Modello del moto vario nelle correnti a superficie libera

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1 Modello del moto vario nelle correnti a superficie libera 1. Schematizzazione della corrente a superficie libera Nei casi in cui la corrente, pur se in condizioni evolutive di moto vario turbolento, mantiene le caratteristiche di un campo di velocità medio temporale lineare, la corrente stessa può essere schematizzata come in Fig. 1. A Sez. AA M α ex asse della corrente Y s ez A N ey Fig. 1 Date le condizioni di linearità del moto, la quota piezometrica si può ritenere costante su ogni punto di una generica sezione della corrente. Pertanto risulta che: Y = p ρg dove Y è il tirante idrico, p la pressione nel punto N (pressione relativa alla patm) e (ρg) il peso specifico del liquido defluente. Si ricorda, infine, che la pendenza dell asse della corrente viene indicata con if = sinα. 2. Equazione di continuità L equazione di continuità per una corrente lineare in moto vario risulta: (ρa) + (ρq) = 0 (1) Potendosi considerare per le correnti a superficie libera ρ = costante, la (1) si riduce a: A + Q = 0 (2) 1

2 Limitandosi a caso di alvei cilindrici, cioè al caso in cui risulta: A = A[Y(s, t)] Considerato che Q = UA, sviluppando la (2) si ottiene: da + A + U da = 0 e, quindi, per le correnti lineari a superficie libera in condizioni di moto vario turbolento l equazione di continuità si può scrivere come: l + A + lu = 0 (3) dove si è posto (l = da/) larghezza della sezione in corrispondenza alla superficie libera. 3. Equazione del moto L equazione per una corrente lineare in moto turbolento vario risulta: z + 1 p ρg + 1 g ( + U ) + t 0 ρgr = 0 (4) dove con R si intende il raggio idraulico della generica sezione. Tenendo conto di quanto richiamato nel paragrafo 1, si può porre: ( p ρg) = e z = i f Inoltre, il termine dissipativo della (4) si può modellare con una relazione del tipo dissipazione di moto uniforme, vale a dire: t 0 ρgr = U2 χ 2 R In definitiva l equazione del moto per le correnti lineari in moto turbolento vario risulta: i f = 1 g ( + U ) + U2 χ 2 R (5) La (5) è nota come equazione di De Saint-Venant. 2

3 Le equazioni (3) e (5) costituiscono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali del 1 ordine, nelle due variabili U e Y dipendenti da s e t; sistema che rappresenta il modello matematico per il moto vario nelle correnti a superficie libera. 4. Celerità di propagazione delle perturbazioni Nei fenomeni di moto vario nelle correnti in pressione, l evoluzione del fenomeno si presenta, in generale, come la propagazione nella corrente di una perturbazione del moto stazionario preesistente. La celerità di propagazione di tali perturbazioni si può facilmente determinare considerando un caso semplice. Si consideri una corrente che defluisce in un canale di forma rettangolare, con un tirante idrico Y= Y(s, t). Si voglia studiare l evoluzione del moto vario in una striscia di larghezza unitaria della sezione (vedi Fig. 2). Per la striscia in considerazione risulta quanto segue. Y 1 Fig. 2 Area di deflusso: A = Y 1 = Y; larghezza in superficie libera: l =1. Formulando l ipotesi che: i f U2 χ 2 R = 0 Il sistema di equazioni del moto vario si riduce a: + Y + U = 0 (6) U g g = 0 (7) Per il caso in esame risulta, ovviamente, che U = U[Y(s, t)]; dalla (6), quindi, si ottiene: + Y + U = 0 (6.1) da cui: = (Y + U ) (8) Dalla (7) si ottiene: U g g = 0 (7.1). 3

4 Posta la (8) nella (7.1), si perviene a: + 1 g [ (Y + U )] + U g = 0 sviluppando si giunge facilmente alla seguente relazione: [1 Y g ( )2 ] = 0 (9). Dalla (9), escludendo la soluzione di moto uniforme (/ds = 0), si ottiene la soluzione: = ± g Y ; Soluzione che sostituita nella (6.1) conduce a: ± Y g Y da cui: + U = 0 (U ± gy) + (10). La (10) consente di asserire che la perturbazione del tirante idrico Y si propaga con celerità c pari a: c = U ± gy (11). Ricordando che per una corrente veloce risulta: U > gy U ± gy > 0, mentre per una corrente lenta risulta: U < gy U + gy > 0 e U gy < 0. Si può, quindi concludere che nelle correnti veloci le perturbazioni si propagano solo verso valle; nelle correnti lente le perturbazioni si propagano sia verso valle che verso monte. Questa proprietà di propagazione delle perturbazioni giustifica l assunto per il quale un profilo di rigurgito in corrente veloce è determinato dalla condizione di controllo di monte, mentre un profilo di rigurgito in corrente lenta è determinato dalla condizione di controllo di valle. 4

5 5. Onde di piena Nelle correnti a superficie libera, uno dei fenomeni di moto vario più importanti è costituito dal fenomeno di propagazione di un onda di piena. Tale fenomeno si registra quando in una certa sezione s0 di un alveo si produce un incremento rilevante della portata immessa (onda di piena), dovuta all adduzione in tale sezione di un apporto di portata, da parte della rete idrica di monte, notevolmente superiore alla portata stagionale Q0 (vedi Fig. 3); tale incremento di portata Q è, in genere, prodotto da eventi meteorici rilevanti o eccezionali. La condizione iniziale del moto vario è data da: Q(s 0, t) = Q 0 + Q(t) S0 La perturbazione Q(t) si presenta in generale con un andamento nel tempo del tipo: Fig. 3 Q T Q max t Qmax è il valore di perturbazione massima che si registra nell evento di piena. T è detto tempo di risalita della perturbazione, cioè il tempo che intercorre dall inizio dell evento di piena fino al verificarsi del massimo valore di perturbazione di portata nella sezione s0. Per trattare il problema della propagazione di un onda di piena è più idonea una formulazione del modello matematico del moto vario nelle variabili A[Y(s, t)] e Q(s, t), vale a dire: A + Q = 0 (12) + 1 g (Q) + Q A ga (Q) = i A f (13) Considerazioni Appare utile osservare che il modello di moto vario sopra riportato, quale modello monodimensionale più generale, contiene in sé anche i modelli relativi a condizioni di moto più semplici: moto permanente lineare e moto uniforme. Infatti, ponendo nelle (12) e (13) la condizione di stazionarietà del moto [ ( )/ t = 0] si ottiene: Q e = 0 Q = costante lungo s; (14) ds + Q d ga ds (Q A ) = i f 5

6 da cui, tenendo conto della (14), si ottiene: ds + Q ga ( Q da A 2 ds ) = i f In conclusione si ha: l (1 ds ga 3) = i f vale a dire l equazione dei profili di rigurgito per alvei cilindrici. Risulta ancora più immediato verificare che dalla (13), ponendo le variabili come costanti rispetto a s e t, si perviene al modello valido per il moto uniforme. Infatti posto in (13) [ ( )/ t = 0 e [ ( )/ s = 0] si ottiene: Q 2 = i f Q = Aχ Ri f vale a dire la legge di Chezy di moto uniforme nelle correnti a superficie libera. 6