Esercitazione 7 del corso di Statistica 2

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1 Esercitazione 7 de corso di Statistica Dott.ssa Paoa Costantini 0 Marzo 009 Esercizio a distribuzione dei pesi dei pesi pacchetti per confezionare per confezionare e caramee, in grammi, prodotti da un azienda, ha una distribuzione ormae con scarto quadratico medio pari a 7. Per stimare i peso medio si estrae un campione di 0 pacchetti ottenendo i pesi seguenti: 70, 80, 7, 7, 83, 8, 75, 78, 85, 84 Si vuoe costruire un intervao di confidenza a 90%. a stima puntuae dea media è = 77,9. Souzione Per costruire un intervao di confidenza a iveo - è necessario determinare que vaore z tae che a probabiità che z assuma vaore ne intervao (-z ; z ) sia uguae a -, per cui avremo P(-z z z ) =0,90. a funzione di ripartizione di una v.c. ormae standardizzata in z vae -, cioè (z )= -. e nostro caso = 0,0, per cui = 0,05. I vaore z è tae che (0,05)= -0,05=0,95 e dae tavoe risuta che z0,05 =,645. Di conseguenza o stimatore per intervao è stimatore X,645 7 X, Sostituendo i vaore osservato dea media campionaria x 77, 9 si ottiene a stima de intervao. Gi estremi sono: 77,9, ,9, ,6 0 8,54 Procedendo in modo anaogo è possibie ottenere intervao di confidenza a 95%. In questo caso P(-z z z ) =0,95, con = 0,05 e = 0,05. (z )= -, cioè (0,05)= -0,05=0,975 e dae tavoe risuta che z0,05 =,96.

2 Gi estremi de nostro intervao saranno: 77,9, ,56 77,9, ,4 Infine determiniamo intervao di confidenza a 99%. In questo caso P(-z z z ) =0,99, con = 0,0 e = 0,005. (z )= -, cioè (0,005)= -0,005=0,995 e dae tavoe risuta che z0,005 =,575. Gi estremi de nostro intervao saranno: 77,9, , 77,9, ,6 - = 0,90 74,6 - = 0,95 8,54 73,56 8,4 - = 0,99 7, 77,9 83,6 A aumentare de iveo di confidenza aumenta a unghezza degi intervai. Ora supponiamo che daa stessa popoazione di pesi di sacchetti per confezionare caramee, si estraggono campioni di numerosità diversa, ad esempio: n=0, n=5, n=60. Assumiamo per sempicità che a stima puntuae dea media sia sempre a stessa, x 77,9 per i diversi vaori di n. Per n=0 sappiamo che intervao di confidenza a 95% è (73,56;8,4); per n=5 avremo: 77,9, ,9, , ,64 Per n = 60 avremo gi estremi:

3 77,9,967 77,9, , ,67 n = 0 73,56 8,4 n = 5 75,5 80,64 n = 60 70,3 77,9 79,67 A aumentare dea numerosità campionaria, a parità di iveo di confidenza, si riduce a unghezza degi intervai in quanto vi è un minore grado di incertezza. Aumentando n si raccogie una maggiore quantità di informazioni e ciò consente una stima più precisa. Esercizio n Voendo stimare a media di una popoazione distribuita in modo normae e con varianza non nota, si estrae da essa un campione di prefissata numerosità e di esso si cacoa a media e a varianza campionaria corretta. Supponiamo che a perdita di peso di n =6 pezzi di metao, dopo un certo intervao di tempo sia di 3,4 grammi, con una varianza pari a 0,464. Costruire un intervao di confidenza a 99% per a media dea perdita di peso di metao. Souzione I probema posto consiste nea stima per intervai dea media dea popoazione di cui non si conoscer a varianza, sua base di un campione di piccoe dimensioni (n=6). o stimatore per intervao dea media di una popoazione normae, con varianza incognita, a iveo di confidenza - ha estremi: X t X t n; n; ˆ ˆ n STIMATORE n

4 Poiché a numerosità campionaria è n=6, a media campionaria studentizzata ha una distribuzione t di Student con 5 gradi di ibertà. Per costruire intervao di confidenza è necessario determinare i vaore t5,0, 005 tae che a v.c. t5 assuma vaori maggiori con probabiità = 0,005. Dae tavoe risuta t 5,0, 005 =,947, pertanto a stima per intervao sarà: 3,4,947 0,68 3,4,947 0,68 6,9 6 3,9 I tempo medio per a perdita di peso de metao è compreso tra,9e 3,9 grammi, a iveo di confidenza de 99%. Esercizio n 3 Una società teefonica vuoe stimare i tempo medio che intercorre fra i momento ne quae sono segnaati i guasti e queo in cui avviene a riparazione. Si assume che itempi si distribuiscono in modo normae. In un campione casuae di 6 richieste di assistenza, a media è risutata x 47 e o scarto quadratico medio è risutato ˆ. Si vuoe costruire un intervao di confidenza a 95%. Souzione o stimatore per intervao dea media di una popoazione normae, con varianza incognita, a iveo di confidenza - ha estremi: X t X t n; n; ˆ ˆ n STIMATORE n Poiché a numerosità campionaria è n=6, a media campionaria studentizzata ha una distribuzione t di Student con 5 gradi di ibertà. Per costruire intervao di confidenza è necessario determinare i vaore t5,0, 05 tae che a v.c. t5 assuma vaori maggiori con probabiità = 0,05. Dae tavoe risuta t 5,0, 05 =,3, pertanto a stima per intervao sarà: 47,3 47,3 6 40,6 6 53,39 I tempo medio per e riparazioni è compreso tra (40,6; 53,39) minuti, a iveo di confidenza de 95%.

5 Esercizio n 4 Dai risutati di un sondaggio effettuato su 00 votanti `e emerso che i 55% di essi ha sceto i candidato A. Si cacoino i imiti di confidenza a 95%. Qua `e ampiezza de campione da scegiere per essere confidenti a 99% che i candidato A vinca e eezioni? Svogimento Si cacoino i imiti di confidenza a 95%. Per stimare a proporzione p di eettori di A reativa aa popoazione si utiizza a proporzione campionaria P = I imiti de intervao di confidenza sono p( p) p( p) P p z p z p( p) 0,55 0,45 P z 0,55,96 0,55 0, 00 0,45;0,65 Pertanto si può essere confidenti a 95% che a proporzione di votanti i candidato A nea popoazione sia compresa tra 0.45 e Esercizio n 5 Si dispone di un campione casuae costituito da n = assembaggi; di questi un numero x = 0 presenta dei difetti. Si determini un intervao di confidenza a 95% per a probabiità di successo π incognita. Svogimento: 0 p 0,0 p 0,98 0,05 0,05 z,96 p( p) p( p) P p z p z P z p( p) 0,0 0,98 0,0,96 0,0 0,03 0,0077;0,033