ESERCIZI PRECORSO DI MATEMATICA

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1 ESERCIZI PRECORSO DI MATEMATICA EQUAZIONI 1. cot( 10 ) 3. tan 3 3. cos( 45 ) sin sin 5. tan( 180 ) tan( 3) 6. 5 cos 4sin cos 7. 3sin 3 cos cos + sin sin3 sin( 45 + ) 10. 6sin 13sin ( 3 3)tan ( 3 3)tan cos + cos sin 3cos sin( 60 + ) 3 cos 1 DISEQUAZIONI < > log ( 3) > log 4 ( 5 1) 11. 3arctan π 1+ log < 0 1. % 5+ + < >1 5. log >1 log ( 1) 6. log 1/ ( 5 + 6) < log 1/ ( 4) 7. log 3 ( ) < log 3 ( + ) log log 1/4 ( 4) < 0 9. log 1/3 ( 3 ) > log 1/3 ( + 6) ( 13. ) + 1 > > % ' & 9 6( +1) 4 > 1 8 1

2 14. % ( 15. ) >1 +1 > 1 > > % ' & 9 6( +1) 4 > sin 3sin +1> 0 ( )( + b) > 0 ( )( b) > 0 b 17. % + b > 19.! 1 & % 36 +! 7 1 & + 3 < 0 % & 3a + a 0 0. % '& + a a > 0 8. sin cos log ( 1) + log ( +1) > tan 3 sin < >1 3. sin + 3 sin sin sin +1 > sin <1+ sin 35. 4sin 3 >1+ sin ( 1)ln ( +1) 36. > log 1/3 ( 1) > <. + 4 > sin + cos 3 4cos < > sin ( cos 1) > 0 6. sin >1 7. ( 3 sin ) ( sin 1) < < arccos( 3 ) < π 4. % 3( 1 ) < +1 6 > ln 7ln +1 < >

3 45. sin + 3 cos sin 1 > log 1/e 5log 1/e + 4 < arcsin( 7 + 4) > π 48. sin 3 sin < cos 3cos arctan ( 1) > π ! +1 3 < tan > 1 3 cos > 1 1. Data l equazione reali. APPLICAZIONE EQUAZIONE DI SECONDO GRADO ( k 1) + ( k 1) k stabilire per quali valori di k le radici sono. Stabilire per quali valori di a l equazione che verificano la condizione > 5 /. ( 3 a) + ( 3a 10) + a +8 0 ha radici reali GONIOMETRIA 1. Calcolare i valori esatti delle funzioni goniometriche dei seguenti archi: 105 osservando che osservando che osservando che osservando che osservando che osservando che osservando che Calcolare tan( 30 +α) e tan( 45 +α) sapendo che tanα 1/ 3. ( ) e tan ( α β ). 3. Noto che tanα 3 e cosβ 4 / 5 con 0 < β < 90 calcolre tan α + β 4. In un triangolo si ha cosβ 1/ 3 e cosγ / 3. Calcolare le funzioni del terzo angolo. CAMPI DI ESISTENZA 3

4 1. f ( ) ( 4 ) arcsin 7. f ( ) + ln f ( ) ln( 4) 4. f ( ) 1+ lg ( ) arccos( 1) 1/ 3 lncos sin 5. f ( ) ( e e ) + arcsin 6. f ( ) ln ( + 1) e 1 e ln( 4arctan + π ) 7. f ( ) ln 4 ( ) 8. f ( ) log 1/ ( sin 1) 9. f ( ) log π / ( arcsin ) 1 1. f ( ) cos ( 1 sin ) 13. f ( ) 14. f ( ) ( + 1) ln arcsin 1 e arcsin ( + 1) 1 ( ln + 1) 15. f ( ) ln( + 1) 16. f ( ) ( +1) ln 17. ( ) ( 6) f e arctan ( 4) π / 4 e arcsin 18. f ( ) ( arcsin ln ) ln( arcsin +π ) f ( ) ( π 6arcsin ) + ln( cosh 1) 0. f ( ) 6arccos( 1) π 1. f ( ) ln ( ) 10. f ( ) 11. f ( ) 1 tan cos 1 3tan 1 cos sin +1. f ( ) 1 log 3. f 4. f ++1 ( ) e ( ) arcsin 3 1 ( ) GEOMETRIA ANALITICA 1. Calcolare il punto medio dei lati di un triangolo i cui vertici sono di coordinate (1, ), (1, 1) e (-1, 3).. Calcolare l equazione della retta passante per il punto (1, ) e parallela alla retta 3y Calcolare l equazione della retta passante per il punto (-1, 3) e perpendicolare alla retta 3y Calcolare l equazione della retta passante per i punti (1, ) e (-1, 3). 5. Calcolare il valore del parametro k affinché dal fascio di rette di equazione k 3 k ( ) y +1 0 si individui la retta parallela all asse delle ascisse e quella parallela all asse delle ordinate. 6. Calcolare la distanza del punto di coordinate (, -3) dalla retta passante per l origine e per il punto (5, -6). 4

5 7. Calcolare l equazione della parabola di vertice (1, 1) e passante per il punto (-1, ). 8. Calcolare l equazione della parabola passante per i punti (0, -1), (1, 1) e (, -). 9. Determinare le tangenti alla parabola di equazione y e passanti per il punto (3, 4). 10. Determinare l equazione della circonferenza di centro (1, 3) e raggio pari a. 11. Determinare l equazione della circonferenza passate per i punti (0, 0), (1, 0) e (3, 4). 1. Condurre dal punto (-3, -) le tangenti alla circonferenza di raggio 1, passante per il punto, % ' e centro sulla retta y 0. & 13. Calcolare l equazione della tangente alla parabola di equazione y + 1 nel punto P 0 di ascissa 0 1 e disegnarne i grafici. 14. VETTORI 1. Dato un vettore a (-1, 3, ). Calcolare il modulo e l angolo formato dal vettore con l asse z.. Calcolare il modulo della proiezione del vettore a (1, -3, ) nel piano y e l angolo formato dalla proiezione con l asse y. 3. Il vettore a di modulo a 10 forma un angolo di 60 con l asse z e la sua proiezione nel piano y forma un angolo di 45 con l asse. Calcolare le componenti di a lungo i tre assi coordinati. 4. Dati due vettori a (-1, 0, 3) e b (, 1, -1). Calcolare il vettore risultante a + b e a - 3b. 5. Dati tre vettori a, b e c tali che siano soddisfatte le seguenti proprietà: c a + b, e c a + b. Cosa possiamo affermare circa la mutua posizione dei tre vettori? E se la proprietà tra i moduli fosse c a + b? 6. Dati due vettori a, b tali che a + b a b. Quale proprietà soddisfa il vettore b? 7. Dati due vettori a e b di modulo a e b 4. Determinare il modulo del vettore c a + b sapendo che l angolo compreso tra i vettori è Dati due vettori a (-1, 0, 3) e b (, 1, -1), calcolare il prodotto scalare a b ed il prodotto vettoriale a b e b a. 9. Dati i vettori a (-1, 0, 0), b (1, 1, -1) e c (-1, 1, 3), calcolare a (b c). 10. I vettori a e b, appartenenti al piano yz (con y, z > 0), hanno lo stesso modulo ( a b 5) ma formano con l asse z, rispettivamente un angolo di 30 e 60. Calcolare le componenti del vettore a + b e a b. 5

6 11. Dati il vettore a (-1, 0, 3) ed una famiglia di vettori b (, 1, k) con k ε R. Calcolare k tale che b sia ortogonale ad a. Per quale valore di k il modulo di a b ha un estremo. 1. Calcolare l angolo compreso tra i vettori a (-1, 0, 3) e b (0, 1, 3). 13. Dato il vettore a (-1, -5, 0) calcolare l angolo formato tra a e l asse. 14. Un vettore a di modulo 5 è diretto verso est, mentre un vettore b di modulo 4 è diretto verso nord-ovest. Calcolare i vettori a + b e a b ed i rispettivi moduli. 6