Si considerino le rette:

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1 Si consideino le ette: Eseciio (tipo tema d esame) : s : + () ) Si dica pe quali valoi del paameto eale le ette e s isultano sghembe, paallele o incidenti. ) Nel caso paallele si emino i paameti diettoi comuni di ed s e un equaione catesiana del piano che le contiene entambe. ) Nel caso incidenti si eminino le coodinate del punto comune e un equaione catesiana del piano che le contiene. ) Nel caso si emini la etta di minima distana (etta incidente e otogonale ad entambe le ette sghembe). 5) Nel caso si emini un equaione catesiana di un piano paallelo ad e s passante pe Q(,,). Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/

2 Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/ ) Il eminante della matice dei coefficienti dei piani che individuano le ette ed s è:... ) ( + + Dunque, poiché le ette isultano sghembe se e solo se il eminante isulta diveso da, la isposta alla pima pate della domanda è pe:. Pe le matici del sistema che appesenta s diventano: 6 6

3 Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/ dunque le ette ed s sono incidenti. Pe le matici del sistema che appesenta s diventano: dunque ed s sono paallele e distinte. Sghembe pe. Paallele pe, Incidenti pe ) pe le ette diventano di equaioni: : : s i paameti diettoi delle ette paallele sono popoionali a: (,,) (,,),, ϕ ρ ρ

4 Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/ (,,),, ϕ ϕ Oa il piano ichiesto è uno dei piani del fascio popio di piani di asse passante pe un punto di s: { } (,) R ), ( ) ( ) ( : + β α β α F E evidente che s passa pe l oigine O(,,) s; imponendo il passaggio pe l oigine si ottiene -αβ cioè β-α. Sostituendo, semplificando, si ottiene.. [(,, )]. ) Ponendo - le equaioni delle ette diventano: : : s Il sistema che appesenta s è eminato: ed ammette una sola soluione:,,

5 P(,, ) Pocedendo come nel quesito pecedente, tenendo pesente che --+ è equivalente a +- {(,)} F : α( + ) + β ( ) ( α, β ) R pongo il passaggio pe O(,,) ottenendo -α -β. Sostituendo in F e dividendo si ottiene.. P(.,., ) ) Pe le ette sono sghembe: : : s : +.. I paameti diettoi di sono [(,,)] I paameti diettoi di s sono [(,-,)].. I paameti diettoi di una etta [(l,m,n)] otogonale ad entambe devono soddisfae: ( l, mn, ) o (,,) ( l, mn, ) o (,,) l m+ n (,m, m).. La etta di minima distana deve dunque avee questi paameti ed essee incidente ad. Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/ 5

6 Consideo α+ β(-) (fascio di piani di asse ) e impongo la condiione paallelismo etta - piano: + β + α. Si ottiene.... La etta di minima distana deve essee incidente anche ad s: Consideo α+β(+) (fascio di piani di asse s) e impongo la condiione paallelismo etta-piano: + β + β, si ottiene... etta di minima distana ) Ponendo le ette sghembe hanno equaioni: : s : + e i paameti diettoi di sono [(,,)] di s sono [(, -, )] un piano a+b+c+d paallelo a :.a+.c paallelo a s:.a-.b+.c passante pe (,,):.a+.b+d Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/ 6

7 Risolvendo il sistema si tova: c- a, b -6 a, d a. Dunque le equaioni sono:.. Dividendo pe a: σ :.. B A P e H e e Distana ta punti: A( A, A, A ) e B( B, B, B ) d(a, B) ( A B ) + ( A B ) + ( A B ) Distana punto-piano P( P, P, P ) e π:a+b+c+d d(p, π ) d( P, H ) a P + b a p + b + c p + c + d Coseni degli angoli fomati ta dieioni di paameti diettoi [(l,m,n )] e [(l,m,n )]. cosα ± l l + m l + mm + n l + n n + m + n Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/ 7

8 Eseciio Deteminae il luogo dei punti di E (R) che distano dal punto C(-,-,). I punti ichiesti hanno coodinate P(,,) tali che d(p,c): utiliando la fomula ( C ) + ( C) + ( C) Elevando al quadato otteniamo l equaione di una sfea (+) +(+) +(-) 9 S: Eseciio Deteminae il luogo dei punti di E (R) che distano dal piano π: +-+. I punti ichiesti hanno coodinate P(,,) tali che d(p, π): utiliando la fomula a P + b a p + b + c p + c + d Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/

9 si ottiene l equaione con modulo: ( ) equivalente a + + da cui si ottengono le equaioni di due piani paalleli a π: π : + + e π : π π π Eseciio Deteminae il luogo dei punti di E (R) equidistanti dai punti A(,,-) e B(,-,). Si tatta del piano π assiale del segmento AB. A π M P B Pe eminae l equaione di tale piano è possibile pocedee in due modi: Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/ 9

10 π è otogonale alla dieione pe A, B [(,,- )] e passa pe il punto medio M(½,½,). Il piano appatiene quindi al fascio di piani +-+ e imponendo il passaggio pe M si ottiene: π :+-+. Oppue il piano è il luogo dei punti P(,,) equidistanti da A e B ( A ) + ( A ) + ( A ) ( B) + ( B) + ( B) elevando al quadato e sviluppando i conti si ottiene: ( B - A )+( B - A )+( B - A )+ A + A + A - B - B - B Nel caso poposto: A(,,-) e B(,-,). (-)+(--)+(+) cambiando i segni e dividendo pe si ottiene l equaione π :+-+. ( A ) + ( A ) + ( A) ( B) + ( B) + ( B) Eseciio 6 FORMULA PIANO ASSIALE Deteminae la distana del punto C(-,-,) dalla etta + : +. Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/

11 Non esiste una fomula elementae pe calcolae la distana di un punto da una etta nello spaio. Pe eminae tale misua si può calcolae la distana ta C e il punto d inteseione ta la etta e il piano passante pe C otogonale a. C π H I paameti diettoi di sono [(,-,)], il piano otogonale a ha equaione: -++, passando pe C: π: -+-, il punto H d inteseione ta e π è H(,,) la distana ichiesta d(c,)d(c,h). Eseciio 7 Deteminae la distana ta i due piani paalleli π : + + e π : Ha senso chiedee la distana solo ta piani paalleli e distinti peché qualsiasi sia il punto peso su un piano, la distana di tale punto dall alto piano saà costante. Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/

12 Sia P(,,) π, la sua distana da π è: d( π ', π '') d( P, π '') ( ) Eseciio Deteminae la distana minima ta le ette sghembe + 5 : + + s :. π S s σ È sufficiente calcolae la distana ta i due piani paalleli che contengono le ette e s. A tal fine è sufficiente tovae l equaione del piano che contiene paallelo a s di paameti diettoi [(,,)] e eminae la sua distana da un punto S appatenente a s. Nel fascio popio di piani di asse : F(): α(5+-)+β(+) (α,β) (,) Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/

13 Riceco il piano paallelo a s: β π: 5+-. Sia S(-,,) un punto di s: d(, s) d( π, S) 5.( ) Eseciio 9 Deteminae la distana ta le ette paallele p : q : +. Dopo ave eminato l equaione di un piano otogonale alle ette p e q toveemo la distana ta le ette come distana ta i ispettivi punti d inteseione con tale piano. P p q Q I paameti diettoi delle ette p e q sono [(,-5,)]. Fisso il punto P(,,-) p: emino il piano otogonale a p (-5+) passante pe P: -5. Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/

14 Inteseco tale piano con q ottenendo Q(-5,-,). d(p,q)d(p,q) 5 Eseciio Deteminae il luogo dei punti di E (R) che distano dalla etta di equaione :. Come già fatto nell eseciio 6 sia P(,,) un punto geneico alloa il punto H(,,) (inteseione ta il piano otogonale a passante pe P e la etta ); la distana ta P e H deve essee ( ) + ( ) + ( ) Elevando al quadato si ottiene la seguente equaione: con R ( la supeficie appesentata dall equaione è un cilindo) P H Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/

15 Eseciio Si eminino le equaioni delle ette passanti pe A(,,) paallele al piano µ: ++- che fomano con l asse e l asse angoli uguali. Le ette avanno paameti diettoi [(l,m,n)] e dovanno isultae paallele al piano µ:.l+m+n (a). Inolte, sapendo che l asse delle ha p. di. [(,,)] e l asse delle ha p. di. [(,,)], la ichiesta che abbiano angoli uguali si taduce nella ichiesta che abbiano coseni uguali ta le dieioni: cos(, ) l.+ m.+ n. ± cos(, ) ± l + m + n + + l + m l.+ m.+ n. Imponendo l uguagliana si ottiene l±n (b). Consideando le condiioni (a) e (b) otteniamo due casi (l,-l,l), (l,-l,-l) da cui:[(,-,)] e [(,-,-)]. Le ette hanno equaioni paametiche:. + n + + Leione - Algeba e Geometia - anno accademico 9/ 5