+) () (7) (+) (+0) : () (+0) : (+) () : () () : (+) Riorimo h il prootto i u o più numri rltivi è ugul l numro rltivo h h pr vlor ssoluto il prootto i vlori ssoluti pr sgno il + s i u numri sono onori, il s sono isori. Quini imo: +( ) + +( ) +0 ( ) (7 ) Riorimo inoltr h il quozint i u numri rltivi è ugul l numro rltivo h h pr vlor ssoluto il quozint i vlori ssoluti i u numri pr sgno il + s i u numri sono onori, il sgno s sono isori. Quini imo: g h (0 : ) +(0 : ) + +( : ) +7 ( : ) 0 Esgui i sgunti lvmnti potnz. g (+) () (+) () (+) () () Riorimo h l potnz on sponnt intro positivo i un numro rltivo positivo è smpr positiv; l potnz i un numro rltivo ngtivo è positiv s l sponnt è pri, è ngtiv s l sponnt è ispri. Il moulo ll potnz è ugul ll potnz l moulo, quini imo: (+) + + () + + (+) + +8 () 8 Riorimo inoltr h l potnz h h pr sponnt un numro ngtivo è ugul un rzion h h pr numrtor l unità pr nomintor l potnz t m on sponnt positivo. Qusto è quivlnt lolr l potnz on sponnt positivo s ugul l riproo ll s t. Aimo quini: (+) + + () + () g 8 Appli l proprità ll potnz, quini lol l potnz. (+) (+) : (+) () () () : () () : () {[() ] } () : () () (+) () : () A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig Riorimo l proprità ll potnz: n m m+n n : m n m n n ( ) n n : n ( : ) n ( n ) m n m Briiol i tori

4 Szion O Algr Aimo: (+) + (+) + () + + () [() : ()] (+) +8 ( ) ( ) ( ) [( ) : ( )] ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + Esgui l sgunti strzioni i ri Riorimo h l ri qurt (ui) è l oprzion invrs ll lvmnto l qurto (l uo). Aimo quini: ± prhé (+) () ± prhé (+) 0 () 0 + prhé (+), m () prhé (), m (+) + Notimo quini h l rii i ini pri in gnrl hnno om risultto u vlori opposti, mntr l rii i ini ispri hnno om risultto un unio vlor onor on il rino. Risolvi l sgunti sprssioni. + + : : : A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

5 + numri rltivi 7 + : : 8 7 : : : 8 87 : : ( ) + + : Applino l proprità ll potnz, risolvi l sgunti sprssioni. + : : 0 + : ( + ) + A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

6 Szion O Algr :( ) : :( ): :( ) : 8 0 : 8 : 8 ( ) Clol il vlor ll sgunti sprssioni. ( ) : ( ) : : : ( ) ( ) A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

7 + numri rltivi 0 : : : : : : :( ) + + : :( ) ( ) ( ) 7 ( ) :( ) 0 : : : A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 7

8 Szion O Algr +l lolo lttrl Tr l sgunti sprssioni lttrli, quli sono monomi? xy 7 x (y z) 7 non è un monomio, poihé vi igur un izion; è un monomio intro; è un monomio rzionrio; non è un monomio prhé vi igur un sottrzion; non è un monomio, poihé vi igur un sottrzion; è un monomio rzionrio. Si i monomio un sprssion lgri in ui non igurno izioni sottrzioni. Un monomio si i riotto orm norml s si prsnt om prootto i un solo ttor numrio i potnz lttrli vnti si ivrs. Si i intro un monomio in ui non ompiono lttr l nomintor oppur lttr on sponnt ngtivo. Si i rzionrio un monomio in ui ompiono lttr l nomintor oppur lttr on sponnt ngtivo. Du monomi riotti orm norml sono uguli s hnno lo stsso oiint numrio l stss prt lttrl. Du monomi riotti orm norml sono simili s hnno l stss prt lttrl. Du monomi riotti orm norml sono opposti s sono simili hnno i oiinti numrii opposti. Trsorm l sgunt sprssion lttrl in un monomio riotto orm norml. xy z ( y z ) x y Clol l sgunti somm i monomi x y x y xy + xy Applino l proprità ommuttiv l prootto l sprssion ivnt: ( ) ( ) x x y y y z z Applino l proprità ssoitiv l proprità ll potnz ottnimo: x y z + x y z. 7 xy + xy + xy 8 L somm i u o più monomi simili è un monomio simil qulli ti, h h pr oiint numrio l somm lgri i oiinti. I monomi hnno l stss prt lttrl, ioè, prtnto sono simili, quini l loro somm è: ( + 8) +. I monomi non sono simili, quini l loro somm non è un monomio. I u monomi hnno l stss prt lttrl oiinti opposti, quini sono monomi opposti. L loro somm è ugul 0. Tr gli ni rionosimo u monomi simili, quini sommili, h sono +0, l ui somm è ; llor il risultto è +. I tr monomi sono tutti simili, on prt lttrl ugul x y ; i oiinti numrii sono rzioni, quini imo xy xy + xy Briiol i tori Briiol i tori A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 8

9 +l lolo lttrl Clol i sgunti prootti i monomi. +x y (x y z) ( ) g xy (y ) x y Clol i sgunti quozinti tr monomi. 8 : ( ) : : ( ) x y : (x ) 8 :( ) 7 Clol l sgunti potnz i monomi. xy 8 xy z ( ) (xy ) x ( ) ( ) : yz Applihimo l proprità l quozint i potnz i ugul s ottnimo: 0 (rior h qulunqu s lvt 0 à om risultto ). + + x y xy xy z xy (8) : () + Applihimo l proprità ll potnz i potnz ottnimo: ( ) Applihimo l proprità ll potnz i potnz ottnimo: x y x y Applihimo l proprità l prootto i potnz i ugul s ottnimo: + g 0x + y + z 0x y z x y x y x + y ++ x y ( ) ( ) Il prootto i u o più monomi è un monomio h h pr oiint il prootto i oiinti pr prt lttrl il prootto i ttori lttrli. Il quozint tr u monomi è, in gnrl, un monomio rzionrio in ui il oiint è ugul l quozint i oiinti i monomi l prt lttrl è ormt tutti i ttori lttrli ottnuti ll ivision ll prti lttrli i monomi stssi. Pr lvr potnz n-sim un monomio si lv potnz il oiint si moltiplino pr n gli sponnti i ttori lttrli. Briiol i tori Briiol i tori Briiol i tori A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

10 Szion O Algr (7 ) xyz Applihimo l proprità ll potnz i potnz ottnimo: ( 7) + Applihimo l proprità ll potnz i potnz ottnimo: 0 8 x y z x yz 8 Clol il vlor ll sgunti sprssioni on i monomi. 8 8xy :( xy):( xy) + xy + ( xy ):( + xy ) + 8xy :( xy) + xy + ( xy) xy + xy xy xy x 0x y :( + xy ) :( x) + ( x y ) :( xy) x x :( x) 8x y : x y x :( x) x + x x x xy xy x + 7 xy xy : xy xy + xy + xy xy + + xy xy xy xy + xy xy + 0 xy xy xy + : + + : : : A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 0

11 +l lolo lttrl Tr l sgunti sprssioni ini i polinomi i monomi. x + x + x + x + ( ) Clol l sgunti somm i polinomi. Ossrvimo h i trmini sono monomi non simili tr loro, quini l loro somm non è un monomio, m è un polinomio. In qusto so i trmini sono monomi simili tr loro, pr ui l loro somm è un monomio simil gli ni. Du trmini sono monomi non simili tr loro l loro somm è un monomio, il trzo trmin prò non è simil ssi, quini l somm è un polinomio. In qusto so non sono prsnti né izioni né sottrzioni, quini l sprssion è snz ltro un monomio. ( + ) + ( + ) ( ) Eliminimo l prntsi mimo i sgni s il sgno vnti prntsi è un mno: Sommimo i trmini simili: Il risultto è. Si him polinomio rzionl intro l somm i u o più monomi rzionli intri; gli ni i tl somm sono i trmini l polinomio. Un polinomio si i inomio s è ormto u trmini, trinomio s è ormto tr trmini qurinomio s è ormto quttro trmini. Nll somm lgri i polinomi è suiint sommr i trmini simili: il risultto può ssr un polinomio, un monomio o un numro rl. Briiol i tori Briiol i tori [ ( ) + ] {[( ) + + ] } [ ] {[ + + ] } { + + } A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

12 Szion O Algr Clol i sgunti prootti i polinomi. ( x + x x) ( x) Applihimo l proprità istriutiv l prootto risptto ll somm ottnimo: ( x + x x) ( x) x x + x ( + ) Il prootto i un polinomio pr un monomio è il polinomio i ui trmini si ottngono moltiplino isun trmin l polinomio pr il monomio. Il prootto i u polinomi è ugul l polinomio i ui trmini si ottngono moltiplino isun trmin l primo polinomio pr isun trmin l sono. Applihimo l proprità istriutiv l prootto risptto ll somm ottnimo: ( + ) + ( x+ y)( x y) Applihimo l proprità istriutiv l prootto risptto ll somm ottnimo: ( x+ y)( x y) x xy + xy y x xy y ( x+ y+ )( x+ y ) Applihimo l proprità istriutiv l prootto risptto ll somm ottnimo: ( x+ y+ )( x+ y ) x + xy x xy + y y x + y x + xy x + y + y Esgui l sgunti ivisioni i un polinomio pr un monomio. ( x 8x + x):( x) Applihimo l proprità istriutiv ll ivision risptto ll somm ottnimo: ( x 8x + x):( x) x + x Nll ivision i un polinomio pr un monomio è nssrio h tutti i trmini l polinomio sino ivisiili pr il monomio. In qusto so il quozint è ugul l polinomio i ui trmini si ottngono ivino isun trmin l polinomio to pr il monomio. Briiol i tori Briiol i tori A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

13 +l lolo lttrl 7 + : 0 Applihimo l proprità istriutiv ll ivision risptto ll somm ottnimo: 7 + : Clol i sgunti prootti notvoli. (x y) ( + ) (x y) ( + ) ( x) + ( y) ( x)( y) x + y xy ( ) + ( ) + ( )( ) + ( x ) + ( y) + ( x )( y) x + y + x y ( ) + ( ) + ( )( ) + + Clol i sgunti prootti notvoli. I prootti notvoli possono ssr shmtizzti osì: ( + )( ) ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) + ( + + ) Briiol i tori (x y)(x + y) + (x + y)(y + x) (x) (y) x y ( ) (x) (y) x y ( )( + ) ( ) ( ) Clol i sgunti prootti notvoli. (x + y) (x) + (x) (y) + (x)(+y) + (+y) 8x + x y + xy + 7y + + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

14 Szion O Algr Risolvi l sgunti sprssioni. { ( + ) [ ( + ) ( + ) ( )]} { + [ ]} { } { + } ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( + + ) ( x+ y) + ( x+ y) ( x y) + ( x+ y) ( x + y + xy) + ( x y ) + x + y + 8xy x 8y 8xy + x y + x + y + 8xy + x y Clol il vlor ll sgunti sprssioni lttrli ttriuno ll lttr i vlori initi. ( + ) ( ) ; Sostituimo il vlor + ll lttr il vlor ll lttr : ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) [ ] [ ] [ ] ; +; Sostituimo il vlor ll lttr, il vlor + ll lttr il vlor 0 ll lttr : ( + ) ( ) ( )( 0) ( ) A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

15 Equzioni, isquzioni, prolmi Clol il vlor h ssum il polinomio to pr i vlori ll vriili initi. P(x) x + x 0 P(0) 0 + x P P(x, y) x xy + y x ; y P(, ) () ()() +() + 0 x ; y P(, ) () ()() + () + + Equzioni, isquzioni, prolmi Si i intità un uguglinz tr u sprssioni lttrli h è vriit pr qulunqu vlor ttriuito ll lttr h vi igur. Si i quzion un uguglinz tr u sprssioni lttrli, tt mmri ll quzion, h è vriit solo pr prtiolri vlori ttriuiti ll lttr h vi igur, tt inognit. L rii o soluzioni i un quzion sono i vlori h, sostituiti ll inognit, rnono vr l uguglinz. Si i gro i un quzion il vlor mssimo h ompr om sponnt ll'inognit ll quzion stss. Un quzion si i i primo gro s in ss l inognit igur solo on sponnt ugul. Un quzion trmint mmtt l mssimo un numro i soluzioni pri l gro ll quzion stss: un quzion i primo gro mmtt l mssimo un soluzion; un quzion i sono gro mmtt l mssimo u soluzioni,. Briiol i tori Risolvi l sgunti quzioni. (x ) ( + x) x + ( x) Esguimo i loli: x x x + x Applihimo l rgol l trsporto pr portr tutti i trmini ontnnti l inognit primo mmro i trmini noti sono mmro: x x x + x x Applihimo il sono prinipio i quivlnz ivino ntrmi i mmri ll quzion pr : x x 7 L quzion è trmint x 7 è l su uni ri. prinipio: ggiungno ntrmi i mmri i un quzion un stss sprssion lgri, ontnnt o no l inognit, si ottin un quzion quivlnt qull t. prinipio: moltiplino o ivino ntrmi i mmri i un quzion pr uno stsso numro ivrso zro si ottin un quzion quivlnt qull t. Di u prinipi sguono lun rgol prtih. Rgol i nllzion: s uno stsso trmin igur ni u mmri i un quzion, sso può ssr nllto. Rgol l trsporto: si può smpr trsportr un trmin i un quzion un mmro ll ltro purhé lo si mi i sgno. Briiol i tori A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

16 Szion O Algr [(x ) (x )] + x + (x ) Esguimo i loli: [x + 0x + ] + x + 0x Applihimo l rgol l trsporto: x + 0x x 0x + 0x L quzion è impossiil prhé nssun numro moltiplito pr 0 à om risultto. x ( x )( x+ ) x Esguimo i loli: x x x + x Riuimo llo stsso nomintor h è il m..m. i, ioè : x x+ 8 x + x8 Applihimo il sono prinipio i quivlnz moltiplihimo pr ntrmi i mmri, liminno in qusto moo i nomintori: x x 8 x x 7 Applihimo l rgol l trsporto pr portr tutti i trmini ontnnti l inognit primo mmro i trmini noti sono mmro: x x x + x +8 7 x L quzion è trmint x è l su uni ri. 7x x+ x+ x Eliminimo i nomintori: 7 ( x ) + 0( x+ )( x+ ) ( x+ 0) 0 0 x + 0x + 0 x x + 0 x + 0x x x x 0 L quzion è intrmint prhé l uguglinz è vriit pr qulunqu vlor ttriuito ll x. 7 x x+ 0 x + + ( x) + ( x+ ) 0 ( x) + x+ x+ 0 x+ +x 0 + x 0 L quzion è trmint x 0 è l su uni ri. A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

17 Equzioni, isquzioni, prolmi Risolvi l sgunti isquzioni rpprsnt grimnt l intrvllo ll soluzioni. 8 x + (x + ) < x + 7 x + x < x + 7 Applihimo l rgol l trsporto: x x x x < 0 Diviimo ntrmi i mmri pr mimo il vrso ll isquzion: 0 x > x > Rpprsntimo grimnt l intrvllo ll soluzioni: Si i isquzion un isuguglinz l tipo M < N o M > N ov M N sono u sprssioni lttrli. Pr risolvr un isquzion rzionl intr si sguono l stss prour vist pr l quzioni poi si trminno gli intrvlli ll soluzioni, riorno h s si moltiplino o iviono ntrmi i mmri pr un stss quntità ngtiv l isquzion mi i vrso. Du isquzioni si iono quivlnti s hnno gli stssi intrvlli ll soluzioni. Briiol i tori (x ) > (x + ) 8 x x+ > x + x+ 8 Applihimo l rgol l trsporto: x x >8 8x >8 8x < 8 Applihimo il sono prinipio i quivlnz iviimo ntrmi i mmri pr 8: x < 0 x ( x ) + x x + 8x x + 8x x + x + xx x + 8x x+ 8x x+ 8xx + x x x A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 7

18 Szion O Algr Risolvi i sgunti prolmi ritmtii gomtrii on l iuto ll quzioni. Trov u numri onsutivi tli h l irnz tr il triplo l minor il oppio l mggior si ugul 8. Du numri sono onsutivi s l loro irnz è. Primo numro (minor) x Sono numro (suo sussivo) x + Impostimo l quzion risolvnt il prolm: x (x + ) 8 x x 8 x x 8 + x 0 Primo numro x 0 Sono numro x In un lirri i i volumi sono tsti solstii, i liri i nrrtiv i rimnnti 0 sono 0 0 romnzi. Qunti liri i sono in qull lirri? Inihimo on x il numro totl i volumi prsnti sugli sli ll lirri. L quzion risolvnt il prolm è llor: x x+ x Risolvimo l quzion: 0x x+ x x x x 00 x 00 x 0 I volumi prsnti sull lirri sono 0. Sommno l trz prt i un numro ll su sst prt si ottin l mtà l numro stsso umntt i. Qul è il numro? Numro x Trz prt l numro x Sst prt l numro x Mtà l numro x Impostimo l quzion risolvnt il prolm: x+ x x+ x+ x x+ x + x x + x + x x 0x quzion impossiil Il prolm non h soluzion, è impossiil. A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 8

19 B A H O A K H B Equzioni, isquzioni, prolmi In un llvmnto i polli i onigli si ontno tst 08 zmp. Qunti sono i onigli qunti i polli? Numro i tst Numro i zmp 08 Inihimo on x il numro i polli; il numro i onigli è x (prhé vintmnt il numro gli nimli totli è ugul l numro i tst, ioè ). I onigli hnno zmp, mntr i polli solo, quini: numro i zmp i pollo x numro i zmp i oniglio ( x) Impostimo l quzion risolvnt il prolm: x + ( x) 08 x + x 08 x x 08 x 8 x 8 x Numro i polli x ; numro i onigli x. 7 L istnz i un or l ntro i un ironrnz è ugul i l rggio l loro somm misur,8 m. Clol l lunghzz l rggio. 7 7 OH OA OA x OH x OH + OA,8 m OH + OA,8 m; sostituimo l sprssioni i OA OH: 7 x+ x, 8 7x+ x 0 7x + x 0 x 0 0 x 0 OA 0 m L s minor i un trpzio isosl è ugul ll mggior qust è ugul i l 0 lto oliquo. Spno h il primtro è m, lol l r l trpzio. DC AB AB CB Ossrvno l rlzioni t vimo h CB non 0 ipn nssun lto, quini lo ponimo ugul x. p m Ar ABCD? CB x AB x DC x x D C 0 L quzion risolvnt il prolm è: somm i lti primtro x + x + x + x x+ x+ 0x+ x x 0 0 A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig

20 Szion O Algr 0 x x CB m AB 0 m DC m 0 Pr trminr l r è nssrio trminr il vlor ll ltzz CH. ABDC 0 HB 7 m Applihimo il torm i Pitgor l tringolo CHB: CH CB HB AB + DC CH Ar ( ) + ( 0 ) 88 m m TEOREMA DI PITAGORA In ogni tringolo rttngolo il qurto ostruito sull ipotnus è quivlnt ll somm i qurti ostruiti sui tti. i + i i Briiol i tori 7 In un tringolo rttngolo un tto è ugul i ll ltro l ipotnus misur m. Clol il primtro l tringolo. AB AC AC x AB x BC m Applihimo il torm i Pitgor rivimo l quzion risolvnt il prolm: p? AC + AB CB C x + x A B x + x x x x 7 8 AC 8 m AB 8 m p AB + BC + AC ( + + 8) 8 m A. Clvi - G. Pnzr - 00 ELI - L Spig 0