Segnali Passa-Banda ed Equivalenti Passa-Basso
|
|
- Gennaro Mattei
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Appendice C Segnali Passa-Banda ed Equivalenti Passa-Basso C.1 Segnali deterministici Un segnale reale deterministico reale u(t) con trasformata di Fourier U(f) è un segnale passa-banda se f 0,W, con 0 < W < f 0, t.c. f R + : f f 0 W U(f) = 0. (C.1) Se, in aggiunta, è verificata la condizione f 0 W, il segnale u(t) è detto a banda stretta. La definizione di segnale passa-banda appena introdotta si estende facilmente ad un sistema LTI, infatti, un sistema LTI con risposta impulsiva h(t) è detto essere un sistema LTI passa-banda se la sua risposta impulsiva h(t) è un segnale passa-banda. Esempio C.1.1. Un primo esempio di segnale passa-banda è dato dal segnale sinusoidale u(t) = Acos(2πf 0 t+θ), t R, a cui corrisponde una trasformata di Fourier pari a U(f) = A 2 î e jθ δ(f f 0 )+e jθ δ(f +f 0 ) ó ; in questo caso, la trasformata di Fourier del segnale è formata da due impulsi di Dirac, ovvero due righe, e, quindi, la larghezza di banda è nulla. 115
2 116 Appendice C. Segnali Passa-Banda ed Equivalenti Passa-Basso Esempio C.1.2. Un segnale DSB-SC AM, ottenuto dalla modulazione di un segnale deterministico m(t), rigorosamente limitato nella banda [ B, B], è un secondo esempio di segnale passa-banda se f c > B. Infatti, dall espressione del segnale nel dominio del tempo u(t) = A c m(t)cos(2πf c t+ϕ c ), t R, (C.2) si ricava immediatamente la sua trasformata di Fourier U(f), cioè U(f) = A c 2 î e jϕ c M(f f c )+e jϕc M(f +f c ) ó dove M(f) denota la trasformata di Fourier di m(t). Il segnale u(t) è quindi passa-banda come risulta evidente ponendo f 0 = f c e W = B nella definizione (C.1). Dato un segnale passa-banda, si definisce segnale analitico ad esso associato, e si indica con z u (t), il segnale in uscita ad un filtro LTI con risposta in frequenza H(f) = 2δ 1 (f), dove δ 1 (f) èla funzione gradino unitario, sollecitato da u(t). Quindi l operazione che permette di passare dal segnale passa-banda u(t) alcorrispondente segnale analitico z u (t) consiste nell eliminare i contributi nella trasformata di Fourier di u(t) alle frequenze negative e nel moltiplicare per due quelli alle frequenze positive, cioè Z u (f) 2δ 1 (f)u(f), dove U(f) e Z u (f) denotano, rispettivamente, le Trasformate di Fourier di u(t) e z u (t). La risposta impulsiva del filtro che permette di estrarre il segnale analitico z u (t) dal segnale passa-banda u(t) può essere calcolata come segue [4] h(t) = F 1 {H(f)} = F 1 {2δ 1 (f)} = F 1 {1+sgn(f)} = δ(t)+ j πt, (C.3) dove sgn(f) denota la funzione segno. Pertanto, l espressione del segnale analitico nel dominio del tempo è z u (t) = [h u](t) = u(t)+jů(t), dove il segnale ů(t) 1 πt u(t) = 1 + u(θ) π t θ dθ, è, per definizione, la Trasformata di Hilbert del segnale u(t). Si noti che il sistema che consente di passare dal segnale u(t) alla sua trasformata di Hilbert ů(t) ha risposta in frequenza data da H(f) = jsgn(f), e non è né BIBO stabile né causale. Infine, l equazione (C.3) suggerisce che è possibile estrarre il segnale passa-banda u(t) dal segnale analitico z u (t) tramite la relazione u(t) = R{z u (t)}. La precedente relazione non caratterizza il segnale analitico con ciò intendendo che un segnale che soddisfa alla precedente relazione non è necessariamente il segnale analitico associato ad u(t). Vale, invece, il seguente risultato di facile dimostrazione.
3 C.1. Segnali deterministici 117 Teorema C.1.1 Sia u(t) un segnale reale e passa-banda e z(t) un segnale (a valori complessi) la cui parte reale coincida con u(t) e la cui trasformata di Fourier sia identicamente nulla per frequenze negative. Allora z(t) = z u (t), ovvero z(t) è il segnale analitico associato ad u(t). Si definisce inviluppo complesso o equivalente in banda base del segnale passa-banda u(t), e lo si denota con ũ(t), il seguente segnale ũ(t) z u (t)e j2πf 0t, (C.4) a cui corrisponde la trasformata di Fourier U(f) = Z u (f +f 0 ) = 2δ 1 (f +f 0 )U(f +f 0 ). Si osservi che ũ(t) è, in generale, un segnale complesso di tipo passa-basso e che la sua trasformata di Fourier coincide con la parte positiva dello spettro di u(t) traslata dall intorno della frequenza f 0 all intorno della frequenza zero. Combinando insieme le precedenti relazioni è possibile ricavare il legame tra il segnale u(t) ed il suo inviluppo complesso u(t) = R ũ(t)e j2πf 0t, ũ(t) = [u(t)+jů(t)]e j2πf 0t. (C.5) (C.6) Esempio C.1.1: continuazione. Il segnale analitico associato al segnale u(t) ha una trasformata di Fourier data da Z u (f) = Ae jθ δ(f f 0 ). Inoltre, è possibile scegliere come inviluppo complesso del segnale u(t) il segnale la cui trasformata di Fourier è data da ũ(t) = Ae jθ, U(f) F[ũ(t)] = Ae jθ δ(f). Quindi il segnale analitico e l inviluppo complesso di un segnale sinusoidale coincidono, rispettivamente, con le definizioni di vettore rotante, cioè z u (t) = Ae j(2πf 0t+θ), e di fasore introdotte in Teoria dei Circuiti [5]. Dal fatto che la parte immaginaria del segnale analitico è la trasformata di Hilbert di u(t), segue che la trasformata di Hilbert del segnale cosinusoidale è il segnale sinusoidale, cioè ů(t) = Asin(2πf 0 t+θ).
4 118 Appendice C. Segnali Passa-Banda ed Equivalenti Passa-Basso Esempio C.1.2: continuazione. Il segnale analitico associato ad un segnale DSB-SC AM ha la seguente trasformata di Fourier quindi, esso è dato da Inoltre, ponendo f 0 = f c si ottiene Z u (f) = A c e jϕc M(f f c ); z u (t) = A c e jϕc m(t)e j2πfct. U(f) = Ae jϕc M(f). Quindi, come era naturale aspettarsi, l inviluppo complesso del segnale passa-banda (C.2) è proporzionale al segnale modulante m(t). Poiché, come appena accennato, l inviluppo complesso ũ(t) è un segnale complesso, può essere utile rappresentarlo in termini della sua parte reale u c (t) e della sua parte immaginaria u s (t), ovvero nella forma ũ(t) u c (t)+ju s (t); i segnali u c (t) e u s (t) sono denominati, rispettivamente, componente in fase (o componente in coseno) e componente in quadratura (o componente in seno) del segnale passa-banda; infatti, con facili passaggi algebrici, si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni u(t) = u c (t)cos(2πf 0 t) u s (t)sin(2πf 0 t), u c (t) = u(t)cos(2πf 0 t)+ů(t)sin(2πf 0 t), (C.7) u s (t) = ů(t)cos(2πf 0 t) u(t)sin(2πf 0 t). Analogamente, si può rappresentare ũ(t) in termini di modulo e fase ũ(t) = ũ(t) e j arg(ũ(t)) v u (t)e jϕu(t), dove i segnali v u (t) e ϕ u (t) sono detti, rispettivamente inviluppo reale e fase di ũ(t) e sono definiti come segue v u (t) ũ(t) =» u 2 c (t)+u2 s (t) ñ ô us (t) ϕ u (t) arg(ũ(t)) = arctg u c (t) dove l arcotangente va intesa come riportato in [4]. Utilizzando la (C.5) si può, infine, ricavare u(t) = v u (t)cos[2πf o t+ϕ u (t)], che evidenzia come un generico segnale passa-banda possa essere pensato come una sorta di generalizzazione di un segnale sinusoidale.
5 C.2. Segnali aleatori 119 Esempio C.1.3. Mostrare che il segnale u(t), ottenuto a partire dal segnale modulante m(t) deterministico, con trasformata di Fourier M(f), attraverso la modulazione della portante p(t) = A c cos(2πf c t) in SSB-SC AM è dato da u(t) = A c 2 [m(t)cos(2πf ct)± m(t)sin(2πf c t)], dove il segno positivo si riferisce alla LSSB mentre quello negativo alla USSB. Soluzione. Si veda il paragrafo C.2 Segnali aleatori La definizione di processo aleatorio a banda stretta è analoga a quella data per i segnali deterministici a patto di sostiuire la Trasformata di Fourier del segnale con la sua PSD. Analogamente si estendono le definizioni di segnale analitico ed inviluppo complesso di un segnale aleatorio passa-banda e reale; ad esempio, il segnale analitico associato al segnale aleatorio u(t) ha come realizzazioni i segnali analitici associati alle realizzazioni di u(t). È inoltre evidente che la PSD del segnale analitico z u (t) è data da S zu (f) = 4δ 1 (f)s u (f). Inoltre, la funzione di autocorrelazione in tempo-ritardo dell inviluppo complesso ũ(t) si calcola immediatamente a partire dalla equazione (C.4), ed è data da Rũ(t,τ) = E[ũ(t)ũ (t τ)] = E[z u (t)e j2πf 0t z u (t τ)ej2πf 0(t τ) ] = E[z u (t)z u(t τ)]e j2πf 0τ = R zu (t,τ)e j2πf 0τ. Quindi, l autocorrelazione media dell inviluppo complesso del segnale u(t) è data da e, di conseguenza, la PSD di ũ(t) è Rũ(τ) = R zu (τ)e j2πf 0τ, Sũ(f) = S zu (f +f 0 ) = 4δ 1 (f +f 0 )S u (f +f 0 ). La precedente relazione, tenuto conto del fatto che u(t) è un segnale reale e, quindi, la sua PSD è pari, consente di dimostrare con facili passaggi il seguente risultato notevole. Teorema C.2.1 La PSD del segnale (aleatorio) passa-banda reale u(t) è data da S u (f) = 1 4 [S ũ (f f 0)+Sũ( f f 0 )] dove Sũ(f) è la PSD del corrispondente inviluppo complesso.
6 120 Appendice C. Segnali Passa-Banda ed Equivalenti Passa-Basso Il precedente teorema può essere utilizzato per calcolare la PSD di un segnale aleatorio passa-banda a patto di conoscere la PSD del corrispondente inviluppo complesso. A tal fine può essere necessario determinare preliminarmente il segnale analitico associato ad u(t) e, a partire da questo, l inviluppo complesso. È, quindi, importante evidenziare che per i segnali aleatori vale, con le ovvie modifiche del caso, la caratterizzazione del segnale analitico fornita con riferimento ai segnali deterministici, ovvero il Teorema 1.1. L esempio che segue illustra l utilizzo di tale caratterizzazione con riferimento ai segnali aleatori. Esempio C.2.1. Mostrare che l inviluppo complesso del segnale PAM in banda-passante u(t) = + + = R c k 2g(t kt)cos(2πfc t) c k 2g(t kt)e j2πf ct, (C.8) è dato da ũ(t) = + c k 2g(t kt) (C.9) se g(t) è un segnale di energia con trasformata di Fourier G(f) rigorosamente limitata nella banda [ B,B] ed f c > B. Mostrare, inoltre, che la (C.9) è un uguaglianza approssimata anche quando g(t) è un impulso rettangolare di durata T se f c 1/T. Soluzione. È sufficiente dimostrare che il segnale z(t) + c k 2g(t kt)e j2πf ct, ha una PSD nulla per f < 0. A tal fine si osservi che il segnale x(t) = z(t)e j2πfct = + c k 2g(t kt) ha una PSD rigorosamente limitata in [ B,B]; infatti, la PSD di x(t) è data da S x (f) = 2 T S c(ft) G(f) 2 ed è quindi limitata dalla ESD (dall inglese Energy Spectral Density) del segnale g(t). Inoltre, la funzione di autocorrelazione statistica in tempo-ritardo di z(t) è R z (t,τ) = E[z(t)z (t τ)] = E[x(t)e j2πfct x (t τ)e j2πfc(t τ) ] = R x (t,τ)e j2πfcτ ; di conseguenza, le autocorrelazioni medie di z(t) ed x(t) sono legate dalla relazione da cui si evince che la PSD di z(t) è data da R z (τ) = R x (τ)e j2πfcτ, S z (f) = S x (f f c )
7 C.2. Segnali aleatori 121 e risulta evidentemente nulla per f < 0 se f c > B. Ovviamente tale conclusione continua a valere in modo approssimato se g(t) non è rigorosamente limitato nella banda [ B, B], ma è un impulso rettangolare di durata T ed f c 1/T. Se si considera un processo aleatorio passa-banda n(t) almeno SSL è facile dimostrare che sia il segnale analitico z n (t) che l inviluppo complesso ñ(t) ad esso associati sono almeno SSL. Infatti, il segnale analitico è l uscita di un filtro LTI sollecitato da un segnale almeno SSL. Per quanto riguarda l inviluppo complesso la dimostrazione necessiterebbe di calcolare la funzione di autocorrelazione statistica in tempo-ritardo di ñ(t) in termini di quella del corrispondente segnale analitico z n (t), ma su questo non ci si sofferma. Inoltre, se n(t) è a media nulla anche i processi derivati ñ(t), z n (t), n c (t), n s (t) hanno media nulla. Vale, inoltre, il seguente teorema per la cui dimostrazione si rimanda a [2]. Teorema C.2.2 Sia n(t) un processo aleatorio passa-banda almeno SSL e con media nulla. La componente in fase n c (t) e la componente in quadratura n s (t) sono congiuntamente SSL; inoltre n c (t) ed n s (t) hanno la stessa funzione di autocorrelazione media, cioè R nc (τ) = R ns (τ); la funzione di mutua correlazione tra n c (t) e n s (t) e quella tra n s (t) e n c (t) sono l una l opposta dell altra R ncn s (τ) = R nsn c (τ); la funzione di autocorrelazione dell inviluppo complesso ñ(t) è data da Rñ(τ) = 2[R nc (τ)+jr nsn c (τ)]. Inoltre, R nsn c (τ) = 0 (come è facile verificare tenuto conto del fatto che la potenza dell invilupo complesso deve essere reale) e, quindi, la potenza di ñ(t) è pari a due volte la potenza della componente in fase (quadratura), ovvero a due volte quella di n(t), cioè E[ ñ(t) 2 ] = 2E[n c (t) 2 ] = 2E[n s (t) 2 ] = 2E[n(t) 2 ]. Infine, se la PSD di n(t) è simmetrica intorno a ±f 0, cioè S n ( f +f 0 ) = S n (f +f 0 ), f f 0, l autocorrelazione di ñ(t) è una funzione reale; di conseguenza, n c (t) e n s (t) sono incoerenti, ovvero R ncn s (τ) = 0, τ, e, quindi, vale la seguente relazione di additività tra le PSD di ñ(t), n c (t) ed n s (t) Sñ(f) = 2S nc (f) = 2S nc (f). È anche evidente che se n(t) è un processo aleatorio gaussiano, ñ(t), z n (t), n c (t) ed n s (t) sono processi gaussiani. In particolare, n c (t) ed n s (t) sono congiuntamente gaussiani.
8 122 Appendice C. Segnali Passa-Banda ed Equivalenti Passa-Basso Esempio C.2.2. Utilizzando il precedente teorema determinare le espressioni delle PSD di n c (t), n s (t) e ñ(t) nell ipotesi che n(t) sia rumore bianco nella banda [ f c W, f c + W ] [f c W,f c +W ] ovvero ottenuto dal filtraggio di un rumore gaussiano bianco con PSD di livello pari a N 0 /2 attraverso un filtro rettangolare con risposta in frequenza Ç å Ç å f +fc f fc H(f) = Π +Π. 2W 2W
9 Bibliografia [1] J. G. Proakis, M. Salehi: Communication Systems Engineering, Prentice-Hall International Inc., [2] S. Benedetto, E. Biglieri e V. Castellani: Teoria della Trasmissione Numerica, Gruppo Editoriale Jackson, [3] A. B. Carlson: Communication Systems, Terza Edizione, McGraw-Hill, [4] G. Ricci, M. E. Valcher: Segnali e Sistemi, Libreria Progetto, Padova [5] G. Someda, Elettrotecnica Generale, Patron Bologna. [6] J. M. Wozencraft, I. M. Jacobs, Principles of Communication Engineering, J. Wiley & Sons, [7] U. Mengali, M. Morelli, Trasmissione Numerica, McGraw-Hill, [8] A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, Terza Edizione, McGraw-Hill. [9] G. L. Stüber, Principles of Mobile Communications, Seconda Edizione, Kluwer Academic Publishers,
Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso
Appendice C Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso C.1 Segnali deterministici Un segnale deterministico u(t) con trasformata di Fourier U(f) è un segnale passa-banda se f 0, W, con 0 < W < f 0,
DettagliSECONDO COMPITINO DI SEGNALI E SISTEMI 3 Dicembre 2003
SECONDO COMPIINO DI SEGNALI E SISEMI 3 Dicembre 003 Esercizio. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo discreto e causale descritto dalla seguente equazione alle differenze: vk) con a parametro
DettagliTeoria dei Segnali. 1 Proprietà della trasformata di Fourier. correlazione tra segnali; autocorrelazione
Teoria dei Segnali Proprietà della trasformata di Fourier; correlazione tra segnali; autocorrelazione Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it
DettagliComunicazione Elettriche L-A Identità ed equazioni
Comunicazione Elettriche L-A Identità ed equazioni Gennaio - Marzo 2009 Identità ed equazioni relative alle comunicazioni elettriche tratti dalle lezioni del corso di Comunicazioni Elettriche L-A alla
DettagliTeoria dei Segnali Proprietà della trasformata di Fourier; correlazione tra segnali; autocorrelazione
Teoria dei Segnali Proprietà della trasformata di Fourier; correlazione tra segnali; autocorrelazione p. 1 Teoria dei Segnali Proprietà della trasformata di Fourier; correlazione tra segnali; autocorrelazione
DettagliRipasso segnali e processi casuali. Trasmissione dell Informazione
Ripasso segnali e processi casuali 1 Breve ripasso di segnali e trasformate Dato un segnale s(t), la sua densità spettrale si calcola come dove S(f) è la trasformata di Fourier. L energia di un segnale
DettagliProva di AUTOVALUTAZIONE (novembre 2009). nota: l esame ha validità solo se incluso nel piano degli studi per l anno accademico corrente.
UNIVERSITA DEGLI STUDI ROMA TRE CdS in Ingegneria Informatica corso di FONDAMENTI DI TELECOMUNICAZIONI Prova di AUTOVALUTAZIONE (novembre 2009). COMPITO A nota: l esame ha validità solo se incluso nel
DettagliPROCESSI CASUALI 1 Fondamenti di segnf a o lin d e a t m ra e s n mtii s T si L o C ne
PROCESSI CASUALI Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Segnali deterministici Un segnale (t) si dice deterministico se è una funzione nota di t, cioè se ad un qualsiasi istante di tempo t
DettagliCorso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Modulazione A.A Alberto Perotti
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Modulazione A.A. 8-9 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Modello di sistema di comunicazione Il modello di sistema di comunicazione
DettagliReti nel dominio delle frequenze. Lezione 10 2
Lezione 10 1 Reti nel dominio delle frequenze Lezione 10 2 Introduzione Lezione 10 3 Cosa c è nell Unità 3 In questa sezione si affronteranno Introduzione all Unità Trasformate di Laplace Reti nel dominio
DettagliPulse Amplitude Modulation (PAM) 2 Scelta delle risposte impulsive dei filtri in trasmissione e ricezione
Pulse Amplitude Modulation (PAM 1 Definizione La trasmissione di una sequenza di numeri {a k } mediante un onda PAM consiste nel generare, a partire dalla sequenza {a k } il segnale a tempo continuo u(t
Dettagli9. Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata. Modulo TLC:TRASMISSIONI Modulazione numerica in banda traslata
1 9. Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata Modulazione QAM (analogica) 2 Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione
DettagliComunicazioni Elettriche anno accademico Esercitazione 1
Comunicazioni Elettriche anno accademico 003-004 Esercitazione Esercizio Un processo aleatorio a tempo discreto X(n) è definito nel seguente modo: Viene lanciata una moneta. Se il risultato è testa X(n)=
DettagliNella modulazione di ampiezza, si trasmette il segnale. v R (t) = (V 0 + k I x(t)) cos (2πf 0 t).
Cenni alla Modulazione di Ampiezza (AM) Nella modulazione di ampiezza, si trasmette il segnale v(t) = (V 0 + k I x(t)) cos (πf 0 t), dove x(t) è il segnale di informazione, con banda B, e f 0 è la frequenza
DettagliESERCIZI DI TEORIA DEI SEGNALI
ESERCIZI DI EORIA DEI SEGNALI EX. 1 Si determini lo sviluppo in serie di Fourier del segnale cos[ m(t)] dove m(t) = m(t) = m(t k ) [ π 2 2π ] ( ) t t rect. EX. 2 Si siderino due segnali x 1 (t) e x 2 (t)
DettagliSegnali (processi) aleatori (casuali)
Segnali (processi) aleatori (casuali) Definizione di processo aleatorio Descrizione statistica di un processo aleatorio Media, potenza, varianza Autocorrelazione e autocovarianza Filtraggio di un processo
DettagliModulazioni di ampiezza
Modulazioni di ampiezza 1) Si consideri un segnale z(t) modulato in ampiezza con soppressione di portante dal segnale di informazione x(t): z(t) = Ax(t)cos(2πf 0 t) Il canale di comunicazione aggiunge
DettagliIndice. A Riassunto formule principali su AM 91
Indice 5 Modulazioni AM 65 5.1 Che cosa si intende esattamente per modulazione?.............. 65 5.2 Modulazione di ampiezza............................ 65 5.2.1 Definizione................................
DettagliElettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 2
Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013 Crema e-mail: liberali@dti.unimi.it
DettagliSviluppo in Serie di Fourier
Capitolo Sviluppo in Serie di Fourier. Proprietà della Serie di Fourier Un segnale reale tempo continuo e periodico di periodo, per il quale sono valide le condizioni di Dirichlet vedi pag. 4 [], può essere
DettagliElaborazione di segnali e immagini: modulo segnali
Elaborazione di segnali e immagini: modulo segnali 30 gennaio 014 Esame parziale con soluzioni Esercizio 1 Dato un sistema LTI descritto dalla seguente equazione alle differenze: v(k) + v(k 1) 10v(k )
DettagliFormulario di Teoria dei Segnali 1
Formulario di eoria dei Segnali Parte : Segnali determinati his documentation was prepared with L A EX by Massimo Barbagallo formulario di teoria dei segnali Proprietà dei segnali determinati Energia,
Dettagli6. Trasmissione Numerica in Banda Base
1 INFO-COM Dpt. Dipartimento di Scienza e Tecnica dell Informazione e della Comunicazione Università degli Studi di Roma La Sapienza 6. Trasmissione Numerica in Banda Base TELECOMUNICAZIONI per Ingegneria
DettagliCAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE. Y(f) Y(f-15) Y(f+15) f[hz] Yc(f) Y(f) Y(f-17.5) Y(f+17.5) Yc(f) Esercizio 1
CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE Esercizio 1 Dato il segnale y(t), con trasformata di Fourier Y(f) rappresentata in figura, rappresentare lo spettro del segnale ottenuto campionando idealmente y(t) con a)
DettagliScomposizione in fratti semplici
0.0. 2.2 Scomposizione in fratti semplici La determinazione dell evoluzione libera e dell evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario richiede l antitrasformazione di una funzione razionale fratta
Dettagli8. Sistemi di Modulazione Numerica in banda-base. Modulo TLC:TRASMISSIONI Modulazione numerica in banda base
1 8. Sistemi di Modulazione Numerica in banda-base Modulazione e Demodulazione numerica 2 sequenza numerica segnale analogico...0010111001... modulatore numerico x(t) sequenza numerica...0010011001...
DettagliCANALE STAZIONARIO CANALE TEMPO INVARIANTE
CANALE STAZIONARIO Si parla di un Canale Stazionario quando i fenomeni che avvengono possono essere modellati da processi casuali e le proprietà statistiche di tali processi sono indipendenti dal tempo.
DettagliCAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI 1 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Segnali in formato numerico Nei moderni sistemi di memorizzazione e trasmissione i segnali in ingresso sono
DettagliPrincipi di modulazione numerica
Capitolo 3 Principi di modulazione numerica Il modulatore deve trasformare il segnale numerico in ingresso (proveniente dal codificatore di canale o dal codificatore di sorgente in assenza di codifica
DettagliLaboratorio II, modulo
Laboratorio II, modulo 2 206-207 Banda di un segnale e filtri (cfr. http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/appunti_03.pdf e http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/appunti_04.pdf e http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/appunti_05.pdf
DettagliSistemi LTI a Tempo Continuo
Capitolo 3 Sistemi LTI a Tempo Continuo 3.1 Proprietà di Linearità e Tempo Invarianza 3.1.1 Linearità Si indichi con T [.] la trasormazione ingresso-uscita, o unzione di traserimento, di un sistema S 1,
DettagliDispense del corso di Elettronica L Prof. Guido Masetti
Dispense del corso di Elettronica L Prof. Guido Masetti Teoria dei Segnali e Sistemi Sommario Architettura dei sistemi per l'elaborazione dell'informazione Informazione e segnali Teoria dei segnali Analisi
DettagliTeoria dei Segnali Quantizzazione dei segnali; trasformata zeta
Teoria dei Segnali Quantizzazione dei segnali; trasformata zeta Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali Quantizzazione;
DettagliPrincipi di Modulazione Analogica
Capitolo 2 Principi di Modulazione Analogica Questo capitolo ha lo scopo di fornire una panoramica sulle principali modulazioni analogiche ad onda continua ovvero su quelle modulazioni analogiche che utilizzano
DettagliTrasformate al limite
Bozza Data 6/0/007 Trasormate al limite La unzione generalizzata delta di Dirac Funzioni, unzionali e distribuzioni Prima di deinire la delta di Dirac conviene ricordare le seguenti deinizioni: unzione
DettagliEsercizi svolti di Teoria dei Segnali
Esercizi svolti di eoria dei Segnali Enrico Magli, Letizia Lo Presti, Gabriella Olmo, Gabriella Povero Versione. Prefazione A partire dall anno accademico 5/6 viene fornita agli studenti dei corsi di eoria
DettagliIn realtà i segnali con i quali dobbiamo confrontarci più frequentemente sono limitati nel tempo
Segnali trattati sino ad ora: continui, durata infinita,.. Su essi sono stati sviluppati strumenti per analizzare output di circuiti e caratteristiche del segnale: Risposta all impulso, prodotto di convoluzione,
Dettagli04 - Numeri Complessi
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Statistica per l Analisi dei Dati Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2013/2014 M. Tumminello, V. Lacagnina e
DettagliTeoria dei Segnali Richiami ai numeri complessi; serie e trasformata di Fourier
Teoria dei Segnali Richiami ai numeri complessi; serie e trasformata di Fourier Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali
DettagliModulazione PAM Multilivello, BPSK e QPSK
Modulazione PAM Multilivello, BPSK e QPSK P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Modulazioni PAM Multilivello, BPSK e QPSK - 1 Rappresentazione analitica del segnale Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza
DettagliSerie di Fourier di segnali PWM
Serie di Fourier di segnali PWM Ivan Furlan 1 14 settembre 2013 1 I. Furlan riceve il BSc in elettronica nel 2000 presso la SUPSI, ed il MSc in meccatronica nel 2009 presso il Politecnico di orino. Attualmente
DettagliAlcune nozioni di calcolo differenziale
Alcune nozioni di calcolo differenziale G. Mastroeni, M. Pappalardo 1 Limiti per funzioni di piu variabili Supporremo noti i principali concetti algebrici e topologici relativi alla struttura dello spazio
DettagliCorso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra
Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra Sommario CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI.... ESERCIZIO.... ESERCIZIO... 5.3 ESERCIZIO 3 CONVOLUZIONE...
Dettagli0.1 Arco di curva regolare
.1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali
DettagliCaratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza
Capitolo 5 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza 5. Introduzione In questo capitolo affrontiamo lo studio dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Prendiamo come esempio
DettagliScomposizione in fratti semplici
0.0.. Scomposizione in fratti semplici La determinazione dell evoluzione libera e dell evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario richiedono l antitrasformazione di una funzione razionale fratta
DettagliLA TECNICA DI TRASMISSIONE OFDM. Ing. Riccardo Pighi
LA TECNICA DI TRASMISSIONE OFDM Ing. Riccardo Pighi Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università degli Studi di Parma Parma, Venerdì 23 Gennaio 2004 Sommario della presentazione 1. OFDM: introduzione
DettagliFiltri passivi Risposta in frequenza dei circuiti RC-RL-RLC
23. Guadagno di un quadripolo Filtri passivi isposta in frequenza dei circuiti C-L-LC In un quadripolo generico (fig. ) si definisce guadagno G il rapporto tra il valore d uscita e quello d ingresso della
DettagliLEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.
DettagliRISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Fondamenti di Segnali e Trasmissione Risposta in requenza e banda passante La risposta in requenza di un sistema LTI e la trasormata di Fourier
DettagliSviluppi e derivate delle funzioni elementari
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim
DettagliANALISI DI FOURIER. Segnali tempo continui:
ANALISI DI FOURIER Segnali tempo continui: Segnali aperiodici Introduzione alla Trasformata Continua di - Derivazione intuitiva della TCF a partire dallo Sviluppo in Serie di - Spettro di ampiezza e fase
DettagliRette e piani nello spazio
Rette e piani nello spazio Equazioni parametriche di una retta in R 3 : x(t) = x 0 + at r(t) : y(t) = y 0 + bt t R, parametro z(t) = z 0 + ct ovvero r(t) : X(t) = P 0 + vt, t R}, dove: P 0 = (x 0, y 0,
DettagliIl Rumore Termico nei Sistemi di Comunicazione
Appendice B Il Rumore Termico nei Sistemi di Comunicazione B. Il rumore termico prodotto da un resistore Collegando un voltmetro molto sensibile ai capi di un resistore reale con resistenza R ohm (Ω),
DettagliSegnali ad energia ed a potenza finita
Bozza Data 07/03/008 Segnali ad energia ed a potenza finita Energia e potenza di un segnale Definizioni di energia e potenza Dato un segnale (t), in generale complesso, si definisce potenza istantanea
DettagliCenni sulla Serie di Fourier
Cenni sulla Serie di Fourier Note per le lezioni del corso di Controlli Automatici Prof.ssa Maria Elena Valcher 1 Serie di Fourier Osserviamo preliminarmente che la somma di segnali periodici non è necessariamente
DettagliRISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI 1 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Introduzione Se il segnale d ingresso di un sistema Lineare Tempo-Invariante (LTI e un esponenziale
DettagliPunti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali
Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali Dati f : A R n R ed X 0 A, X 0 si dice : punto di minimo assoluto se X A, f ( x ) f ( X 0 ) punto di massimo assoluto se X A, f ( x ) f (
DettagliLa Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni. Parte II
Metodi di Calcolo per la Chimica A.A. 2016-2017 Marco Ruzzi La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni Parte II Showing a Fourier transform to a physics student generally produces the
DettagliSISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO
Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-200 p. /32 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento,
DettagliRICHIAMI MATEMATICI. x( t)
0.0. 0.1 1 RICHIAMI MATEMATICI Funzioni reali del tempo: (t) : t (t) (t) ( t) Funzioni reali dell ingresso: y() t t y( ) y() : y() Numeri complessi. Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri
DettagliCorso di SEGNALI a.a Corso di SEGNALI. anno accademico Trasformata di Fourier: esercizi d esame
Corso di SEGNLI a.a.008 009 Corso di SEGNLI anno accademico 008-009 rasormata di Fourier: esercizi d esame. Successivamente si calcoli il valore di () per 0, ±/ e ±/. Per calcolare la trasormata di questo
Dettagli01CXGBN Trasmissione numerica. parte 11: modulazione 2-PAM
0CXGBN Trasmissione numerica parte : modulazione 2-PAM PARTE 2: Modulazioni Numeriche 2 Modulazioni: introduzione Per ogni modulazione considereremo: Caratteristiche generali Costellazione (insieme di
DettagliSi considerino i sistemi elettrici RL rappresentati nella seguente figura: L u 1 (t)
Esercizio Circuiti R in serie). Si considerino i sistemi elettrici R rappresentati nella seguente figura: + + + + u t) R y t) u t) R y t) Si consideri inoltre il sistema ottenuto collegando in serie i
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
Dettagli2. Analisi in frequenza di segnali
2.1 Serie di Fourier 2. Analisi in frequenza di segnali Secondo il teorema di Fourier, una funzione periodica y(t) è sviluppabile in una serie costituita da un termine costante A 0 e da una somma di infinite
DettagliProblemi di base di Elaborazione Numerica dei Segnali
Universita' di Roma TRE Corso di laurea in Ingegneria Elettronica Corso di laurea in Ingegneria Informatica Universita' di Roma "La Sapienza" Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni Problemi
Dettagli+ h(τ) x(t τ)dτ (2.1) Figura 2.1: Sistema lineare
Capitolo Metodo di Volterra.1 Introduzione Per un sistema lineare, come riportato in figura.1, si può sempre definire una risposta impulsiva ht che relaziona, tramite un integrale di convoluzione, il segnale
Dettaglivariabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.
Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:
DettagliINGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Il teorema di Shannon
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Il teorema di Shannon Prof. Carlo Rossi DEIS - Università di Bologna Tel: 051 2093024 email: crossi@deis.unibo.it Introduzione Il teorema di Shannon, o
DettagliORDINAMENTO 2011 QUESITO 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 0 QUESITO Consideriamo la sezione della sfera e del cilindro con un piano passante per l asse del cilindro: Indicando con x il diametro di base del cilindro, con y la sua altezza
DettagliTeoria dei Segnali Trasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici
eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it eoria dei Segnali rasmissione
Dettagli(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).
G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il
DettagliCapitolo 6 Strato Fisico- Le Modulazioni Numeriche
Capitolo 6 Strato Fisico- Le Modulazioni Numeriche 1 Modulazione e Demodulazione numerica segnale numerico segnale analogico...0010111001... modulatore numerico segnale numerico mezzo trasmissivo...0010011001...
DettagliRICHIAMI SU PROCESSI ALEATORI E DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA
RICHIAMI SU PROCESSI ALEATORI E DENSITÀ SPETTRALE DI POTENZA Paolo Bestagini Ph.D. Student bestagini@elet.polimi.it http://home.deib.polimi.it/bestagini Sommario 2 Segnali deterministici Continui Discreti
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 02 - I Numeri Reali Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano, M.
Dettagli11. Misure con segno.
11. Misure con segno. 11.1. Misure con segno. Sia Ω un insieme non vuoto e sia A una σ-algebra in Ω. Definizione 11.1.1. (Misura con segno). Si chiama misura con segno su A ogni funzione ϕ : A R verificante
DettagliLe modulazioni impulsive
Le modulazioni impulsive a cura di Francesco Galgani (www.galgani.it) Indice 1 Introduzione 2 2 La modulazione PAM 3 2.1 Cenni teorici....................................... 3 2.2 Simulazione con il computer
DettagliANALISI DI FOURIER. Segnali a tempo continuo:
ANALISI DI OURIER Segnali a tempo continuo: Segnali aperiodici Segnali periodici Introduzione alla Trasformata Continua di ourier - Derivazione intuitiva della TC a partire dallo Sviluppo in Serie di ourier
DettagliStabilità e retroazione
0.0. 4.1 1 iagramma Stabilità e retroazione Stabilità dei sistemi dinamici lineari: Un sistema G(s) è asintoticamente stabile se tutti i suoi poli sono a parte reale negativa. Un sistema G(s) è stabile
DettagliTRASMISSIONE NUMERICA IN BANDA PASSANTE. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione
TRASMISSIONE NUMERICA IN BANDA PASSANTE Fondamenti Segnali e Trasmissione Trasmissione numerica in anda passante () Per ottenere una forma d onda numerica da trasmettere in anda passante è sufficiente
Dettagliẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1
Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell
DettagliIntroduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari
Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Capitolo Sistemi di equazioni lineari.8 Il Teorema di Cramer Si consideri un generico sistema
DettagliEquazioni esponenziali e logaritmi
Copyright c 2008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. Equazioni esponenziali e logaritmi 2 equazioni esponenziali..................................................... 3 casi particolari............................................................
DettagliCAMPIONAMENTO DI SEGNALI
CAMPIONAMENTO DI SEGNALI Alla base della discretizzazione di un segnale sorgente continuo sono i due procedimenti distinti di discretizzazione rispetto al tempo, detto campionamento, e rispetto all'ampiezza,
DettagliMODELLI A TEMPO CONTINUO IN EQUAZIONI DI STATO. Sistema lineare stazionario a tempo continuo in equazioni di stato. = Cx(t) + Du(t) x(0) = x 0
MODELLI A TEMPO CONTINUO IN EQUAZIONI DI STATO Sistema lineare stazionario a tempo continuo in equazioni di stato ẋ(t) y(t) = Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) + Du(t) x() = x Risposta completa (risposta libera e
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.2 Funzioni Complesse Una funzione complessa di variabile complessa f : E C, E C è un applicazione ce associa un numero complesso f(z) ad ogni z E, con E sottoinsieme del
Dettagli12 Simulazione di prova d Esame di Stato
2 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario È assegnata la funzione = f() =( +2)e 2 +, essendo una variabile reale.
DettagliAmplificatori in classe A con accoppiamento capacitivo
Ottobre 00 Amplificatori in classe A con accoppiamento capacitivo amplificatore in classe A di Fig. presenta lo svantaggio che il carico è percorso sia dalla componente di segnale, variabile nel tempo,
DettagliGianfranco Cariolaro, Gianfranco Pierobon, Giancarlo Calvagno Segnali e sistemi Indice analitico
Gianfranco Cariolaro, Gianfranco Pierobon, Giancarlo Calvagno Segnali e sistemi Indice analitico Copyright The McGraw-Hill Companies srl A aliasing, 443 fenomeno dell, 424f AMI, codificatore, 315 analiticità
DettagliCorso di Analisi Numerica - AN410. Parte 5: formule di quadratura. Roberto Ferretti
Corso di Analisi Numerica - AN410 Parte 5: formule di quadratura Roberto Ferretti UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Formule di quadratura interpolatorie: teoria generale Formule di Newton Cotes semplici
DettagliMiglior approssimazione in spazi euclidei
Miglior approssimazione in spazi euclidei 15 gennaio 2009 1 Introduzione astratta Sia E uno spazio vettoriale dotato di un prodotto interno (, ) (talvolta un tale spazio è detto euclideo, cf. [7, p.148]),
DettagliSoluzione degli esercizi del Capitolo 9
Soluzione degli esercizi del Capitolo 9 Soluzione dell Esercizio 9.1 Il diagramma polare associato alla funzione L(s) = µ/s, µ > comprende l intero semiasse reale negativo. È quindi immediato concludere
DettagliCONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale ANALISI ARMONICA
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANALISI ARMONICA Ing. Federica Grossi Tel. 059 2056333 e-mail: federica.grossi@unimore.it
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliTRASMISSIONE NUMERICA IN BANDA BASE
TRASMISSIONE NUMERICA IN BANDA BASE 1 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Trasmissione numerica in banda base Per trasmettere una sequenza di cifre binarie su un canale di trasmissione
DettagliSTUDIO DELLE RADICI DI UNA EQUAZIONE ALGEBRICA DI TERZO GRADO A COEFFICIENTI REALI
M. G. BUSATO STUDIO DELLE RADICI DI UNA EQUAZIONE ALGEBRICA DI TERZO GRADO A COEFFICIENTI REALI mgbstudio.net PAGINA INTENZIONALMENTE VUOTA SOMMARIO In questo scritto viene compiuto lo studio dettagliato
DettagliObiettivi del corso. Esempi di sistemi di comunicazione. Classificazione dei segnali
Obiettivi del corso Obiettivi Acquisire i principali strumenti metodologici ed informatici per l analisi e l elaborazione dei segnali di comune impiego nelle applicazioni di telecomunicazioni e più in
DettagliFunzioni goniometriche di angoli notevoli
Funzioni goniometriche di angoli notevoli In questa dispensa calcoleremo il valore delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli di 30, 45 e 60. Dopo aver richiamato il concetto di sezione aurea
DettagliConcetti di base: segnali - Classificazione dei segnali -
Corso di Tecnologie per le Telecomunicazioni e sviluppo in serie di Fourier 1 - Classificazione dei segnali - Le forme d onda di interesse per le Telecomunicazioni possono essere sia una tensione v(t)
Dettagli