CALCOLO PROPOSIZIONALE

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1 CALCOLO PROPOSIZIONALE

2 UN PROBLEMA DI DEDUZIONE LOGICA (da un test d ingresso) Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio; Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci vada Bruno. Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che: 1) Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno 2) Nessuno dei tre amici è andato al cinema 3) Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado 4) Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato nemmeno Bruno Come si formalizza il concetto di passaggio di deduzione valido?

3 IL CALCOLO PROPOSIZIONALE E il nucleo di (quasi) tutte le logiche. Limitato potere espressivo, ma sufficiente per introdurre il concetto di deduzione valida Le proposizioni atomiche sono asserzioni a cui sia assegnabile in modo univoco un valore di verità in accordo ad una interpretazione del mondo a cui si riferiscono dichiarativi sono non già tutti i discorsi, ma quelli in cui sussiste una enunciazione vera oppure falsa Aristotele

4 ESEMPI DI PROPOSIZIONI ATOMICHE 1. Roma è la capitale d Italia 2. La Francia è uno stato del continente asiatico = = 3

5 ESEMPI DI NON PROPOSIZIONI 1. Che ora è? 2. Leggete queste note con attenzione 3. X+1 = 2

6 SINTASSI E SEMANTICA Introduciamo la sintassi e la semantica del calcolo proposizionale La sintassi definisce il linguaggio ovvero le asserzioni (formule): -simboli proposizionali (proposizioni atomiche) -connettivi logici La semantica definisce il significato delle formule, ovvero il loro valore di verita' -dipende dal valore di verita dei simboli proposizionali

7 CONNETTIVI LOGICI Connettivo Forma simbolica Operazione corrispondente not ~ p negazione and, e p q congiunzione or, oppure p ˬ q disgiunzione se p allora q p q implicazione p se e solo se q p q equivalenza p se q p q conseguenza

8 SINTASSI DELLE FORMULE PROPOSIZIONALI (GRAMMATICA) Prop ::= Prop Prop Prop ˬ Prop Prop Prop Prop Prop Prop Prop Atom ~Atom Atom ::= T F Ide (Prop) Ide ::= p q P Q

9 SEMANTICA (SIGNIFICATO) DELLE FORMULE PROPOSIZIONALI Tabelle di verità dei connettivi logici: p q T F ~p p q p ˬ q p q p q p q T T T F F T T T T T T F T F F F T F F T F T T F T F T T F F F F T F T F F T T T Il valore di verita' di una formula composta si ottiene a partire dal valore di verita' delle sottoformule Si osservi in particolare il valore di verità di un implicazione (o di una conseguenza)

10 CALCOLO PROPOSIZIONALE PER FORMALIZZARE ENUNCIATI: ESEMPIO Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Introduciamo tre proposizioni: A Antonio va al cinema B Bruno va al cinema C Corrado va al cinema Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio; C A Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci vada Bruno. A B

11 CALCOLO PROPOSIZIONALE PER FORMALIZZARE ENUNCIATI: ESEMPIO Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che: Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno C B Nessuno dei tre amici è andato al cinema (~A) (~B) (~ (~C) Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado B C Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato nemmeno Bruno (~C) (~B) Per rispondere alla domanda del test, dobbiamo capire quale di queste quattro proposizioni è conseguenza logica delle proposizioni precedenti

12 TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI Una tautologia è una formula del calcolo proposizionale che vale T per qualunque valore T/F assegnato alle variabili proposizionali Esempio: p ˬ p (vedi tabella di verità) Una contraddizione è una formula che vale F per qualunque valore T/F assegnato alle variabili proposizionali Quindi P è una tautologia se e solo se ~P è una contraddizione

13 IMPLICAZIONI E EQUIVALENZE Diciamo che p implica tautologicamente q se e solo se p q è una tautologia p è tautologicamente equivalente a q se e solo se p q è una tautologia In entrambi i casi e' sufficiente costruire la corrispondente tabella di verita'

14 DIMOSTRAZIONE DI TAUTOLOGIE Per dimostrare che p è una tautologia possiamo Usare le tabelle di verità Del tutto meccanico, richiede di considerare 2 n casi, dove n è il numero di variabili proposizionali in p Mostrare che non è una tautologia individuando valori delle variabili proposizionali che rendono falsa p

15 ESEMPIO DI TAULTOLOGIA: TRANSITIVITA DELL IMPLICAZIONE: p q r p q q r (p q) (q r) p r ((p q) (q r)) (p r) T T T T T T T T T T F T F F F T T F T F T F T T T F F F T F F T F T T T T T T T F T F T F F T T F F T T T T T T F F F T T T T T

16 EQUIVALENZE PER IMPLICAZIONI (p q) ((~p) ˬ q) (elim- ) p q p q ~p ~p ˬ q T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T (p q) (p q) (q p) (elim- ) (p q) (q p) (elim- )

17 EQUIVALENZE PER LA NEGAZIONE ~(~ p) p (Doppia negazione) p ˬ ~p) T p ~p) F ~(p q) (~p) ˬ (~q) (Terzo escluso) (Contraddizione) (De Morgan) ~(p ˬ q) (~p) ~q) ~T F (T:F) ~F T (F:T) Esercizio: dimostrare le equivalenze con tabelle di verità

18 ESEMPI DI IMPLICAZIONI Dimostrare che le seguenti formule sono tautologie usando le tabelle di verita' (p (p q)) q (p q) p p p ˬ q)

19 ESEMPI DI IMPLICAZIONI Dimostrare che le seguenti formule non sono tautologie usando le tabelle di verita' (p ˬ q) p p p q) ((p ˬ ~r)) (p q)) q

20 PASSO DI DEDUZIONE VALIDO Torniamo indietro al problema della deduzione Il concetto di conseguenza logica si puo' formalizzare in modo intuitivo usando la semantica dell'implicazione E' corretto dedurre una conclusione P da un insieme di premesse G 1... G n sse la sequente formula e' una tautologia (G1... Gn) P

21 MODUS PONENS Abbiamo dimostrato che la seguente formula e' una tautologia (p (p q)) q Se valgono le premesse p, (p q) possiamo dedurre q

22 TORNIAMO ALL ESEMPIO DAL TEST Premesse: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio; ( C A ) Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci vada Bruno. ( A B ) Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che: Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno ( C B ) Nessuno dei tre amici è andato al cinema ( (~A ) (~B) (~C) ) Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado ( B C ) Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato nemmeno Bruno ( (~C) (~B) )

23 Basta determinare quale delle seguenti formule è una tautologia: 1) ( (C A) A B) ) ( C B ) 2) ( (C A) A B) ) ( (~A) (~B) (~C) ) 3) ( (C A) A B) ) ( B C ) 4) ( (C A) A B) ) ( (~ C) ~B) ) Si possono verificare con tabelle di verità Abbiamo gia' dimostrato che (1) è una tautologia Esercizio: mostrare che (2), (3) e (4) non sono tautologie

24 CONSEGUENZA LOGICA Sia Γ un insieme di formule proposizionali (asserzioni che hanno valore T o F) Una intepretazione assegna un valore di verita' alle proposizioni elementari Una intepretazione che rende veri tutte le formule proposizionali in Γ è detta un modello di Γ Se una formula Q è vera in tutti i modelli di Γ si dice che Q è conseguenza logica di Γ (Γ Q)

25 CONSEGUENZA LOGICA Dato Γ, il numero di possibili interpretazioni è finito: se n è il numero di proposizioni elementari in Γ, il numero di possibili interpretazioni è 2^n. Si possono usare le tabelle di verita' per decidere se Γ Q Modo alternativo per formulare la che la conclusione Q e' deducibile dall'insieme delle premesse Γ

26 Esercizi: usare le tabelle di verita' Dimostrare che q e' conseguenza logica delle premesse: p, (p q) Dimostrare che q non e' conseguenza logica delle premesse p, ((p r ) q) Dimostrare che (q p) (~ p ~q)

27 FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI: ESEMPI Piove e fa molto freddo Fa freddo, ma non piove Se ci sono nuvole e non c è vento, allora piove Piove solo se ci sono nuvole e non c è vento Nevica, ma non fa freddo se ci si copre Se ci si copre, allora fa freddo o nevica

28 Formalizzazione di implicazioni in linguaggio naturale Scrivere la proposizione rappresentata da ognuna delle seguenti frasi in italiano: Se P, allora Q P è una conseguenza di Q P è condizione necessaria e sufficiente per Q P è condizione necessaria per Q P è condizione sufficiente per Q P vale solo se vale Q P vale se vale Q P vale se e solo se vale Q