Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A.

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1 Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A.! Divisione tra polinomi ( 2.2 del testo)! La regola di Ruffini ( 2.3 del testo)! I prodotti notevoli ( 2.3 del testo)! Scomposizione dei polinomi in fattori primi ( 2.4 del testo) MATEMATICA CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali

2 Divisione tra due polinomi Dati due polinomi nella stessa lettera P(x) e D(x) di gradi n ed m, se n m esistono e sono univocamente determinati! un polinimio q(x) di gradi n-m! un polinomio r(x) di grado t<m tali che P(x) = q(x)d(x) + r(x) Resto Dividendo Divisore Quoziente Risolvere la divisione P(x):D(x) equivale a trovare I polinomi q(x) e r(x) Se r(x) = 0 " P(x) è divisibile per D(x) e la divisione si dice esatta

3 Divisione tra due polinomi: procedimento P(x) : D(x) 1. Si ordinano i due polinomi P e D secondo le potenze decrescenti di una lettera, indicando con 0 ogni grado mancante in P 2. Si divide il termine di grado massimo di P per il termine di grado massimo D, ottenendo il primo termine del quoziente 3. Si moltiplica il divisore D per il primo termine del quoziente e si sottrae quanto ottenuto dal dividendo " primo resto parziale 4. Se il grado del resto parziale è maggiore o uguale a quello del divisore D si continua la divisione assumendo come dividendo il resto parziale 5. Esempi: (3x 4 10x 3 5x 2 +11x +10) : (3x + 2) (14a 2 + 6a 3 7) : (2a 2 + 4a 5)

4 Divisione di un polinomio per un binomio di primo grado Teorema di Ruffini P(x) : D(x) con D(x) = (x + a) Condizione necessaria e sufficiente affinchè un polinomio P(X) sia divisibile per un binomio del tipo x+a è che si annulli per x= -a P(x) = q(x) (x+a) < P(-a)=0 Dalla dimostrazione deriva un secondo metodo per la divisione di un polinimio per un binomio di primo grado. Esempi: (5x 3 3x +1) : (x 2) (2bx 3 7b 2 x 2 + 3b 3 x b 4 ) : (x + b) (x 3 +8x 2 + 6x 4) : (2x + 3)

5 Prodotti notevoli Alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi (prodotti notevoli) si possono effettuare in modo rapido, ricordando semplici regole Somma per differenza: (A+B)(A-B) = A 2 -B 2 Quadrato di un binomio: (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 Quadrato di un trinomio: (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC Cubo di un binomio: (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 Esempio: (A+B)(A-B)=A 2 AB + BA - B 2 = A 2 -B 2 (A-B) 3 = A 3-3A 2 B+3AB 2 -B 3 (A+B) 2 = (A+B)(A+B)= A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + 2AB + B 2

6 Osserviamo: Potenza di un binomio: (A+B) n (A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3! Polinomio omogeneo di terzo grado! Le potenze del primo termine (A) decrescono da 3 a 0! Le potenze del secondo termine (B) crescono da 0 a 3 Generalizzando: n N! lo sviluppo di (A+B) n contiene sempre n+1 termini! i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali! in ogni termine dello sviluppo gli esponenti del primo termine A decrescono da A n ad A 0 =1 e gli esponenti del secondo termine B crescono da B 0 =1 a B n! i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto Triangolo di Tartaglia (A+B) n = A n +..A n-1 B AB n-1 +B n

7 Coefficienti dello sviluppo di (A+B) n! Triangolo di Tartaglia (A+B) 0 = 1 (A+B) 1 = 1A +1B (A+B) 2 = 1A 2 + 2AB +1B 2 (A+B) 3 = 1A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + 1B 3 (A+B) 4 = 1A 4 + 4A 3 B + 6A 2 B 2 + 4AB 3 +1B 4 (A+B) 5 =! ogni riga inizia e termina con 1! ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente

8 Quadrato di un polinomio (A+B+C+ ) 2 Generalizzazione di: " Quadrato di un trinomio: (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC (A+B+C) 2 = (A+B+C) (A+B+C) = = A 2 +AB+AC+AB+B 2 +BC+AC+BC+C 2 = = A 2 + B 2 + C 2 +2AB + 2AC + 2BC Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: il quadrato di tutti i termini il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono

9 Scomposizione di un polinomio in fattori primi Come un numero può essere scritto come il prodotto di potenze di numeri primi (numeri naturali divisibili solo per 1 e per se stessi): 12 = = così un polinomio può essere scritto come prodotto di polinomi non ulteriormente divisibili (fattori primi): A 2 -B 2 = (A+B)(A-B) La scomposizione in fattori primi è un operazione che in algebra ha molta importanza in quanto consente di! determinare M.C.D. e m.c.m. di polinomi! semplificare frazioni algebriche! risolvere equazioni/disequazioni polinomiali e fratte!

10 Raccoglimento a fattore comune Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione: A(B+C) = AB+AC Viceversa AB+AC = A(B+C) Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore [A], quest ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; all interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore in questione [A] " 9a 2 6ab + 3ac = 3a 9a2 3a 6ab 3a + 3ac % $ ' = 3a(3a 2b + c) # 3a & Raccoglimento a fattore parziale: ax + bx + ay + by = x(a + b)+ y(a + b) = (a + b)(x + y)

11 Scomposizione mediante i prodotti notevoli Binomi " differenza di quadrati a 2 b 2 = ( a b) ( a + b) differenza di cubi a 3 -b 3 = ( a b) ( a 2 + a b + b 2 ) somma di cubi a 3 + b 3 = ( a + b) ( a 2 a b + b 2 ) Trinomi " quadrato di binomio a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b) 2 trinomio notevole x 2 + ( a + b) x + ab = ( x + a) x + b ( )

12 Scomposizione mediante i prodotti notevoli (II) Quadrinomi " cubo di binomio a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = ( a ± b) 3 raccoglimento a fattor comune parziale ax + bx + ay + by = x a + b = ( a + b) ( x + y) ( ) + y ( a + b) =

13 Prodotti notevoli: ( 3a 2b) 4 ( 7xy 2x) 7xy 2x ( ) Scomposizione in fattori primi: Esercizi "R. # 81a 4 216a 3 b + 216a 2 b 96ab 3 +16b 4 $ % "R. # 4x 2 49x 2 y 2 $ % ( 1+ x) 2 (1 x) 2 + 4x [ R. 8x] 5x 3 y 10x 2 y 2 + 5x 2 y " # R. 5x 2 y(x 2y +1) $ % [ ] [ ] [ ] [ ] 2ax + 2bx + 3a + 3b + a 2 + ab R. (a + b)(2x + 3+ a) a(x + y)+ ab(x + y) 2 R. a(x + y)(1+ bx + by) (2 + a b)(2 a + b)+ (a b) 2 R. 4 x 2 + 2x 3 R. (x + 3)(x 1)