Informatica 3. Informatica 3. LEZIONE 25: Algoritmi sui grafi. Lezione 25 - Modulo 1. Problema. Notazioni per il percorso più breve
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- Elisabetta Lanza
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1 Informti Informti LZION : lgoritmi sui grfi Lzion - Moulo Moulo : Prolm l prorso più rv Moulo : Spnning tr osto minimo Prolm l prorso più rv Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr omi Prolm Prolm: mpp i str h onnttono ittà + istnz tr ittà inti rpprsntzion trmit G on vrtii=ittà rhi=str tihttti on l istnz (oppur. tmpo i prorrnz) tr i vrtii trovr l lunghzz l prorso più rv tr u ittà/vrtii trovr il prorso più rv tr un ittà/vrti tutti l ltr ittà/vrtii trovr il prorso più rv tr tutt l oppi i ittà/vrtii Politnio i Milno - Prof. Sr omi Notzioni pr il prorso più rv Notzioni: istnz (, ): prorso più rv tr i vrtii s il prorso non sist, llor (,) = pso w(, ): pso ll ro h onntt s tl ro non sist, llor w(, ) = Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4
2 Prorso ll singol sorgnt osto minimo Prolm l prorso più rv i un singol sorgnt to un vrti s in un grfo G, trovr il prorso più rv s vrso ogni vrti i G smpio pplitivo: trovr i prorsi più rvi pr invir un mssggio in rost tutti i omputr i un rt Pr grfi non psti è suffiint pplir un rir in mpizz (FS) lgoritmo i ijkstr s vrti in ui si inizi il prosso Prossimo i vrtii in orin i istnz s Supponimo i vr prossto i- vrtii: S Prossimo il prossimo vrti più viino x Il prorso più rv s x v vr il suo pnultimo vrti in S: (s,x) = min ((s,u) + w(u,x)) u S Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr omi lgoritmo i ijkstr () lgoritmo i ijkstr () Inizio Pross Pross Pross Pross Pross s= Inizio Pross Pross Pross Pross Pross Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr omi
3 lgoritmo i ijkstr () lgoritmo i ijkstr () Inizio Pross Pross Pross Pross Pross Inizio Pross Pross Pross Pross Pross Politnio i Milno - Prof. Sr omi 9 Politnio i Milno - Prof. Sr omi lgoritmo i ijkstr () lgoritmo i ijkstr () Inizio Pross Pross Pross Pross Pross Inizio Pross Pross Pross Pross Pross Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr omi
4 lgoritmo i ijkstr () lgoritmo i ijkstr () Implmntzion: // omput shortst pth istns from s, // rturn thm in voi ijkstr(grph* G, int*, int s) { int i, v, w; for (i=; i<g->n(); i++) { // o vrtis v = minvrtx(g, ); if ([v] == INFINITY) rturn; G->stMrk(v, VISIT); for (w=g->first(v); w<g->n(); w = G->nxt(v,w)) if ([w] > ([v] + G->wight(v, w))) [w] = [v] + G->wight(v, w); } } [v] v s [w] w f Politnio i Milno - Prof. Sr omi g wight(v,w) g Prolm i trovr il vrti non visitto on vlor minimo (minvrtx): Mtoo : onsirr tutti i vrtii nll list V rr il vlor minimo i osto: Θ( V + ) = Θ( V ), poihè è in O( V ) Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 lgoritmo i ijkstr (4) Implmntzion i minvrtx on il mtoo : // Fin min ost vrtx int minvrtx(grph* G, int* ) { int i, v; // St v to n unvisit vrtx for (i=; i<g->n(); i++) if (G->gtMrk(i) == UNVISIT) { v = i; rk; } // Now fin smllst vlu for (i++; i<g->n(); i++) if ((G->gtMrk(i) == UNVISIT) && ([i] < [v])) v = i; rturn v; } Politnio i Milno - Prof. Sr omi lgoritmo i ijkstr () Prolm i trovr il vrti non visitto on vlor minimo (minvrtx): Mtoo : mmorizzr i vrtii non prossti in un min-hp in orin i osto: Θ(( V + ) log ) Prolm: i vlori ll istnz mino ogni psso --> ontinuo ggiornmnto l min-hp Soluzion: insrir nl min-hp ogni nuovo vlor trovto s il vlor insrito è < l vlor prnt vrrà prossto pr primo (qullo mggior vrrà ignorto) s il vlor insrito è > vrrà ignorto Politnio i Milno - Prof. Sr omi
5 Prorso più rv tutti tutti () lgoritmo i Floy Prolm l prorso più rv tutti tutti : to un grfo G pr ogni u,v V lol (u,v) Soluzion : ppli l lgoritmo i ijkstr V volt OK s G è sprso on l o i priorità s G è nso il osto è mggior Politnio i Milno - Prof. Sr omi Mtri i inz: Politnio i Milno - Prof. Sr omi pso pso prorso prorso (v v i,v k ) i (v v k,v j ) k v j pso prorso (v i,v j ) vin ggiunto s qusto pso è minor i qullo ttulmnt prsnt nll mtri lgoritmo i Floy lgoritmo i Floy Mtri i inz:? Politnio i Milno - Prof. Sr omi 9 Mtri i inz:? Politnio i Milno - Prof. Sr omi?
6 Mtri i inz: lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi < Mtri i inz: lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi < Mtri i inz: lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi > Mtri i inz: lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 <
7 Mtri i inz: lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi < Mtri i inz: lgoritmo i Floy? Politnio i Milno - Prof. Sr omi? Mtri i inz: lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi = Mtri i inz: lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi =
8 Mtri i inz: lgoritmo i Floy? Politnio i Milno - Prof. Sr omi 9? Mtri i inz: lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi 9 < 9 Mtri i inz: 9 lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi 9 < 9 Mtri i inz: 9 lgoritmo i Floy Politnio i Milno - Prof. Sr omi >
9 9 Mtri i inz: 9 lgoritmo i Floy? Politnio i Milno - Prof. Sr omi? Implmntzion: lgoritmo i Floy //Floy's ll-pirs shortst pths lgorithm voi Floy(Grph* G) { int [G->n()][G->n()]; // Stor istns for (int i=; i<g->n(); i++) // Initiliz for (int j=; j<g->n(); j++) [i][j] = G->wight(i, j); // omput ll k pths for (int k=; k<g->n(); k++) for (int i=; i<g->n(); i++) for (int j=; j<g->n(); j++) if ([i][j] > ([i][k] + [k][j])) [i][j] = [i][k] + [k][j]; } Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 Informti Lzion - Moulo Spnning tr osto minimo Prolm Prolm: trminr lo spnning tr osto minimo i un grfo Input: grfo G onnsso non orintto on rhi psti Output: grfo h ontin i vrtii i G il sottoinsim i rhi i G pr ui: il osto totl minimo ottnuto sommno i vlori i tutti gli rhi l sottoinsim è minimo i vrtii sono onnssi smpio pplitivo: onnttr un insim i ittà trmit vo tlfonio in moo minimizzr l lunghzz l vo totl Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr omi
10 smpio Oss.: lo spnning tr minimo osto (MST) non ontin ili (è un fr tr) lgoritmo i Prim () lgoritmo: prti un vrti N nl grfo MST inizilmnt ontin N onsir l ro osto infrior onnsso N il vrti M ui è onnsso ggiungi M (N,M) MST Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr omi lgoritmo i Prim () lgoritmo: prti un vrti N nl grfo MST inizilmnt ontin N onsir l ro osto infrior onnsso N il vrti M ui è onnsso ggiungi M (N,M) MST onsir l ro osto infrior onnsso N o M ggiungi il vrti ui si onntt l ro orrisponnt MST ontinu il prosso fino quno tutti i vrtii sono stti inlusi lgoritmo i Prim () lgoritmo: prti un vrti N nl grfo MST inizilmnt ontin N onsir l ro osto infrior onnsso N il vrti M ui è onnsso ggiungi M (N,M) MST onsir l ro osto infrior onnsso N o M ggiungi il vrti ui si onntt l ro orrisponnt MST ontinu il prosso fino quno tutti i vrtii sono stti inlusi Politnio i Milno - Prof. Sr omi 9 Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4
11 lgoritmo i Prim () lgoritmo: prti un vrti N nl grfo MST inizilmnt ontin N onsir l ro osto infrior onnsso N il vrti M ui è onnsso ggiungi M (N,M) MST onsir l ro osto infrior onnsso N o M ggiungi il vrti ui si onntt l ro orrisponnt MST ontinu il prosso fino quno tutti i vrtii sono stti inlusi lgoritmo i Prim () lgoritmo: prti un vrti N nl grfo MST inizilmnt ontin N onsir l ro osto infrior onnsso N il vrti M ui è onnsso ggiungi M (N,M) MST onsir l ro osto infrior onnsso N o M ggiungi il vrti ui si onntt l ro orrisponnt MST ontinu il prosso fino quno tutti i vrtii sono stti inlusi Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 lgoritmo i Prim () Implmntzion: rry : istnz tr i vrtii ll lro i rioprimnto tutti gli ltri vrtii rry V: vrti risptto l qul vin trovt l istnz rpprsntt in V F 9 V lgoritmo i Prim () Implmntzion: rry : istnz tr i vrtii ll lro i rioprimnto tutti gli ltri vrtii rry V: vrti risptto l qul vin trovt l istnz rpprsntt in V F 9 V Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 Politnio i Milno - Prof. Sr omi 44
12 lgoritmo i Prim () Implmntzion: rry : istnz tr i vrtii ll lro i rioprimnto tutti gli ltri vrtii rry V: vrti risptto l qul vin trovt l istnz rpprsntt in V F 9 V lgoritmo i Prim () Implmntzion: rry : istnz tr i vrtii ll lro i rioprimnto tutti gli ltri vrtii rry V: vrti risptto l qul vin trovt l istnz rpprsntt in V F 9 V Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 lgoritmo i Prim () Implmntzion: rry : istnz tr i vrtii ll lro i rioprimnto tutti gli ltri vrtii rry V: vrti risptto l qul vin trovt l istnz rpprsntt in V F V F lgoritmo i Prim () Implmntzion: rry : istnz tr i vrtii ll lro i rioprimnto tutti gli ltri vrtii rry V: vrti risptto l qul vin trovt l istnz rpprsntt in V F V F Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4 Politnio i Milno - Prof. Sr omi 4
13 lgoritmo i Prim () Implmntzion: rry : istnz tr i vrtii ll lro i rioprimnto tutti gli ltri vrtii rry V: vrti risptto l qul vin trovt l istnz rpprsntt in V F V F Politnio i Milno - Prof. Sr omi 49 Implmntzion: lgoritmo i Prim () voi Prim(Grph* G, int*, int s) { int V[G->n()]; // Who's losst int i, w; for (i=; i<g->n(); i++) {// o vrtis int v = minvrtx(g, ); G->stMrk(v, VISIT); if (v!= s) gtomst(v[v], v); if ([v] == INFINITY) rturn; for (w=g->first(v); w<g->n(); w = G->nxt(v,w)) if ([w] > G->wight(v,w)) { [w] = G->wight(v,w);// Upt ist V[w] = v; // Upt who it m from } } } Politnio i Milno - Prof. Sr omi lgoritmo i Kruskl () lgoritmo: Prtizion l insim i vrtii in V lssi i quivlnz, ostituit un singolo vrti Pross gli rhi in orin i pso S l ro onntt u vrtii pprtnnti lssi i quivlnz ivrs llor ggiungi l ro MST omin l u lssi i quivlnz Ripti il prosso fino ottnr un uni lss i quivlnz lssi inizili Psso Pross (,) Psso Pross (,F) Psso Pross (,F) lgoritmo i Kruskl () Politnio i Milno - Prof. Sr omi Politnio i Milno - Prof. Sr omi
14 lgoritmo i Kruskl () Gli rhi possono ssr prossti in orin i pso utilizzno un min-hp Prolm: trminr s u vrtii pprtngono ll stss lss i quivlnz lgortimo pr gli lri UNION/FIN sto sull rpprsntzion i punttori l pr Politnio i Milno - Prof. Sr omi
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