Calcolo delle probabilità. 3. La probabiltà nella concezione frequentista. 4. La probabiltà nella concezione soggettiva

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1 Calcolo delle probabilità. Gli eventi - definizioni propedeutiche 2. La probabiltà nella concezione classica. La probabiltà nella concezione frequentista 4. La probabiltà nella concezione soggettiva. La probabiltà nell impostazione assiomatica. Formule del calcolo delle probabilità a) Probabilità dell evento complementare b) Probabilità della somma logica c) Probabilità condizionata ed eventi dipendenti e indipendenti d) Probabilità composta o del prodotto logico e) Probabilità totale o completa f) Probabilità nello schema di Bernoulli delle prove ripetute g) Teorema di Bayes h) Probabilità nel continuo 7. Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità 8. Esercizi. Gli eventi - definizioni propedeutiche Ad ogni prova o esperimento o fenomeno, reale o concettuale (lancio di un dado, estrazione di una carta, di un numero del lotto, di un pezzo prodotto da un amacchina, ecc.) si può associare un insieme U, detto universo o spazio dei campioni o spazio degli eventi, i cui elementi sono tuti i possibili risultati dell esperimento o prova o fenomeno.

2 Esempio Per l esperimento lancio di un dado, l universo è U={,2,,4,,}, sono eventi, per esempio: A: la faccia che compare è un numero primo, A={2,,} B: la faccia che compare è un numero pari, B={2,4,} C: la faccia che compare è un numero dispari, C={,,} in particolare: Φ: l evento impossibile corrisponde all insieme vuoto (compare un numero > ) U: l evento certo corrisponde all insieme universo (compare un numero < 7) Evento contrario o complementare Se A è un evento, con A U, il suo contrario o complementare è Ā, l evento che si verifica se e solo se non si verifica A, con A Ā =U. Esempio Per l esperimento lancio di un dado, si ha: universo U={,2,,4,,} evento A: la faccia che compare è un numero primo, A={2,,} evento contrario o complementare Ā : la faccia che compare non è un numero primo, Ā ={,4,} A Ā = U={,2,,4,,}. Eventi compatibili e incompatibili Due eventi A e B si dicono incompatibili se i loro sottoinsiemi sono disgiunti, cioè se A B=Φ. Esempio 2

3 Per l esperimento estrazione di una carta da un mazzo da 40 carte, si ha: universo U={x/x è una delle 40 carte del mazzo} e consideriamo i seguenti eventi: A: compare una carta di spade, A={x/x è una delle 0 carte di spade} B: compare una carta di denari, A={x/x è una delle 0 carte di denari} C: compare una figura, C={x/x è una delle 2 figure} avremo che: A e B sono eventi incompatibili, A B=Φ. A e C o B e C sono coppie di eventi compatibili, A C Φ e B C Φ. 2. La probabiltà nella concezione classica (Pierre-Simon Laplace - Beaumont-en-Auge Parigi 827) La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto fra il numero k dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, giudicati egualmente possibili: P(E)= k n con 0 P(E), P(E)ǫQ P(E)= 0 significa evento impossibile, P(E) = significa evento certo. Esempi. In un contenitore ci sono 4 biglie, delle quali 7 bianche, 4 rosse e nere; qual è la probabilità P(E) che estraendone una, essa sia bianca? P(E)= 7 4 = 2 [0%]

4 2. Qual è la probabilità P(E) di vincere il terno, giocando tre numeri al lotto su di un unica ruota? (Si estraggono per ogni ruota dei primi 90 numeri interi; gli eventi possibili sono quindi n= 90, mentre quelli favorevoli sono pari al numero delle cinquine che contengono i tre numeri giocati, assieme ad altri due qualsiasi degli 87 numeri rimanenti, quindi sono tanti quante le combinazioni di 87 numeri presi 2 alla volta, cioè k= 87 2 ). P(E)= 87 2 ( 90 )= 748. Nel lancio di un dado calcolare la probabilità di ottenere un numero dispari: P(E) = /. 4. Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte, calcolare la probabilità di ottenere una figura: P(E) = 2/40.. Si lanciano due dadi, calcolare la probabilità di avere due numeri uguali: i casi possibili sono D,2 = 2 = ; i casi favorevoli sono, quindi P(E) = / = /.. Si lanciano due dadi, calcolare la probabilità di avere come somma delle due facce: i casi possibili sono D,2 = 2 = ; i casi favorevoli sono 4: (;4), (4;), (2;), (;2), quindi P(E) = 4/ =/9. 7. Si lanciano monete; calcolare la probabilità di avere due teste e una croce: i casi possibili sono D 2, =2 =8, (T;T;T), (C;C;C), (T;T;C), (T;C;T), (C;T;T), (C;C;T), (C;T;C), (T;C;C); i casi favorevoli sono, (in grassetto), quindi P(E) = /8. 8. Un urna contiene palline rosse e 0 palline nere tutte uguali fra loro, distinguibili solo per il colore. Si estraggono contemporaneamente 2 palline. 4

5 Calcolare: a) la probabilità di estrarre 2 palline rosse; b) la probabilità di estrarre pallina rossa e pallina nera. I casi possibili sono C,2 = ( 2 ) = 0. a) casi favorevoli : C,2 = 2 = 0, quindi P(E)=0/0=2/2; b) casi favorevoli : 0 = 0, quindi P(E)=0/0=0/2.. La probabiltà nella concezione frequentista Non è sempre possibile applicare la definizione classsica di probabilità, come per esempio quando i casi possibili e quelli favorevoli sono molto numerosi o addirittura infiniti, oppure quando si devono calcolare probabilità di eventi quali la probabilità che una persona di 0 anni raggiunga l età di 70, che da una macchina esca un pezzo difettoso in un determinato intervallo di tempo, che un farmaco dia esiti positivi nella cura di una patologia, ecc. Questi eventi sono trattati mediante la concezione frequentista che si può applicare quando si possono eseguire tante prove (esperimenti), oppure quando sono disponibili tavole di rilevazioni statistiche. La concezione frequentista è basata sulla definizione di frequenza relativa di un evento. Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l evento si è verificato ed il numero n delle prove effettuate: f = k n con 0 f, fǫq Nel contesto frequentista non si può più parlare di evento impossibile, se f = 0, o di evento certo, se f =, ma, fatto importante, che il rapporto f tende a stabilizzarsi, se il numero di prove n è sufficientemente alto. Per eventi, per i quali è possibile calcolare la probabilità secondo la concezione classica, viene enunciata la legge empirica del caso: in una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite nelle stesse condizioni, la frequenza tende ad assumere valori prossimi alla probabilità dell evento e, generalmente, l approssimazione è tanto maggiore quanto più grande è il numero delle prove eseguite. Dalla legge empirica del caso segue la definizione frequentista di probabilità:

6 la probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero di prove ritenuto sufficientemente elevato. Esempio Dalle tavole demografiche maschili si rileva che uomini di 0 anni, 9.90 ragiungono i 70 anni, dalle tavole demografiche femminili si rileva che di 9.09 donne di 0 anni 7.92 raggiungono i 70 anni. Calcolare per gli uomini e per le donne di 0 anni la probabilità di raggiungere i 70 anni. P uomini= f u = 9.90 F 0, 78, cioè circa il 7% P donne = f d = 7.92 F 0, 80, cioè circa l 82% La probabiltà nella concezione soggettiva Il calcolo delle probabilità effettuato mediante i criteri oggettivi delle concezioni classica e frequentista non è applicabile in molti contesti, per i quali si può procedere solo con criterio soggettivo, come, per esempio, per rispondere ai seguenti quesiti: qual è la probabilità che la squadra di calcio X vinca lo scudetto? qual è la probabilità che il nuovo modello di automobile Y incontri il favore del pubblico? In questi casi si stima la probabilità in base allo stato di informazione: la probabilità P(E) di un evento E è la misura che un individuo coerente attribuisce, in base alle sue informazioni ed alle sue opinioni, al verificarsi dell evento E. L individuo coerente" deve attribuire lo stesso valore di probabilita a fenomeni simili (il tifoso non sempre è coerente). P(E)=attribuzione soggettiva con 0 P(E), P(E)ǫR P(E)= 0 significa evento giudicato impossibile, P(E) = significa evento giudicato certo. Esempio Un imprenditore può attribuire una valutazione prudente del 40% al successo del nuovo modello di automibile Y, un altro imprenditore, con le stesse informazioni, può azzardare una probabilità di successo più ardita, del 0%.. La probabiltà nell impostazione assiomatica

7 Nella sua accezione più generale la probabilità rappresenta una misura della possibilità di realizzazione di un evento E Ue si esprime mediante un rapporto. Il modo in cui vengono determinati i valori di probabilità dipende dalla natura del fenomeno aleatorio studiato (ambito classico, frequentista, soggettivo), tuttavia, qualunque sia il modo in cui viene valutata la probabilità, essa gode di alcune proprietà che possono essere formalizzate e generalizzate utilizzando il linguaggio della matematica e, più in particolare il linguaggio degli insiemi. Questa formalizzazione è detta probabilità assiomatica. Gli assiomi La probabilità P(E) di un evento E U è una funzione che associa ad ogni evento dell universo un numero reale, in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi: I. P(E) 0 II. P(U)= III. Se E ed E 2 sono incompatibili, ossia E E 2 =, si ha P(E E 2 )=P(E ) + P(E 2 ) Le proprietà Dagli assiomi si deducono (si dimostrano) le seguenti proprietà: a) L evento impossibile φ ha probabilità zero: P(φ)=0 b) Probabilità dell evento contrario o complementare Ē : P(Ē)=-P(E) c) Dall assioma I e dalla precedente si deduce che la probabilità è un numero compreso fra zero e uno: 0 P(E) d) Generalizzazione dell asioma III: se E, E 2,..., E n sono incompatibili a due a due, ossia E i E j = i,j n coni j, si ha P(E E 2. E n )=P(E )+P(E 2 )+...+P(E n ) 7

8 e) Se E, E 2,..., E n sono n eventi elementari, incompatibili a due a due, e se la loro unione è l universo, cioè se E i E j = i,j n coni j, e E E 2. E n =U, si ha P(E E 2. E n )=P(E )+P(E 2 )+...+P(E n )=P(U)= Osservazione La probabilità secondo la concezione classica è un caso particolare della probabilità assiomatica, infatti se si agggiunge l ipotesi che gli eventi siano equiprobabili, ciascun evento avrà probabilità P(E i )= (i=,2,...,n) e se E è un evento unione n di m eventi elementari, si avrà P(E)= m n. f) Se E E 2 allora la probabilità della differenza fra E ed E 2 è uguale alla differenza delle probabilità: P(E \E 2 )=P(E ) P(E 2 ). Formule del calcolo delle probabilità Dagli assiomi e dalle proprietà da essi dedotte nel n. si ottengono le seguenti formule-teoremi per il calcolo delle probabilità. a) Probabilità dell evento complementare (o contrario) P(Ā)=-P(A) Esempio: nel lancio di un dado considero l evento A: si presenta un numero maggiore di 4 l evento contrario è Ā : si presenta un numero non maggiore di 4 risulta: U ={,2,,4,,};A={,}; Ā={,2,,4} P(Ā)= - P(A)= - 2 = 4 = 2. b) Probabilità della somma logica Si definisce somma logica o unione di due eventi A e B, l evento A Bche si verifica quando si verifica uno degli eventi A o B. La probabilità della somma logica di due eventi è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi diminuita della probabilità della intersezione dei due eventi. P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) 8

9 In particolare, se gli eventi sono incompatibili A B=φ, quindi P(A B)=P(A)+P(B) In generale per più di due eventi: P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C) Esempio Nel lancio di un dado considero gli eventi A: si presenta un numero maggiore di B: si presenta un numero primo l evento somma logica o unione è A B : si presenta un numero maggiore di o un numero primo risulta: U ={,2,,4,,};A={4,,};B={2,,} P(A B)=P(A)+P(B) - P(A B)= + - = Esempio 2 Estraendo una carta da un mazzo da 40, considero gli eventi A: si presenta una carta di coppe B: si presenta una figura (fante, cavallo, re) di spade o di bastoni l evento somma logica o unione è A B : si presenta una carta di coppe o una figura di spade o di bastoni risulta: U ={40 carte};a={0 carte di coppe}; B={ figure di spade o di bastoni} P(A B)=P(A)+P(B) - P(A B)= = 40 Probabilità condizionata ed eventi dipendenti e indipendenti 9

10 in questo caso P(A B)=P(A)+P(B) A B=φ, gli eventi A e B sono incompatibili, quindi gli insiemi A e B sono disgiunti. Esempio Un urna contiene 0 palline numerate, si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che sia un numero pari, o un numero divisibile per o un numero maggiore di 0: A: si estrae un numero pari B: si estrae un numero divisibile per C: si estrae un numero maggiore di 0 l evento somma logica o unione è A B C : viene estratto un numero pari, o un numero divisibile per o un numero maggiore di 0 risulta: U ={0 numeri};a={2 numeri pari};b={0 numeri divisibili per} C={20 numeri maggiori di 0} P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)+P(A B C) P(A B C)= =

11 Esempio 4 Si lanciano 2 dadi, calcolare la probabilità che si presenti la faccia 4 almeno su un dado (P(A B) ). Considera i seguenti eventi: A: esce 4 sul primo dado e un qualunque numero sul secondo B: esce 4 sul secondo dado e un qualunque numero sul primo A B: esce 4 su entrambi i dadi A B: esce 4 su almeno un dado con P(A) = P(B) = = D,2 e P(A B)= P(A B)=P(A)+P(B) - P(A B) = + = oppure P(A B)= P(A B )= D,2 = 2 D,2 = c) Probabilità condizionata ed eventi dipendenti e indipendenti Si definisce probabilità di un evento A condizionata dall evento B (si indica P(A/B) ), la probabilità del verificarsi di A nell ipotesi che B si sia verificato. Se B non si verifica, l evento A/B non è definito. P(A/B) = P(A B) P(B) Si possono presentare i seguenti casi: P(A/B)<P(A) gli eventi A e B sono dipendenti, correlati negativamente, cioè l informazione ha diminuito la probabilità di A; P(A/B)>P(A) gli eventi A e B sono dipendenti, correlati positivamente, cioè l informazione ha aumentato la probabilità di A; P(A/B)=P(A) gli eventi A e B sono stocastimente indipendenti, l informazione non ha modificato la probabilità di A. La relazione di indipendenza stocastica è simmetrica, cioè se A è indipendente da B, anche B è indipendente da A. Esempio

12 Un urna contiene 90 palline numerate da a 90. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità che esca un numero divisibile per subordinatamente all ipotesi che sia uscito un numero pari. Considero gli eventi A: esca un numero divisibile per ; P(A)= 8 90 = B: esca un numero pari ; P(B)= 4 90 P(A B)= 9 90 P(A/B) = P(A B) P(B) = = 9 4 = In questo caso P(A)=P(A/B) gli eventi A e B sono stocasticamente indipendenti. Esempio 2 Si lanciano 2 dadi e, considerati gli eventi A e B indicati sotto, calcolare P(A/B) e P(B/A). Considero gli eventi A: la somma dei punti è 8 ; P(A)= {(2;),(;2),(;),(;),(4;4)} B: almeno su un dado è uscito il numero ; P(B)= + = (vedi esempio.b.4) P(A B)= 2 {(2;),(;2)} P(A/B) = P(A B) P(B) = 2 = 2 ; P(B/A) = P(A B) P(A) = 2 = 2 In questo caso P(A/B)>P(A) e P(B/A)>P(B) gli eventi A e B sono dipendenti, correlati positivamente, cioè l informazione ha aumentato le probabilità di A e di B. Esempio Un urna contiene 90 palline numerate da a 90. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità che esca un numero divisibile per subordinatamente all ipotesi che sia uscito un numero minore di 2. Considero gli eventi 2

13 A: esca un numero divisibile per ; P(A)= 8 90 = B: esca un numero minore di 2 ; P(B)= P(A B)= 4 90 P(A/B) = P(A B) P(B) = = 4 24 = In questo caso P(A/B)<P(A) gli eventi A e B sono dipendenti, correlati negativamente, cioè l informazione ha diminuito la probabilità di A. d) Probabilità composta o del prodotto logico La probabilità dell evento composto, o del prodotto logico A B, è uguale al prodotto della probabilità di uno dei due eventi per la probabilità dell altro condizionata al verificarsi del primo. P(A B)=P(A) P(B/A) oppure P(A B)=P(B) P(A/B) Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti si ha: P(A B)=P(A) P(B) Esempio Un urna contiene palline numerate da a ; si estraggono successivamente due palline rimettendo la prima estratta nell urna. Calcolare la probabilità che si estraggano due numeri dispari. Gli eventi sono logicamente e quindi anche stocasticamente indipendenti ( evento logicamente indipendente evento stocasticamente indipendente ) P(A B)=P(A) P(B) ; A: il primo numero estratto è dispari ; P(A)= B: il secondo numero estratto è dispari ; P(B)= P(A B)= = 9 2 Esempio 2

14 Un urna contiene palline numerate da a ; si estraggono successivamente due palline senza rimettere la prima estratta nell urna. Calcolare la probabilità che si estraggano due numeri dispari. Gli eventi sono stocasticamente dipendenti P(A B)=P(A) P(B/A) A: il primo numero estratto è dispari ; P(A)= B: il secondo numero estratto è dispari ;P(B)= ; P(B/A)=2 4 = 2 P(A B)= 2 = 0. e) Probabilità totale o completa Consideriamo una partizione di un universo U di eventi costituita da n eventi E i non impossibili, incompatibili a due a due e tali che la loro somma logica sia l evento certo U. Su questa partizione valutiamo la probabilità di un evento A : n P(A)= P(E i ) P(A/E i ) i= fig.e Si hanno tre urne: Esempio ^ urna: contiene 2 palline rosse e 8 palline verdi 2^ urna: contiene 0 palline rosse e palline verdi ^ urna: contiene 9 palline rosse e palline verdi Si getta un dado e, detto n il numero uscito, si considerino i seguenti eventi: E : se n < 4 si estrae una pallina dalla prima urna; P(E )= 4

15 E 2 : se n > 4 si estrae una pallina dalla seconda urna; P(E 2 )= 2 E : se n = 4 si estrae una pallina dalla terza urna; P(E )= Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia rossa. A: viene estratta una pallina rossa P(A/E )= 2 20 ; P(A/E 2)= 0 2 ; P(A/E )= 9 P(A)= P(E i ) P(A/E i )= i= = 8 Esempio 2 Si hanno tre macchine che producono lo stesso oggetto, con le seguenti caratteristiche: ^ macchina: produce 0 pezzi all ora con il % di pezzi difettosi 2^ macchina: produce 4 pezzi all ora con il 0% di pezzi difettosi ^ macchina: produce 2 pezzi all ora con il 4% di pezzi difettosi Scelto a caso un pezzo dal magazzino, qual è la probabilità che sia difettoso? Considero gli eventi M : pezzi prodotti dalla ^ macchina; P(M )= 0 00 M 2 : pezzi prodotti dalla 2^ macchina; P(M 2 )= 4 00 M : pezzi prodotti dalla ^ macchina; P(M )= 2 00 D: viene scelto un pezzo difettoso P(D/M )=,8 0 ; P(D/M 2)= 4, 4 ; P(D/M )= 2 P(D)= P(M i ) P(D/M i )= 0 i= 00, = 7, 00 f) Probabilità nello schema di Bernoulli delle prove ripetute (Jakob Bernoulli - Basilea 4-70)

16 Lo schema di Bernoulli può in generale essere descritto mediante la seguente definizione: si dice esperimento di Bernoulli una sequenza di n prove (eventi) con le seguenti caratteristiche (per es. una serie di lanci di una moneta, con p=/2): ) il risultato di ogni prova può essere solo successo o fallimento; 2) il risultato di ciascuna prova è indipendente dai risultati delle prove precedenti; ) la probabilità p di successo, e quindi la probabilità contraria q = - p di fallimento, sono costanti in ciascuna prova. Consideriamo due casi particolarmente interessanti di calcolo delle probabilità nell ambito dello schema di Bernouilli, che si risolvono mediante le formule binomiale e geometrica. f.) Formula binomiale Si vuole calcolare la probabilità P k che, su n prove, k diano esito positivo. Supponiamo che abbiano dato esito positivo le prime k prove, allora per il principio della probabilità composta si ha: n k P primek =p p 2. p k q q 2. q n k =pk q Poichè le k prove ottenute con successo si possono raggruppare con le altre n-k in C n,k combinazioni (C n,k =P k,n k n! n = ), si ottiene: k!(n k)! P k = n k pk q n k 0 k n Esempio Si lancia 8 volte una moneta. Calcolare la probabilità di avere: a) per volte testa b) almeno per volte testa Risposta a) P = ( 8 ) ( 2 ) = = 2! 2 2 = 7 2 Risposta b)

17 E : almeno per volte testa per volte testa o per o per 7 o per 8 volte P(E)=P +P +P 7 +P 8 P = 2 ; P = ( 8 P 7 = ( 8 7 P 8 = ( 8 8 ) 2 = 28 F ; ) 7 = ; ) 8 = 2 2 ; P(E)= = 9 2 Esempio 2 Una macchina produce pezzi con tasso di difettosità del 0%. Su un campione di 0 pezzi, qual è la probabilità che, al massimo, vi sia un pezzo difettoso? Considero gli eventi E : al massimo un pezzo è difettoso nessun pezzo è difettoso o un pezzzo è difettoso P(E)=P 0 +P P 0 = ( 0 0 ) ( 0 ) ( ) ( 9 0 ) 0 ( 9 = 0 ) 9 ( 9 = 0 ) ( P = ( ( 9 P(E)= + = ) 0 ; P 0 F 0, 487 ( 4,87 % ) ) 9 ; P F 0, 874 ( 8,74 % ) ) 9 ( 9 0 ) F 0, 7 (7, %) f.2) Formula geometrica Si vuole calcolare la probabilità P(n) che il primo evento favorevole (successo) in una sequenza bernoulliana avvenga alla n-esima prova. P(n)=q n p infatti, se che hanno dato esito negativo (fallimento) le prime n- prove, allora per il principio della probabilità composta si ha: 7

18 P(n)=q q 2. q n p=q n p Osservazione Al variare di n si ottiene una sequenza (distribuzione) di probabilità che costituisce una progressione geometrica di ragione q; da qui il termine formula geometrica : n P(n) p 2 q p q 2 p 4 q p P(n+)... q4 p P(n) =q (ragione) Esempio Una coppia di dadi viene lanciata ripetutamente finchè non compare una coppia di. Calcolare: a) la probabilità che compaia al secondo lancio (n=2); b) il minimo numero di n lanci richiesti perchè la probabilità sia minore di 0,024. Risposta a) p= ; probabilità che compaia una coppia di q= ; probabilità che non compaia una coppia di quindi P(2)=q p= = F 0, Risposta b) P(n)<0, 024 q n p<0,024; n >log q 0, 024 p n >log ln(0, 84) (0, 024 ) ; n>+ ln(/) F,2;, quindi il minimo numero di lanci richiesti è n=7. ; g) Teorema di Bayes (Thomas Bayes - Londra, 702-7) Dal teorema della probabilità composta (d) e considerando gli eventi A ed E, si può scrivere P(A E)=P(A) P(E/A) =P(E) P(A/E), si ottiene 8

19 P(E/A)=P(E) P(A/E) P(A) relazione di Bayes per un solo evento E. La formula generale del teorema di Bayes si ottiene considerando la situazione di figura e per la probabilità totale: n poichè P(A)= P(E i ) P(A/E i ), i= si ricava P(A/E i ) P(E i /A)=P(E i ) n P(E i ) P(A/E i ) i= Esempio Riprendiamo l esempio (e) e, nell ipotesi che sia uscita la pallina rossa, calcoliamo la probabilità che questa provenga dalla prima urna. Considero gli eventi E : la pallina rossa proviene dalla prima urna; P(E )= A: è stata estratta una pallina rossa; P(A)= P(E i ) P(A/E i )= 8 i= P(A/E )= 2 20 Probabilità che la pallina rossa estratta provenga dalla prima urna: 2 P(E /A)= 20 = 9 8. Esempio 2 Riprendiamo l esempio (2e) e, nell ipotesi che sia uscito un pezzo difettoso, calcoliamo la probabilità che questo provenga dalla seconda macchina. 9

20 Considero gli eventi M 2 : il pezzo difettoso proviene dalla seconda macchina; P(M 2 )= 4 00 D: è stato estratto una pezzo difettoso; P(D)= P(M i ) P(D/M i )= 7, i= 00 P(D/M 2 )= 4, 4 Probabilità che il pezzo difettoso uscito provenga dalla seconda macchina: P(M 2 /D)= = 7, = , h) Probabilità nel continuo Se l insieme U è continuo, per esempio, segmento, arco di circonferenza, superficie, ecc., la funzione che viene assunta come probabilità è la misura, soddisfacente agli assiomi del n. (concezione assiomatica), sull insieme U, assunto come unità di misura. Esempio Scelti a caso due numeri x, y compresi fra 0 e, calcola la probabilità P che la somma dei loro quadrati sia non superiore a. x 2 +y 2 0 x 0 y L insieme universo è costituito dalle coppie (x, y) di numeri reali tali che 0 x e 0 y. π area settore OAC Deve essere P = area quadrato OABC = 4 = π 4 7. Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità Una variabile casuale X o aleatoria o stocastica, è una funzione dello spazio U degli eventi che associa ad ogni evento E i, appartenente ad una partizione di U, un numero rale x i, al quale corrisponde la probabilità p i dell evento stesso e si scrive: 20

21 P(X=x i )=p i Si definisce distribuzione di probabilità della variabile X o, semplicemente, distribzione della variabile aleatoria X, l insieme dei valori p i. Esempio Si lancia tre volte una moneta; l insieme universo è formato da 8 eventi: U={TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC} Consideriamo la variabile casuale X= il numero di teste che si possono presentare ; X può assumere i valori x =, x 2 =2, x =, x 4 =0, con probabilità p(x )= 8, p(x 2)= 8, p(x )= 8, p(x 4)= 8. Valorix i dix Probabilità p i di x i Esempio 2 Si lanciano due dadi; l insieme universo è formato da D,2 = 2 = eventi: U={(,), (,2), (,),..., (,), (,)} 2

22 Consideriamo la variabile casuale X= somma dei punti ; Valorix i dix 2 Probabilità p i di x i Esempio Si esegue un controllo di qualità sulla produzione di un componente elettronico esaminando un campione di elementi scelti a caso. Sapendo che il tasso di difettosità della produzione è del 20%, studiare la variabile aleatoria X= numero di pezzi difettosi del campione : La variabile casuale può assumere uno dei valori 0,, 2,, 4,, con le probabilità calcolate con la formula binomiale delle prove ripetute: P k = ( ) 0,2k 0,8 k k Valorix i dix Probabilità p i di x i 0 0, 278 0, , , , , Esercizi Esercizio 22

23 Scegliendo a caso due numeri reali x e y, tali che x + y, determia la probabilità P che la loro somma sia maggiore di /4. Il luogo dei punti che soddisfano alla relazione x + y è il quadrato ABCD di area A=2, mentre il luogo dei punti che soddisfano alla relazione quindi P= A A = x+y> 4 x + y è il rettangolo EBCF di area A = 4, 4 2 = 8. Esercizio 2 Un insetticida uccide una specie di insetti con probabilità del 99,9% e le loro uova con probabilità del 99%. Se in una casa ci sono un centinaio di tali insetti e un centinaio di loro uova, qual è la probabilità che l insetticida risolva il problema? Considero gli eventi I: viene ucciso un insetto ; P(I)=0,999; U: viene ucciso un uovo ; P(U)=0,99; per 00 insetti e per 00 uova si ha: eventi indipendenti) P(I 00 )=0, ; P(U 00 )=0, (prob. composta o del prodotto logico per (I 00 U 00 ): vengono uccisi tutti gli insetti e tutte le uova ; (ancora prodotto logico per eventi indipendenti) P(I 00 U 00 )=P(I 00 ) P(U 00 ) =0, , F 0, 2 (F %). 2

24 Esercizio Si lanci più volte un dado le cui facce sono numerate da a e si calcoli: a) la probabilità che il esca al 4 o lancio; b) il minimo valore di n affinchè la probabilità che il esca all n-esimo lancio sia minore di 0,02. Risposta a) Considero gli eventi (prove ripetute bernoulliane - formula geometrica.f.2) E: esce il numero da un lancio ; P(E)= ; Ē : non esce il numero da un lancio ; P(Ē )= ; la probabilità che il esca al 4 o lancio è: P=P(Ē ) P(E)= = 2 29 Risposta b) sia P< 0,02, quindi 0,02 > n n > ln(0, 2) log ( 0, 02)= F, ln(/) n >,+=2, n minimo =. Esercizio 4 Sapendo che in un lancio di dadi si è totalizzata la somma, qual è la probabilità che uno almeno dei tre numeri apparsi sia? Stabilire inoltre come gli eventi sono fra loro correlati. 24

25 Considero gli eventi relativi al lancio di tre dadi A: si è totalizzata la somma ; P(A)= 0 = 0 D, B: almeno uno dei tre numeri apparsi sia ; P(B)= 9 = 9 2 [ ] P(B)= P(B )= D, = 2 = D, 2 = 9 2 A B: si è totalizzata la somma ed è apparso almeno un ; F 0, 42 P(A B)= B/A: almeno uno dei tre numeri apparsi sia, sapendo che si è la somma : P(B/A) = P(A B) = 0 = P(A) = 0 = 0, totalizzata In questo caso P(B/A)>P(B) gli eventi B e A sono dipendenti, correlati positivamente, cioè l informazione ha aumentato la probabilità di B. Esercizio Un urna contiene palline bianche e 7 nere. Calcola la probabilità P che estraendone insieme a) non siano tutte dello stesso colore b) siano tutte dello stesso colore. Risposta a) Considera gli insiemi di eventi U: Universo o spazio degli eventi di cardinalità C 2, (numero di eventi possibili) A: le tre palline estratte non siano tutte dello stesso colore di cardinalità 7C,2 + C 7,2 (numero degli eventi favorevoli), dove 7C,2 è il numero di estrazioni possibili senza avere palline bianche, C 7,2 è il numero di estrazioni possibili senza avere palline nere. Quindi P = 7C,2+C 7,2 = = 7 C 2, = 44. Risposta b) L evento le tre palline estratte siano tutte dello stesso colore è l evento contrario o complementare dell evento A, quindi P(Ā)= P(A)= 44 =

26 Esercizio Studiando l andamento in Borsa di un titolo T, si osserva che se un giorno il valore di T aumenta, c è la probabilità di /4 che aumenti anche il giorno successivo; diminuisce, c è la probabilità di /0 che aumenti anche il giorno successivo. Se lunedì il valore di T è aumentato, qual è la probabilità che giovedì aumenti? Considero gli eventi elementari E : ieri il valore di T è aumentato Ē : ieri il valore di T è diminuito A: oggi il valore di T aumenta, P(A)= 4 P(E)+ 0 P(Ē) quindi si ha Martedì P(A)= = 4 Mercoledì P(A)= = = Giovedì P(A)= ( ) = 77 =0, 4887 (F 48%). 00 Esercizio 7 Un azienda produce articoli con probabilità di difetto del 2%. Ogni articolo passa al collaudo che ha la probabilità del 92% di rilevare il difetto; in tal caso l articolo viene scartato. Può accadere che l ispettore rilevi con probabilità 0,% dei difetti inesistenti. Calcolare la probabilità che: a) l articolo sia scartato b) l articolo sia scartato per sbaglio c) l articolo difettoso superi il collaudo. Considero gli eventi 2

27 D: viene prodotto un pezzo difettoso ; P(D)=2% S/D: un pezzo difettoso viene rilevato e scartato ; P(S/D)=92% S /D: un pezzo difettoso non viene rilevato e scartato ; P(S /D)=8% S/D : un pezzo non difettoso viene rilevato e scartato ; P(S/D )=0,% Risposta a) La probabilità che il pezzo sia difettoso e venga scartato è P(D S)=P(D) P(S/D)=0, 02 0, 92=0, 084 la probabilità che il pezzo non sia difettoso e venga scartato è P(D S)=P(D ) P(S/D )=0, 98 0, 00=0, la probabilità che il pezzo venga scartato è la somma logica (di due eventi incompatibili) P[(D S) (D S)]=P(D S)+P(D S)=0, 084+0, 00098=0, 098 (, 98%) Risposta b) La probabilità che il pezzo non sia difettoso e venga scartato è P(D S)=P(D ) P(S/D )=0, 98 0, 00=0, (0,098%) Risposta c) La probabilità che il pezzo difettoso superi il collaudo (cioè che il pezzo sia difettoso e non venga scartato) è P(D S ))=P(D) P(S /D)=0, 02 0, 08=0, 00 (0,%) Esercizio 8 Un sacco contiene 4 gettoni rossi, numerati da a 4 e gettoni azzurri, numerati da a 7. Si estraggono a caso due gettoni. Calcola la probabilità che a) i gettoni siano dello stesso colore b) la somma dei due gettoni sia dispari c) la somma dei due gettoni sia dispari nel caso in cui si estraggono gettoni dello stesso colore. 27

28 Considero gli eventi R: vengono estratti due gettoni rosssi ; P(R)= C 4,2 C 7,2 = 2 = 2 7 A: vengono estratti due gettoni azzurri ; P(A)= C,2 C 7,2 = 2 = 7 Risposta a) La probabilità P(C) che i gettoni siano dello stesso colore (cioè o due rossi o due azzurri) è la somma logica du due eventi incompatibili: P(C)=P(R A)=P(R) +P(A)= = 7. Risposta b) Le coppie di gettoni che possono dare per somma un numero dispari sono 4 dispari per pari = 2, quindi: D: la somma due gettoni sia dispari ; P(D) = 2 C 7,2 = 2 2 = 4 7. Risposta c) considero gli eventi C: i due gettoni estratti hanno lo stesso colore ; P(C)= 7 C/D: estraggo due gettoni dello stesso colore nell ipotesi che la loro somma sia dispari ; P(C/D)=P((R/D) (A/D))= P(R/D)+P(A/D)= = 2 D/C: estraggo due gettoni dispari nell ipotesi di aver estratto due gettoni dello stesso colore ; per il teorema di Bayes si ha P(D/C)=P(D) P(C/D) = 4 P(C) 7 2 = = 2. 7 In questo caso P(D/C)>P(D) gli eventi D e C sono dipendenti, correlati positivamente, cioè l informazione ha aumentato la probabilità di D. Esercizio 9 28

29 Consideriamo due urne A e B di cui: A contiene 7 palline rosse e palline nere; B contiene palline rosse e 2 palline nere; Si sceglie a caso una delle due urne, con P(A)=P(B)=/2, e si estrae una pallina. Calcola la probabilità che a) esca una pallina rossa e provenga da A; b) esca una pallina rossa e provenga da B; c) esca una pallina rossa; d) provenga da A, sapendo che è rossa. Risposta a) Considero gli eventi R: esce una pallina rossa R A =R A : esce una pallina rossa e proviene da A ; P(R A )=P(R A)=P(A) P(R/A)= = Risposta b) Considero gli eventi R: esce una pallina rossa R B =R B : esce una pallina rossa e proviene da B ; P(R B )=P(R B)=P(B) P(R/B)= 2 7 = 4. Risposta c) Considero l evento R: esce una pallina rossa ; (esce una pallina rossa o da A o da B) cioè R=R A R B ; P(R)=P(R A R B )=P(R A )+P(R B )= = Risposta d) 29

30 Considero l evento A/R: provenga da A, sapendo che è rossa ; P(A/R)=P(A) P(R/A) P(R) = 2 o anche P(A/R)= P(R A) = P(R) 7 0 = = = = (formula di Bayes) Esercizio 0 Quante volte bisogna lanciare un dado perchè la probabilità di avere almeno un due sia del 99%? Considero gli eventi: E : esce il due con il lancio di un dado ; P(E)= Ē : non esce il due con il lancio di un dado ; P(Ē )= Dopo n lanci la probabilità P che il due sia comparso almeno una volta è: P= ( n n ) n 0+ ( n n ( cioè P = + ) n ( n 0 ) n ) 0 ( + n n 2 ) n = ( ) n 2 ) n, ( 2+.+ ( n ) n quindi ( ) n =0,99 n= ln(0, 0) ln(/) F 2, 2, cioè n=2. Secondo metodo: più semplicemente possiamo considerare la probabilità P che in n lanci il due non compaia mai: n ln(0, 0) P = = 0,0 n= F 2, 2, cioè n=2. ln(/) Esercizio Un concorso prevede che si risponda a un questionario costituito da 0 domande ognuna delle quali prevede risposte, una sola delle quali è corretta. a) Qual è la probabilità di rispondere correttamente a tutte le domande? 0

31 b) Qual è la probabilità di vincere il concorso se basta rispondere esattamente a 7 domande? Risposta a) A: rispondo correttamente alla domanda ; P(A)= Ā : non rispondo correttamente alla domanda ; P(A )= 4 La probabilità di rispondere correttamente a tutte le domande è P 0 = = 0 Risposta b) La probabilità P di rispondere correttamente ad almeno 7 domande è P =P 7 +P 8 +P 9 +P 0 = 0 7 ( 4 ) ( 7 8 ) 0 9 ( 4 )