Il campionamento e l inferenza

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1 e l fereza Popolazoe Campoe Da dat osservat medate scelta campoara s guge ad affermazo che rguardao la popolazoe da cu ess soo stat prescelt Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco Ao accademco Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco e l fereza Ao accademco S defsce campoameto u procedmeto attraverso l quale Pop da u seme d utà costtuet l oggetto dello studo, s estrae u umero rdotto d cas Estrazoe scelt co crter tal da casuale cosetre la geeralzzazoe all tera popolazoe de C rsultat otteut. I fere za Il campoe po deve essere rappresetatvo a della popolazoe o campoameto casuale Il calcolo delle probabltà esama rsultat che s ottegoo sotto l flueza del caso Campoe Calcolo delle probabltà Popolazoe

2 probablstco bl Le utà soo scelte modo casuale (ma o a casacco!). La casualtà tervee ella selezoe delle utà e s ottee attrbuedo ad og utà della popolazoe ua probabltà ota e dversa da zero d essere selezoata. Quado la probabltà d estrazoe, oltre ad essere ota, è posta uguale per tutte le utà, s parla d campoameto casuale semplce. a. I partcolare, la casualtà tervee ella selezoe delle utà e s ottee: attrbuedo ad og utà della popolazoe ua probabltà ota e dversa da zero d essere selezoata; Campoameto casuale co retroduzoe (o beroullao) Og elemeto che vee estratto vee retrodotto ella popolazoe modo tale che ad og estrazoe successva o vega alterata t la composzoe della popolazoe ed og elemeto estratto ha sempre la stessa probabltà d vere scelto. Probabltà bltà d estrazoe d cascu elemeto:,,, N N N Uverso campoaro N b. utlzzado modo approprato le tecche per la selezoe. U esempo S cosder la popolazoe p costtuta da N=4 quattro permercat A, B, C, D. Le vedte effettuate da cascuo d ess el perodo 0/0/04-3//04 soo rportate ella seguete tabella: Ipermercato A B C D Vedte ( mlard d lre) 4 3 Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco Ao accademco Esempo X X Campo d ampezza estratt co rpetzoe Numero del campoe Prmo Elemeto Secodo Elemeto Uverso de campo (=) estratt co rpetzoe:

3 Campoameto casuale seza retroduzoe (o esaustvo) Og elemeto, ua volta estratto, o vee remmesso ella popolazoe per cu, dopo og estrazoe, la probabltà bltà che gl elemet restat t etro a far parte del campoe vee modfcata. Probabltà d estrazoe d cascu elemeto Uverso campoaro N N N,,..., N N N N! N! Esempo Campo d ampezza estratt seza rpetzoe Uverso de campo (=) estratt seza rpetzoe: 4! ( ) 4! X X Numero Prmo Secodo del campoe Elemeto Elemeto Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco Ao accademco U campoe casuale d elemet estratto da ua v.c. X è rappresetato dalle v.c X, X,, X dove X è la -esma estrazoe della v.c. X Popolazoe: Altezza X degl studet preset aula durate la lezoe d Statstca X : Altezza del prmo studete da estrarre X : Altezza del secodo studete da estrarre X : Altezza dell -esmo studete da estrarre Og v.c. X, X,, X ha la stessa fuzoe d destà d probabltà f(x ) che sarà uguale alla f(x) della popolazoe orgara Popolazoe XN(,) vc v.c. X N(,). v.c. X N(,) v.c. X N(,) Dopo aver effettuato t l espermeto, la determazoe umerca è rappresetata da umer real x, x,, x che rappresetao l campoe osservato X : Altezza dell -esmo studete da estrarre P X x P X x... P X x N Og x è la realzzazoe d ua v.c X detta v.c. della -esma estrazoe

4 Processo ferezale Ifereza: utlzza statstche del campoe per effettuare la stma de corrspodet ver valor della popolazoe I pratca, vee selezoato a caso dalla popolazoe u campoe uco d ampezza predetermata Bsogerebbe predere esame og campoe che avrebbe potuto t mafestars Dstrbuzo campoare U esempo S cosder la popolazoe p costtuta da N=4 quattro permercat A, B, C, D. Le vedte effettuate da cascuo d ess el perodo 0/0/04-3//04 soo rportate ella seguete tabella: Ipermercato A B C D Vedte ( mlard d lre) 4 3 4, 4 3, 5 U esempo Estrazoe casuale d u campoe d supermercat 4 Ipermercato B C Vedte ( mlard d lre) 3 Estrazoe casuale d u campoe d supermercat Ipermercato A B Vedte ( mlard d lre) , 5 Esempo X Campo d ampezza estratt co rpetzoe Numero del campoe Prmo Elemeto Secodo Elemeto Meda Campoara 4 4 4,0 4, , ,0 5 4,5 Uverso de campo (=) 0 estratt co rpetzoe: 4 6,0 7 3,0,5 E X, sqmx 0,79 8, ,5 0 3, ,0 3, ,0 4,5 5 3,5 6,0

5 Esempo Campo d ampezza estratt co rpetzoe 4,5 4 3,5 3,5,5 Meda Campoara 4,0,5 3,5 30 3,0,5,0 0,0,5 3,5 0,0 3,0,5 Esempo Campo d ampezza estratt seza rpetzoe Uverso de campo (=) estratt seza rpetzoe: 4! ( ) 4!,5 E X Numero Prmo Secodo Meda del campoe Elemeto Elemeto Campoara 4, , ,0 4 4,5 5 3,0 6, , ,0 9 3, ,0 0,5 0,5,5 3 3,5 4 3,0,5,5,0, sqmx 0,64 3,5 3,5 VC V.C. Meda Campoara Popolazoe XN() Campo casual d elemet: v.c X N(,) ( ). X N(,) ( ) campoe. campoe x x. x x 3 campoe x. x.. tutt possbl campo dell uverso campoaro vc v.c. X x x x Parametr e statstche t t Popolazoe o Parametr a Valor fss, spesso o ot Campoe Statstche o Stmator Varabl casual, le cu determazo dpedoo dalle partcolar osservazo scelte

6 Parametr e statstche t t Dstrbuzo b campoare Parametr: valor caratterstc della popolazoe Statstche o v.c. campoare o stmator o statstche test: fuzo delle osservazo campoare Statstca calcolata o stma: umero otteuto applcado la statstca al campoe osservato Dstrbuzoe b campoara: valor che la statstca t t assume al varare del campoe ell uverso campoaro Le cocluso ferezal, basate sull uco campoe osservato, devoo essere gudcate sulla base della dstrbuzoe d probabltà de possbl campo che potevao essere geerat e de qual quello osservato costtusce ua realzzazoe partcolare. Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco Ao accademco Replogo l sulla v.c. meda campoara Popolazoe o fta Campoameto co retroduzoe E X Var X Campoameto seza retroduzoe E Popolazoe fta X E X Var X Var X N N VC V.C. Meda Campoara V.C. meda campoara: mede artmetche calcolate su tutt campo apparteet allo spazo campoaro Le mede varao al varare del campoe estratto e, poché campo soo estratt casualmete, valor che può assumere la meda campoara soo realzzazo d ua v.c La dstrbuzoe della v.c meda campoara dpede dalla dstrbuzoe della popolazoe X Quado la dmesoe del campoe è suffcetemete grade, la dstrbuzoe della meda campoara può essere approssmata alla dstrbuzoe ormale qualuque sa la dstrbuzoe della popolazoe (Teorema del Lmte Cetrale).

7 Teorema del lmte t cetrale Se X, X,, X soo v.c. dpedet co meda e varaza, la v.c X=X +X + +X, somma delle v.c., può essere approssmata co ua v.c ormale co meda e varaza,se è suffcetemete grade Applcazo del teorema del lmte cetrale Approssmazoe ormale della dstrbuzoe della meda campoara Quado la dmesoe del campoe è suffcetemete grade, la dstrbuzoe campoara della meda artmetca può essere approssmata dalla dstrbuzoe ormale qualuque sa la dstrbuzoe della popolazoe. X N ; X- Z= N 0; Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco Ao accademco La dstrbuzoe ormale e la dstrbuzoe della meda campoara. Per la maggor parte delle popolazo, dpedetemete dalla forma della loro dstrbuzoe, la dstrbuzoe della meda campoara è approssmatvamete ormale, purché s cosdero campo d almeo 30 osservazo.. Se la dstrbuzoe della popolazoe è abbastaza smmetrca, la dstrbuzoe della meda campoara è approssmatvamete ua ormale, purché s cosdero campo d almeo 5 osservazo. 3. Se la popolazoe ha ua dstrbuzoe ormale, la meda campoara è dstrbuta secodo la legge ormale, dpedetemete dall ampezza ampezza del campoe. Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco Ao accademco Replogo l sulla v.c. meda campoara VC V.C. t e Z >30? SI NO X N? NO? SI oto? X- t NO s X N ; SI 0

8 VC V.C. t - Eserczo sulla v.c. Meda Campoara Nell'azeda Package sacchett d carta utlzzat per coteere geer almetar soo prodott modo che l carco d ressteza del sacchetto s dstrbusca ormalmete co ua meda artmetca d 35 gramm per cetmetro quadrato e s.q.m. d 70 gramm per cetmetro quadrato. a) Calcolare la probabltà che sacchett prodott abbao carco d ressteza tra 35 e 386 gramm per cetmetro quadrato. b) Selezoado u campoe casuale d 6 sacchett dalla produzoe dell'azeda, calcolare la probabltà che l carco d ressteza medo calcolato sul campoe sa compreso tra 35 e 386 gramm per cetmetro quadrato. Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco Ao accademco Eserczo sulla v.c. Meda Campoara X: carco d ressteza del sacchetto X~ N(35; 70) 35 Z X 70 P(35<X<386)?? a) P X 386 P Z P 0 Z b) X ~ N35; P35 X 386 P Z P Z

9 V.c. Proporzoe Campoara N= Espermeto: estrazoe casuale d due palle X: umero d palle rosse estrazo X B ; : umero d success prove X B ; : proporzoe d success prove proporzoe d success ella popolazoe p proporzoe d success u campoe d ampezza V.c. Proporzoe Campoara N= Espermeto: estrazoe casuale co rpetzoe d due palle X: umero d palle rosse estrazo p Prob. 4 EP Var P 8 V.c. Proporzoe Campoara X B ; : umero d success prove X B ; : proporzoe d success prove proporzoe d success ella popolazoe p proporzoe d success u campoe d ampezza P: v.c proporzoe campoara P N ; P - Z= N 0; Teorema del lmte t cetrale Se X, X,, X soo v.c. dpedet co meda e varaza, la v.c X=X +X + +X, somma delle v.c., può essere approssmata co ua v.c ormale co meda e varaza Applcazo del teorema del lmte cetrale Approssmazoe ormale della dstrbuzoe bomale (Teorema d De Movre-Laplace) Quado la dmesoe del campoe è suffcetemete grade, la dstrbuzoe d u v.c bomale può essere approssmata dalla dstrbuzoe ormale co parametr p e pq p pq Z Z0, X N, X p pq

10 Teorema del lmte t cetrale Se X, X,, X soo v.c. dpedet co meda e varaza, la v.c X=X +X + +X, somma delle v.c., può essere approssmata co ua v.c ormale co meda e varaza Applcazo del teorema del lmte cetrale Approssmazoe ormale della dstrbuzoe bomale relatva (Teorema d De Movre-Laplace) Quado la dmesoe del campoe è suffcetemete grade, la dstrbuzoe d u v.c bomale relatva può essere approssmata dalla dstrbuzoe ormale X X pq p N p, Z Z0, pq V.c. Proporzoe Campoara Campoameto co rpetzoe P N ; Campoameto seza rpetzoe P N ; N N Dove e come studare S. Borra, A. D Cacco (008) Statstca t t Metodologe per le sceze ecoomche e socal McGraw-Hll. Cap. 0 (escluso paragraf 0.3., 0.3.3). D. Pccolo (004) Statstca per le decso Il Mulo. Cap. (escluso paragraf.4,.5), Cap. (escluso paragraf.7,.8). Fle esercz varabl casual e dstrbuzo campoare.pdf Replogo Le dstrbuzo campoare Popolazoe e campoe ell fereza casuale semplce casuale co retroduzoe casuale seza retroduzoe Le dstrbuzo campoare La varable casuale meda campoara La varable casuale proporzoe campoara La v.c T d Studet Il teorema del Lmte Cetrale Applcazo del Teorema del Lmte Cetrale Approssmazoe ormale della dstrbuzoe bomale Approssmazoe ormale della dstrbuzoe bomale relatva