Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima

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1 Massimi e minimi con la derivata prima pag. 1 di 6 Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima Ricordiamo che il significato geometrico della derivata prima è quello di coefficiente angolare della retta tangente alla funzione. y y = f(x) retta tangente f ( ) x 0 P y = mx + q m = ( ) x 0 x 0 x Nell esempio in figura abbiamo una funzione crescente nell intorno del punto P, quindi anche la retta tangente è crescente ed il suo coefficiente angolare ( ) m = (che ne determina la pendenza) è positivo. Se una funzione è crescente ha la derivata positiva. Un ragionamento analogo ci porta a capire che una funzione decrescente avrà invece la derivata negativa. Il segno della derivata ci fornisce quindi un semplice criterio per stabilire gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente, riassunto nello specchietto qui sotto: ( x) > 0 f ( x) ( x) < 0 f ( x) f ( x) è stazionaria è è x 0 crescente decrescente Conoscendo, tramite il segno della derivata, gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce è quindi possibile ricavare la posizione dei suoi punti di massimo e di minimo. Queste informazioni unite a quelle sul dominio, sulle intersezioni con gli assi cartesiani e sul segno della funzione ci permetteranno in futuro di tracciare un grafico accurato della funzione. Nei punti di massimo e di minimo la derivata è uguale a zero e quindi la retta tangente in questi punti è orizzontale fanno eccezione i cosiddetti punti angolosi nei quali la funzione non è derivabile, essendo diverse le derivate destra e sinistra.

2 Massimi e minimi con la derivata prima pag. di 6 ( ) 0 I punti in cui x = sono particolarmente interessanti perché in essi la funzione può avere un punto di massimo, un punto di minimo o un punto di flesso a tangente orizzontale. I casi possibili sono rappresentati qui sotto. ( x) > 0 ( x) < 0 In figura è rappresentato un punto di massimo relativo. Il segno della derivata prima passa da positivo (funzione crescente) a negativo (funzione decrescente). ( x) < 0 ( x) > 0 In figura è rappresentato un punto di minimo relativo. Il segno della derivata prima passa da negativo (funzione decrescente) a positivo (funzione crescente). ( x) > 0 ( x) > 0 In figura è rappresentato un punto di flesso ascendente. Il segno della derivata prima è positivo prima e dopo il flesso ( x) < 0 ( x) < 0 In figura è rappresentato un punto di flesso discendente. Il segno della derivata prima è negativo prima e dopo il flesso È anche importante sottolineare che: nei punti di massimo la concavità della funzione è rivolta verso il basso nei punti di minimo la concavità della funzione è rivolta verso l alto nei punti di flesso la concavità della funzione cambia da sinistra a destra

3 Massimi e minimi con la derivata prima pag. di 6 A questo punto siamo in grado di trovare i punti di massimo e di minimo di una funzione y = f ( x) seguendo il procedimento descritto qui sotto: 1. determinazione del dominio della funzione x. calcolo della derivata ( ). studio del segno della derivata risolvendo la disequazione ( x) 0 4. schema grafico in cui si determinano i punti di max e di minimo in base al segno di ( x). Esempio 1 : trovare i punti di massimo e di minimo della funzione y = 4x 18x + 4x 1. Il dominio della funzione è D = ( ; + ). calcolo della derivata : ( x) = 1x 6x + 4. studio del segno della derivata : 1 x 6x che diventa x x + 0 La disequazione è di grado e si risolve col metodo della parabola. + ± 9 8 ± 1 x1 = 1 x 1, = = = con la parabola abbiamo quindi: x = x 1 x 4. schema grafico col segno della derivata segno di ' ( x) 1 f comportamento di f ( x) crescente decrescente crescente è evidente dallo schema grafico che in x = 1 abbiamo un punto di massimo, mentre in x = abbiamo un punto di minimo. L ordinata dei due punti si calcola inserendo nella funzione y = f ( x) i valori dell ascissa. 1. Punto di massimo x = 1 () 1 = 4 () 1 18 () 1 il punto di massimo è il punto A ( 1 ;10) = = 10. Punto di minimo x = ( ) = 4 ( ) 18 ( ) il punto di minimo è il punto B ( ; 8) + 4 = = 8 Nella pagina seguente è riportato, in scala diversa sui due assi cartesiani, il grafico della funzione con evidenziati i punti di massimo e di minimo.

4 Massimi e minimi con la derivata prima pag. 4 di 6 A( 1;10) B( ; 8) Grafico della funzione y = 4x 18x + 4x con evidenziati i due punti di massimo e di minimo..

5 Massimi e minimi con la derivata prima pag. 5 di 6 6 Esempio : trovare i punti di massimo e di minimo della funzione y = x x + 1x 4 1. Il dominio della funzione è D = ( ; + ) = x +. calcolo della derivata : ( x) x 1 1. studio del segno della derivata : x 1x che diventa x 4x La disequazione è di grado e si risolve col metodo della parabola. Con formula ridotta: + ± 4 4 x1 = x 1, = = ± 0 = 1 x = le soluzioni sono coincidenti e con la parabola abbiamo quindi: x x 4. schema grafico col segno della derivata segno di ' ( x) + f + + comportamento di f ( x) crescente crescente La funzione risulta sempre crescente, non ha quindi né massimi né minimi. Però questa volta in x = abbiamo un punto di flesso ascendente. x =. Punto di flesso x = ( ) = ( ) 6 ( ) il punto di flesso è il punto B ( ; 4) = = 4 Qui sotto è riportato, in scala diversa sui due assi cartesiani, il grafico della funzione. B( ; 4)

6 Massimi e minimi con la derivata prima pag. 6 di 6 Esempio : trovare i punti di massimo e di minimo della funzione 4 y = x 8x 6x + 4x 1. Il dominio della funzione è D = ( ; + ). calcolo della derivata : ( x) 1x 4x 1 4 = x +. studio del segno della derivata : 1 x 4x 1x che diventa x x x + 0 La disequazione si risolve scomponendo in fattori e confrontando i segni dei vari fattori x x x + 0 x x 1 x 0 x x 1 e quindi: ( x ) ( x 1) ( x 1) 0 o segno del 1 fattore: x 0 x o segno del fattore: x 1 0 x 1 o segno del fattore: x x 1 4. schema grafico col segno della derivata ( ) ( ) ( ) ( ) fattore + fattore + + fattore x + + segno di ( ) comportamento di f x ( ) decrescente crescente decrescente crescente è evidente dallo schema grafico che in x = 1 abbiamo un punto di massimo, mentre in x = 1 e x = abbiamo due punti di minimo. L ordinata dei tre punti si calcola inserendo nella funzione y = f ( x) i valori dell ascissa. 1 punto di minimo Punto di massimo x = 1 ( 1) = = 19 il 1 punto di minimo è il punto B ( 1 ; 19) x = 1 () 1 il punto di massimo è il punto A ( 1 ;1) = = 1 punto di minimo x = ( ) = il punto di minimo è il punto C ( ;8) = = 8