Momento angolare. Operatori: richiami. Momento angolare classico. z Momento angolare v. Operatore posizione in 3D

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1 Operatori: richiami Operatore posizione in 3D Non Operatore è permessa, momento in particolare, la riproduzione anche parziale i Per l autorizzazione a riprodurre in parte [ o in tutto la presente Detti opera Q,Ŵ è due richiesto operatori, il permesso la grandezza scritto Q, dell autore Ŵ] = QŴ (E. Silva) Ŵ Q è detta commutatore di Q e Ŵ e rappresenta l operazione: [ Q, Ŵ] Ψ = Q ) ( ) (ŴΨ Ŵ QΨ r Si dimostra che operatori con stessi autostati 1] commutano; 2] corrispondono a grandezze simultaneamente misurabili. Momento angolare. x Momento angolare classico. z Momento angolare v (momento della quantità di moto): r O Enrico Silva - proprietà intellettuale L = r mv non ceduta = r p Non è permessa, in particolare, y la riproduzione anche parziale opera è richiesto z il permesso scritto dell autore (E. Silva) Elettrone su un orbita circolare: L L = r mv = mvrn n r m, e v

2 Momento angolare quantistico. Momento angolare classico: Espressione operatoriale: L = r p Enrico Silva - proprietà intellettuale non L ceduta = r i ovvero: della Principio presente di opera. corrispondenza: Per l autorizzazione a riprodurre in parte o Lin x tutto = y la presente L x = ypopera z zp è y i z z i y richiesto il permesso scritto dell autore (E. Silva) L y = zp x xp z L y = z i x x i z L z = xp y yp x L z = x i y y i x Momento angolare quantistico: la misura. Espressione operatoriale: L = r i L x = y i z z i y L y = z i x x i z y y i x Richiamo: operatori Enrico con Silva stessi - autostati proprietà intellettuale non ceduta L z = x 1] commutano; i 2] corrispondono a grandezze simultaneamente misurabili. Le componenti del momento angolare non commutano. [L x, L y ] = i L z Si ottiene facilmente (con molta algebra): [L z, L x ] = i L y [L y, L z ] = i L x Non è possibile misurare simultaneamente due componenti di L. Il quadrato del momento angolare totale e una qualunque componente di L commutano: [ L 2, L x,y,z ] = 0 È possibile misurare simultaneamente L 2 e una componente di L. Momento angolare: autofunzioni e autovalori È possibile misurare simultaneamente L 2 e una componente di L. L 2 ψ = ω Cerco funzioni ψ t.c. l 2 ψ tiene conto L z ψ = m ψ delle dimensioni con L = r Per l autorizzazione i a riprodurre in parte o in tutto la presente In coordinate opera sferiche: è richiesto = ˆr il permesso scritto dell autore (E. Silva) r + ˆθ 1 r θ + ˆφ 1 r sinθ φ ( sviluppando: L = ˆφ i θ ˆθ 1 sin θ L z = i φ [ 1 L 2 = 2 sin θ θ ) φ ( sin θ ) 1 θ 2 sin 2 θ φ 2 ] Figura da Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics

3 Momento angolare: autovalori. È possibile misurare simultaneamente L 2 e una componente di L. Le autofunzioni simultanee di L Enrico Silva - proprietà 2 e Lz sono le armoniche sferiche: Yl m (θ, φ) intellettuale non ceduta Le equazioni agli autovalori forniscono autovalori quantizzati: Per L 2 ψ l autorizzazione = l(l + 1) 2 ψa riprodurre l è intero per in le parte armoniche o in sferiche; tutto la presente opera è richiesto il permesso sono ammessi scritto formalmente dell autore anche (E. valori Silva) semiinteri L z ψ = m ψ l m l notare: la lunghezza di L, l(l + 1), è sempre maggiore della grandezza di Lz, m, a indicare che la conoscenza di una componente non determina L. Momento angolare: autofunzioni. Le autofunzioni del momento angolare hanno l intero e l m l Tabella da Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics Rappresentazioni delle armoniche sferiche su: Sez. 5.1 (armoniche sferiche) Momento angolare: autostati, autovalori. L 2 Una possibile rappresentazione per l = 2: 1 Non è permessa, in particolare, la riproduzione 0 anche parziale 1 opera è richiesto il permesso scritto dell autore 2 (E. Silva) Attenzione: l analogia non va spinta oltre. In particolare il disegno dei vettori è fuorviante: se uno stato ha L z determinato, allora L x e L y sono indeterminati perché non hanno autostati comuni con L z. Lz Ly Lx Le equazioni agli autovalori forniscono autovalori quantizzati: L 2 ψ = l(l + 1) 2 ψ l intero o semiintero, intero per le armoniche sferiche L z ψ = m ψ l m l notare: la lunghezza di L, l(l + 1), è sempre maggiore della grandezza di Lz, m, a indicare che la conoscenza di una componente non determina L.

4 Momento angolare: autostati, autovalori. Lz 2 Una possibile rappresentazione alternativa per l = 2: 1 Non è permessa, in particolare, la riproduzione 0 anche parziale 1 opera è richiesto il permesso scritto dell autore 2 (E. Silva) Attenzione: l analogia non va spinta oltre. In particolare il disegno dei vettori rotanti è fuorviante: se uno stato ha L z determinato, allora L x e L y sono indeterminati perché non hanno autostati comuni con L z. Una misura di Lz proietta il sistema in uno stato per cui L x e L y sono indeterminati. Lx Ly Figura da Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics Potenziale centrale: fdo Sia V=V(r) un potenziale a simmetria sferica (dipendente solo dalla distanza da un punto -origine-). L equazione di Schroedinger si può scrivere in Enrico Silva - proprietà intellettuale coordinate non ceduta polari: [ Non è permessa, in particolare, 1 la riproduzione anche parziale della 2mr presente 2 2 ) ] (r L 2 ψ + V (r)ψ = Eψ opera. r r Si può opera risolvere è richiesto come il per permesso il momento scritto angolare dell autore per separazione (E. Silva) di variabili. Gli stati stazionari (autofunzioni dell Hamiltoniana) sono: dove le R(r) sono funzioni della sola r, e le ψ(r, θ,φ) = R(r)Y m l (θ, φ) Y m l (θ, φ) sono le armoniche sferiche. Ĥ,L 2, L z sono simultaneamente misurabili. V(r) influenza esclusivamente la dipendenza radiale R(r). Le componenti del momento angolare non commutano. Momento angolare: riassunto [L x, L y ] = i L z [L z, L x ] = i L y [L y, L z ] = i L x Non è possibile misurare simultaneamente due componenti di L. Il quadrato Non è del permessa, momento in particolare, [ la riproduzione anche parziale angolare totale e una qualunque della L presente 2 ] È possibile misurare, L x,y,z opera. = 0 simultaneamente L 2 e una componente Per di l autorizzazione L commutano: a riprodurre in parte o in tutto componente la presente di L. Le autofunzioni simultanee di L 2 e Lz sono le armoniche sferiche: Yl m (θ, φ) Con autovalori dati da: L 2 ψ = l(l + 1) 2 ψ L z ψ = m ψ l = 0, 1, 2,... l m l Potenziale centrale V(r): gli stati stazionari (autofunzioni dell Hamiltoniana) sono: ψ(r, θ,φ) = R(r)Yl m (θ, φ) dove le R(r) sono funzioni della sola r, determinate da V(r) Ĥ,L 2, L z sono simultaneamente misurabili in un potenziale centrale.

5 Per Momento l autorizzazione a riprodurre magnetico. in parte o in tutto la presente Spin. Momento magnetico classico. Per una spira circolare di area S, dove scorre la corrente I, il momento magnetico è m = IS n In un campo di induzione B i momenti magnetici tendono ad allinearsi I con il campo (agisce Enrico il momento Silva - di proprietà una forza). intellettuale non ceduta L energia potenziale è V = m B La forza agente è F = V Elettrone su un orbita circolare. z L Momento angolare: L = r mv = mvr n m: massa n Corrente equivalente: I = e r T = e 2πr/v Superficie della spira: S = πr 2 m, e v Momento magnetico orbitale : m = e e vr n = 2 2m L = µ B L n Magnetone di Bohr: µ B = e 2m JT 1 N.B.: m L perché l elettrone ha carica negativa Rapporto giromagnetico Definizione: dato un sistema (o particella) dotato di momento magnetico m e di momento angolare L, si definisce rapporto giromagnetico la grandezza: Enrico Silva - proprietà intellettuale non m, ceduta L sono valori algebrici γ = m Non è permessa, in particolare, L rispetto a un medesimo asse. la riproduzione anche parziale Per un corpo puntiforme dotato della presente di massa opera. m e di carica q, che ruota attorno a un asse, si può dimostrare che: γ = q (anche per orbite non circolari) opera è richiesto il permesso scritto 2m dell autore (E. Silva) e Per un elettrone si ha sperimentalmente: γ = g e 2m = g µ B e con ge 2. (Considerando il solo momento magnetico orbitale, si è ottenuto sopra g e = 1) Il momento magnetico è maggiore del solo momento orbitale. Il rapporto giromagnetico vale 2. Esiste un ulteriore e diverso momento magnetico microscopico m: massa

6 Per l autorizzazione Esperimento a riprodurre in parte o in tutto dila presente Einstein-De Haas Esperimento di Einstein-de Haas Lrot della presente mopera. m B Figura da W. Greiner, Quantum Mechanics - An Introduction Sbarra di ferro sospesa a una fibra sottile, all interno di un solenoide. B = 0 Le L = 0 L = Le + Lrot = 0 All accensione del campo di induzione magnetica B il cilindro, inizialmente in quiete, si pone in rotazione. All accensione del campo di induzione magnetica B il cilindro, inizialmente in quiete, si pone in rotazione. Analisi qualitativa Inizialmente: L = 0 (cilindro Non in è quiete) permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale Il campo B allinea i momenti magnetici. della presente mopera. m La conservazione Per l autorizzazione del momento angolare a riprodurre in parte o in tutto la presente richiede che l insorgere opera è richiesto del momento il permesso angolare scritto dell autore (E. Silva) macroscopico (rotazione del cilindro) sia B compensato dai momenti angolari microscopici. B = 0 L esperimento mostra che: L = 0 L = L e + L rot = 0 1] esiste un momento angolare microscopico, collegato al momento magnetico microscopico. 2] Il momento magnetico degli atomi è orientato in verso opposto al loro momento angolare. 3] Il momento angolare microscopico può dar luogo a fenomeni macroscopici. Lrot Le

7 Analisi quantitativa L rot È possibile misurare sia Lrot (per esempio, attraverso il periodo delle piccole oscillazioni) che il momento magnetico complessivo della sbarra, M. Supponiamo che vi siano N elettroni, ciascuno con momento angolare microscopico j e quindi momento Non è magnetico permessa, orbitale in particolare, m = ( e) la riproduzione anche parziale 2m j La somma di tutti i momenti angolari microscopici è m m Per L l autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente e = Nj Il momento magnetico della sbarra è B M = Nm La conservazione del momento angolare impone B = 0 Le L rot = Nj L = 0 L = Le + Lrot = 0 Per cui: M = N ( e) 2m j = ( e) 2m L rot = µ B L rot Sperimentalmente: M 2 µ B L rot Il momento magnetico è maggiore del solo momento orbitale. Il rapporto giromagnetico vale 2. Esiste un ulteriore e diverso momento magnetico microscopico Per l autorizzazione Esperimento a riprodurre in parte o in tutto dila presente Stern-Gerlach Esperimento di Stern-Gerlach figura da L 2 ψ = l(l + 1) 2 Per osservare l effetto della ψ l = 0,1,2... quantizzazione sull asse z, si sfrutta L z ψ = m ψ m = 0, ±1, ±2,...,±l l esistenza di un momento magnetico Enrico Silva - proprietà intellettuale associato non ceduta al momento angolare. della presente Si invia opera. un fascio di particelle massive (es: atomi di Ag), in un campo magnetico disomogeneo lungo l asse z: i poli S e N del momento magnetico subiranno forze disuguali, e a seconda dell orientazione del momento magnetico saranno deflessi lungo z sotto l azione della forza: F = V = (m B) m z B z (trascuriamo le variazioni lungo x e y) Se le particelle non hanno momento angolare, l analisi dei risultati riguarda solo i momenti angolari degli elettroni.

8 Esperimento di Stern-Gerlach Risultati attesi: Classicamente: con un fascio Enrico in cui i momenti Silva - proprietà angolari sono intellettuale non ceduta distribuiti Non a caso, è permessa, si ha un allargamento in particolare, del la fascio. riproduzione anche parziale Quantisticamente, momento magnetico proporzionale al momento orbitale: un numero dispari di deflessioni, perché L z ψ = m ψ m = 0, ±1, ±2,...,±l caso per l = 1 m = 0 figure adattate da D.M.Harrison, Esperimento di Stern-Gerlach Risultato sperimentale: DUE fascetti separati. Esperimento Non è permessa, ripetuto anche in particolare, con atomi in la riproduzione anche parziale cui l = 0. Se ne deduce che il momento magnetico lungo una determinata direzione è quantizzato e può assumere solo due valori opposti. Si inferisce che il momento magnetico stesso sia quantizzato. Poiché a un momento magnetico corrisponde un momento angolare (vedi esperimento di Einstein-de Haas), questo esperimento implica che gli elettroni abbiano un momento angolare intrinseco (spin). figura da D.M.Harrison, Spin La combinazione di due esperimenti fondamentali (Stern-Gerlach e Einstein-de Haas) indica che i momenti magnetici di spin sono legati a un ulteriore e diverso momento angolare, intrinseco agli elettroni (e ad altre particelle, in generale). Non è permessa, Esso in prende particolare, il nome la di riproduzione spin Sanche parziale È un momento angolare (quindi della ne segue presente le regole), opera. MA NON È dovuto a rotazioni meccaniche: Per è l autorizzazione una proprietà intrinseca a riprodurre della particella in parte o (come in tutto ad es. la presente massa o la carica). Per i momenti opera è richiesto il permesso analogamente scritto dell autore per i momenti (E. Silva) angolari di spin: m = e orbitali: m s = e m S = 2µ B 2m L = µ B L S S è quantizzato, e la sua proiezione sull asse z è Sz = ± /2, ovvero il numero quantico corrispondente può assumere valori ms = ±1/2. In analogia (si può dimostrare) al momento angolare, S 2 ha autovalori discreti dati da: s(s + 1) 2 dove per gli elettroni, legati o liberi, s = 1/2.

9 Spin. Oltre al momento angolare orbitale, esiste il momento angolare di spin (o spin ). Lo spin è una grandezza intrinseca, non è dovuta a rotazioni meccaniche. Lo spin è una proprietà quantistica, non ha analogo classico. Allo spin è associato un momento magnetico. È descrivibile come fdo (esperienza dei filtri di Stern Gerlach). Le proprietà di osservabilità sono come quelle dei momenti angolari: S 2 ha autovalori s(s+1). La proiezione su un asse, S z, ha autovalori: m = s, s+1,..., s-1, s L[ autovalore dell]o spin di una particella assume valori: S = 0, 1/2, 1, 3/2,... L [ autovalore dell]o spin di un singolo gli elettrone, legato o libero, vale s = 1/2 Nota sulla combinazione dei momenti angolari orbitali e di spin. Un sistema (ad esempio, un atomo) può contenere numerosi elettroni. Il momento angolare totale J rappresenta la somma di tutti i momenti angolari dei singoli Enrico elettroni Silva - proprietà (orbitali e intellettuale di spin): J = non L + ceduta S. Il momento magnetico totale, della similmente, presente opera. sarà dato da mj = ml + ms. Mentre ml opera L, è e richiesto ms S, non il permesso si ha necessariamente scritto dell autore che mj (E. sia Silva) a J. Questo è comprensibile, ricordando che m s = e m S = 2µ B S m = e 2m L = µ B L