1. Calcolare, giustificandone l esistenza, il seguente integrale: y (1 + x) 2 dxdy, ydxdy. x 2 dxdy,

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1 . Calcolare, giustificandone l esistenza, il seguente integrale: ( + x dxd, = {(x, R :, x }.. isegnare il dominio = {(x, R : x, + x } e calcolare dxd. 3. Calcolare x dxd, è il triangolo di vertici ( 3,, (3, e (, Calcolare ( e 3 d dx. x 5. Calcolare x + dxd, = {(x, R : x,, x + }. 6. Trovare il baricentro della lamina materiale che occupa il triangolo di vertici (,, (,, (, e avente densità di massa ρ(x, = Utilizzare le coordinate polari per calcolare x dxd, = {(x, R : 4 x + 9}. 8. Calcolare (x + e (x + dxd, = {(x, R : x + 4, x }. 9. Operando un opportuno cambiamento di variabili, calcolare x dxd, = {(x, R : < x + < 3, x < < x}.. Calcolare il volume dell ellissoide di semiassi a, b e c.

2 . Calcolare (x + zdxddz, T T = {(x,, z R 3 : x >, >, z >, x + + z < }, utilizzando sia il metodo di integrazione per fili che per strati.. Calcolare (x + dxddz, = {(x,, z R 3 : x + + z, z }. 3. Calcolare x dxddz, è il solido ottenuto ruotando attorno all asse z il dominio piano = {(x,, z R 3 : x =, z, + z}. Cenni di soluzione:. è x-semplice e f è continua su, quindi f è integrabile su e si ha ( ( + x dxd = ( + x dx d = [ ( + x ] d = + d + Osserva che è anche -semplice: + d =... = 3 log. = {(x, R : x, x x}; avremmo quindi potuto calcolare l integrale anche nel seguente modo: ( x ( + x dxd = ( + x d dx =... = 3 log.. è la regione compresa tra le funzioni = x e = x : x = {(x, R : x, x x }, quindi è -semplice. ato che f è continua su, l integrale esiste.

3 Poiché l insieme è simmetrico rispetto all asse e f(x, = è pari rispetto a x, possiamo scrivere f(x, dxd = f(x, dxd, Quindi = {(x, R : x, x x}. dxd = ( x x d dx =... = Poiché l insieme è simmetrico rispetto all asse e la funzione f(x, = x è dispari rispetto alla variabile x, l integrale è nullo. 4. Le primitive della funzione g( = e 3 non sono funzioni elementari. Proviamo a cambiare l ordine di integrazione, rappresentando l insieme di integrazione in forma x-semplice: = {(x, R :, x }; ( e 3 dxd = e 3 dx d =... = (e f(x, = x + è pari rispetto alla variabile x e è simmetrico rispetto all asse, quindi f(x, dxd = f(x, dxd, = 3 = {(x, R :, x } {(x, R :, x }. Poiché è simmetrico rispetto all asse x e f(x, è dispari rispetto alla variabile, possiamo concludere: x + dxd = 3 x + dxd = =... = log 8 + π arctan La massa totale della lamina è M = ρ(x, dxd =... = 4 3, ( = {(x, R :, + x } : x + d dx 3

4 le coordinate del baricentro sono x B = M e x B = M xρ(x, dxd = ρ(x, dxd =... = ata la simmetria radiale dell insieme di integrazione ( è una corona circolare, conviene passare alle coordinate polari: { x = ρ cos ϑ = ρ sin ϑ, per cui l elemento infinitesimo d area diventa dxd = ρ dρdϑ e l insieme di integrazione diventa un rettangolo: = {(ρ, ϑ R : ρ 3, ϑ π}. ( 3 ( π x dxd = ρ cos ϑ ρ dρdϑ = ρ 3 dρ cos ϑdϑ =... = 65 4 π. 8. La funzione integranda è a simmetria radiale e è un settore circolare, quindi conviene passare alle coordinate polari: = {(ρ, ϑ R : ρ, 5 4 π ϑ 7 4 π} e (x + e (x + dxd = ρ 3 e ρ4 dρdϑ =... = π 8 (e6. 9. L insieme non contiene alcun punto di ascissa nulla, quindi possiamo riscrivere = {(x, R : < x + < 3, < x < }. ffettuando il cambiamento di variabili { u = x + = x, trasformiamo l insieme di integrazione in un rettangolo: = {(u, v R : < u < 3, < v < }. Scrivendo le variabili x e in funzione di u e v { x = u +v = uv +v 4

5 e calcolando il determinante Jacobiano della trasformazione, otteniamo che l elemento infinitesimo d area è dxdx = x dxd = ( + v u v. L equazione dell ellissoide è u ( + v dudv. =... = log 3 log. x a + b + z c =, u ( + v dudv = da cui z = ±c x a b. Allora il volume dell ellissoide è V ol = c x a b dxd, = {(x, R : x a + b }. Conviene in questo caso utilizzare il cambiamento di variabili { x = a ρ cos ϑ = b ρ sin ϑ, che porta la trasformazione di nel rettangolo = {(ρ, ϑ R : ρ, ϑ π}. uv dudv Poiché il determinante Jacobiano della trasformazione è abρ, otteniamo: V ol = c ρ abρ dρdϑ =... = 4 3 πabc.. Per fili: = = = {(x, R : < x <, < < x}, T = {(x,, z R 3 : (x,, < z < x }; ( x (x + zdxddz = (x + zdz dxd T [xz + z ] x dxd = ( x ( + x dxd = [x( x + ] ( x dxd [( x ]dxd 5

6 Per strati: = ( x [( x ]d dx =... =. (z = {(x, R : < x < z, < < x z}, T = {(x,, z R 3 : < z <, (x, (z}; ( (x + zdxddz = (x + zdxd dz T (z ( z ( x z = (x + zd dx dz =... =.. è una semisfera: è chiaro che converrà passare alle coordinate sferiche x = ρ sin ϕ cos ϑ = ρ sin ϕ sin ϑ. z = ρ cos ϕ L elemento infinitesimo di volume è dxddz = ρ sin ϕ dρdϕdϑ, mentre l insieme di integrazione diventa il parallelepipedo rettangolo = {(ρ, ϕ, ϑ R 3 : ρ, ϕ π, ϑ π}. Con queste trasformazioni otteniamo (x + dxddz = = ( π ρ sin ϕ ρ sin ϕ dρdϕdϑ ( ( π dϑ ρ 4 dρ sin 3 ϕdϕ = π 5 π [ = π 5 π sin ϕdϕ = 5 sin ϕ( cos ϕdϕ π [ cos ϕ + cos3 ϕ 3 sin ϕ cos ϕdϕ ] π = 4 5 π. 3. Prima di tutto osserviamo che la funzione f(x,, z = x è pari sia rispetto alla variabile x che alla variabile ; inoltre, essendo un solido di rotazione, è simmetrico sia rispetto al piano x = che rispetto al piano = : quindi possiamo scrivere x dxddz = x dxddz, 6 ]

7 = {(x,, z R 3 : x >, > }; quando si ha a che fare con i solidi di rotazione è in generale conveniente utilizzare le coordinate cilindriche: L elemento infinitesimo di volume è x = ρ cos ϑ = ρ sin ϑ z = t dxddz = ρ dρdϕdϑ, mentre l insieme viene trasformato nel parallelepipedo rettangolo F = {(ρ, ϑ, t R 3 : ρ, ϑ π, + ρ t }. Con queste trasformazioni otteniamo x dxddz = 4 ρ cos ϑ sin ϑ ρ dρdϑdt F ( π ( ( = 4 cos ϑ sin ϑdϑ ρ 3 dt dρ [ sin ϑ = 4 ] π ( ρ 3 ( ρdρ = 4 [ ] ρ 4 = ρ5 = ρ ( ( ρ 3 ρ 4 dρ 7