ENERGIA DI UN ONDA. INTENSITA

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1 ENEGIA DI UN ONDA. INTENSITA O- 1 Un onda si propaga perche ogni parte del mezzo comunica il moto alle parti adiacenti Poiche iene fatto del laoro, iene trasferita energia Quanta energia si sposta per unita di tempo e di superficie? Se u e la densita di energia per unita di olume, la potenza trasmessa per unita di superficie e di tempo alla direzione di propagazione e I = du du dx dadt = dadx dt = e si misura in W/m. I si dice intensita. Per un onda meccanica Asin(kx-ωt) un punto fissato descrie un oscillazione armonica => u = ka ω A I ω A Note: L origine del flusso di energia e nella sorgente delle onde Abbiamo trascurato effetti dissipatii (assorbimento) u P

2 COMPOSIZIONE DI ONDE. Esempio: battimenti O- Poiche l equazione d onda e lineare, due onde si compongono semplicemente sommandole! Un esempio spettacolare (battimenti): A1 = A = A, ω1 ~ ω, 1 = A(w 1 t) A(w t) INTEFEENZA INTEFEENZA COSTUTTIVA DISTUTTIVA k ω Acos( kx 1 ω1t) + Acos( kx ωt) = Acos x t cos k ω ( x t ) Pacchetto d onde con elocita di fase f = ω/k e elocita di gruppo g = ω/ k Applet

3 Esempio: onde stazionarie O- 3 Esempio: A1 = A = A, ω1 = ω, 1 = - ( ) ( ) Asin( kx+ ωt) + Asin( kx ωt) = Asin kx cos ωt L onda e degenere: = (onda stazionaria). Doe sin(kx)=1 (entri) l ampiezza di oscillazione e massima Doe sin(kx)= (nodi) l ampiezza di oscillazione e Si ha nel caso della riflessione di un onda elastica su una parete <= condizioni al contorno

4 Onde stazionarie: condizioni al contorno O- 4

5 ONDE IN PIU DIMENSIONI O- 5 Si puo scomporre in onde armoniche ( ) ( m ) Per un onda che si propaga lungo l asse x ξ ( x, t) = ξ x m t ξ ( x, t) = ξ sin kx ωt + φ r def π Come descriere un onda che si propaga in una direzione qualunque? k = ˆ λ r ξ ξ ( ) sin r = k m ωt + φ = ξ sin ( k xx + k yy + k zz ωt) + φ m con r k ω ξ ξ ξ = + + = x y z ξ = t Quest equazione ammette anche soluzioni che non sono onde piane Def. Fronte d onda: una superficie sulla quale a un certo istante la fase e costante Def. aggio: linea ortogonale al fronte d onda che rappresenta in quel punto la direzione di propagazione dell onda e dell energia a essa associata Se e la stessa in tutte le direzioni si ha un fronte d onda sferico Se e la stessa in tutte le direzioni rispetto a un asse, fronte d onda cilindrico 1 ξ

6 Esempio: onde sferiche O- 6 L equazione per una componente armonica e (flusso di energia erso l esterno) ( ω ) ξ ( r, t) = A( r)sin kr t Si ha I (r) = C A (r) ; d altra parte, se non c e dispersione, dee essere costante la potenza trasmessa attraerso una superficie di raggio r: 1 ξ P = IΣ= CA ( r) 4π r = cost. A( r) r r ξ ξ ( r, t) = sin ( kr ωt) r

7 EFFETTO DOPPLE O- 7 Se una sorgente S di onde con lunghezza d onda λ e un rielatore si muoono l una rispetto all altro, la frequenza ν percepita in generale diersa dalla frequenza propria ν Supponiamo che la sorgente sia in quiete e l osseratore si muoa con elocita La distanza tra fronti d onda consecutii e sempre λ Poiche la elocita relatia e ( ) il numero di fronti d onda che interessano il rielatore per unita di tempo e ν ( ) N ( ) ν = = = = ν 1 t λ Supponiamo che l osseratore sia in quiete e la sorgente si muoa con elocita S < La distanza tra fronti d onda consecutii e λ - S T La lunghezza d onda e la frequenza misurate da sono S S λ = λ ST = = ν = = = ν ν ν ν λ S S ν S

8 Onda d urto. Effetto Cherenko O- 8 In generale quindi, con S < Asimmetrico! ν ν = S Supponiamo che l osseratore sia in quiete e la sorgente si muoa con elocita S > S t S t θ I fronti d onda ammettono un iniluppo, rappresentato da un cono I raggi engono emessi a un angolo rispetto alla linea di olo tale che cosθ = S Applet

9 POPIETA DELLE ONDE: IEPILOGO O- 9 Onda: un formalismo matematico che descrie la propagazione di una perturbazione In generale descritta da una funzione d onda ξ(x,y,z,t) tale che ξ = Intensita : potenza trasmessa per unita di superficie e di tempo a du 1 1 I = = u ; u ω A I ω A dadt Per il T di Fourier, le onde periodiche possono enire scomposte in onde armoniche del tipo r def ( ) π ω ξ ξ sin r r r = k m ωt + φ con k = ˆ, k = λ Fronte d onda: una superficie sulla quale a un certo istante la fase e costante aggio: linea al fronte d onda che rappresenta la direzione di propagazione dell onda Se k e costante, fronte d onda piano; se k e centrale, fronte d onda sferico ξ ( r, t) = ( ξ / r)sin ( kr ωt) Poiche l equazione d onda e lineare, due onde si compongono semplicemente sommandole! Velocita di fase, elocita di gruppo Effetto Doppler: ν ν = Battimenti, onde stazionarie S 1 ξ t