Cenni di matematica finanziaria Unità 61

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1 Prerequst: - Rsolvere equazon algebrche d 1 grado ed equazon esponenzal Questa untà è rvolta al 2 benno del seguente ndrzzo dell Isttuto Tecnco, settore Tecnologco: Agrara, Agroalmentare e Agrondustra. OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO Una volta completata l untà, gl allev devono essere n grado d: - enuncare l prncpo d equvalenza fnanzara - rsolvere problem d captalzzazone semplce e composta anche servendos d strument d calcolo automatco - rsolvere problem sulle rendte - redgere un pano d ammortamento ed esplctarlo medante l uso d strument nformatc 61.1 Stuazon economche e prncpo d equvalenza fnanzara Captalzzazone semplce Captalzzazone composta Accumulazon, rendte e ammortament. Verfche. Una breve sntes per domande e rsposte. Cenn d matematca fnanzara Untà 61 Matematca per le scuole superor

2 61.1 SITUAZIONI ECONOMICHE E PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA Consderamo la seguente operazone, che s realzza n due fas: - la persona A cede n prestto alla persona B la somma C al tempo 0 (per convenzone chamamo tempo 0 l momento n cu ha nzo l operazone); - la persona B resttusce alla persona A la somma M al tempo t (ovvamente t>0). L operazone detta comunemente operazone fnanzara comporta uno scambo d somme tra le due persone n due epoche dverse. Tal persone possono essere persone fsche o ent: s ndcano con l termne generco d soggett. Il soggetto A è detto pù propramente credtore (o mutuante); l soggetto B debtore (o mutuataro). La dfferenza M C s chama nteresse maturato dalla somma C nel tempo t. L operazone fnanzara s consdera equa se vale l seguente prncpo: PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA. Possedere la somma C al tempo 0 equvale, secondo un opportuna convenzone, a possedere la somma M al tempo t Questo prncpo, dunque, rende equvalent la coppa ordnata (C,0) e la coppa ordnata (M,t) n base ad un opportuna convenzone della quale dremo fra breve. Ogn coppa ordnata mporto-tempo s chama stuazone economca. Pertanto l prncpo d equvalenza fnanzara rende appunto equvalent (n base ad un opportuna convenzone) due stuazon economche. Ossa stablsce un legame fra le due somme C ed M e l tempo t. Per esempo, un legame potrebbe essere questo: M C = k C t, dove k è una costante. Da cò dscendono due stuazon: 1. La somma prestata C può essere espressa per mezzo della somma M e del tempo t. In questo caso s dce che «C è l valore attuale, al tempo 0, della somma M esgble al tempo t». 2. La somma M da restture può essere espressa per mezzo della somma C e del tempo t. In questo caso s dce che «M è l montante, al tempo t, della somma C dsponble al tempo 0». Con rfermento all esempo precedente, l montante e l valore attuale sono espress dalle formule seguent: M=C 1+k t, C= M 1+kt L esempo fornto charsce suffcentemente che, una volta scelta la relazone che lega le stuazon economche (C,0) e (M,t), sono determnate sa la legge che esprme M n funzone d C e t, sa quella che esprme C n funzone d M e t. Quando s fssa la prma legge: M=M(C,t) s dce che è stablta una legge d captalzzazone. Quando s fssa la seconda legge: C=C(M,t) s dce che è stablta una legge d attualzzazone (o legge d sconto). 2 Matematca per le scuole superor

3 Rmane da capre cosa sa quella opportuna convenzone che rende valdo l prncpo d equvalenza fnanzara. Ce ne occupamo subto CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE Una convenzone n base alla quale s reputano equvalent le due stuazon economche (C,0) e (M,t) è la seguente: L nteresse I=M C maturato nel tempo t è drettamente proporzonale alla somma C ceduta n prestto ed alla durata t del prestto. Quando è adottata questa convenzone s parla d captalzzazone ad nteresse semplce (o captalzzazone semplce). In base ad essa deve rsultare dunque: I = k C t, dove k è la costante d proporzonaltà. Per coglere l sgnfcato economco d questa costante k osservamo che rsulta: I=k se C=1 e t=1. Vale a dre: La costante k è l nteresse prodotto dall untà d captale quand è mpegato per un tempo untaro. Tale nteresse s chama pù propramente tasso (o saggo) d nteresse e s ndca d solto con la lettera. Rsulta allora: I = C t. Per cu, rcordando che I=M C, s ha: M C=Ct. E da qu, rsolvendo rspetto ad M, segue: [1] M = C (1 + t). Questa formula esprme la cosddetta legge d captalzzazone a nteresse semplce (o legge d captalzzazone semplce). Concepta come funzone M=M(t), rappresenta un modello d crescta lneare (Fg. 1). FIG. 1 FIG. 2 Da essa, rsolvendo rspetto a C, s ottene rapdamente la legge d attualzzazone (o d sconto) ad nteresse semplce: C = M 1 + t, che s può scrvere anche n questo modo: C = M 1 + t 1. E questa legge, consderata come funzone C=C(t), esprme questa volta un modello d decrescta e- Matematca per le scuole superor 3

4 sponenzale (Fg. 2). In realtà s tratta d un arco d perbole equlatera Nella pratca commercale la captalzzazone semplce non è molto usata e, comunque, soltamente lo è solo per operazon d breve scadenza, anche nferore all anno. In tal caso, fermo restando che sa l tasso annuo, alla varable t bsogna sostture la frazone d anno, che d volta n volta è presa n consderazone. Così, per esempo, se la durata dell operazone è d 4 mes, a t s deve sostture 4 d anno; se è d 1 anno e 2 mes, bsogna sostture 1+ 2 d anno. 12 Vedamo un pao d esercz sull argomento. ESERCIZIO 1. La somma d 2000 è nvestta al tasso annuo dello 0,96%. Sapendo che è mpegata per 8 mes, calcolare l nteresse da essa prodotto. RISOLUZIONE. Sccome l nteresse I è uguale ad M C, dalla formula [1] segue: I = C t = , = 12,8 ( ). 12 ESERCIZIO 2. Un operatore fnanzaro ha nvestto la somma d 5000 e dopo 4 mes rscuote Calcolare l tasso annuo d nteresse che gl è stato pratcato. RISOLUZIONE. Dalla formula [1], concepta come un equazone nell ncognta, s rcava: = M C ; per Ct cu: = = 1,5% Rprendamo la legge d captalzzazone semplce: [1] M = C(1 + t). e la legge, da essa dedotta, d attualzzazone semplce: C = M 1 + t. Se l mporto M è nteso come la somma da pagare alla scadenza t e al tasso d nteresse, l mporto C può essere concepto come la somma equvalente da pagare ogg. Tale mporto C s chama somma scontata, mentre la somma [2] S = M C s chama sconto su M. Rsulta evdentemente: S = M M 1 + t, ossa, dopo aver semplfcato: 3 S = Mt 1 + t. In base a questa formula rsulta che: S= se M=1 e t=1. 1+ Vale a dre: è lo sconto sull mporto untaro esgble alla scadenza dell untà d tempo. 1+ S chama tasso d sconto e s ndca con la lettera d. Per cu: 12 4 Matematca per le scuole superor

5 e d = 1 +. Nella pratca commercale s rcorre all operazone d sconto per lo pù n vsta d scadenze ravvcnate, n genere nferor all anno e la legge con cu è calcolato lo sconto pratcato è dversa dalla [3]. Essa è precsamente la seguente: [5] S=M d t. Per comprendere come questa legge venga fuor, calcolamo dalla [4] e sosttuamolo nella [3]. Allora, sccome = d dopo aver sosttuto nella [3] s ottene: 1 d S = M d 1 d t Mdt 1 + d, da cu segue S = 1 d t 1 + d t 1. Ora, ammesso che d sa l tasso d sconto annuo, t acqusta un valore che possamo rtenere compreso fra 1. Consderato po che d è dell ordne dell 1% annuo (e percò d=0,01) rsulta che l denomnatore 1+d(t 1) s può rtenere compreso all ncrca fra seguent valor: 1 + 0, ,990 e 1 + 0, ,999. Coscché, pur essendo 1+d(t 1)<1, s pone, con approssmazone: 1+d(t 1) 1. Ne consegue la formula [5]. Lo sconto calcolato n base alla [5] s chama sconto commercale CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA La convenzone adottata n captalzzazone semplce porta a concludere che l nteresse I maturato alla fne d un certo perodo d tempo t s può concepre come la somma d t nteress, tutt del valore C maturato n un ntervallo untaro. Per capre cò basta osservare che, nvece d I=Ct, supponendo t ntero, s può scrvere: I = C + C + + C. (t addend ) In altr termn, n regme d captalzzazone semplce, l nteresse maturato alla fne d ogn perodo untaro d tempo non frutta, coè non produce a sua volta altro nteresse ne perod successv. Una convenzone dversa è la seguente: L nteresse maturato alla fne d ogn perodo untaro d tempo s aggunge al captale e l nuovo captale dventa fruttfero nel successvo perodo untaro d tempo. Quando è adottata questa convenzone s parla d captalzzazone a nteresse composto (o captalzzazone composta) C proponamo d trovare la legge d captalzzazone composta, ossa una formula che esprma l montante M per mezzo del captale C mpegato al tasso (annuo) per t ann. Alla fne dell anno t=1 l montante fornto dalla formula [1] è evdentemente: M=C(1+). O anche, mettendo per comodtà C1 al posto d M e C 0 al posto d C: C1 = C 0 (1 + ). Matematca per le scuole superor 5

6 Questa somma C1 formata dal captale C 0 e dall nteresse da esso prodotto n un anno costtusce l captale all nzo dell anno t=2. Per cu alla fne d questo secondo anno l montante sempre fornto dalla [1], dove questa volta s sosttusce C2 al posto d M e C1 al posto d C dventerà: C2 = C1 (1+), ossa: C2 = C 0 (1+) 2. Alla fne dell anno t=3 l montante sarà: C3 = C2 (1+) = C 0 (1+) 2 (1+) = C 0 (1+) 3. Sembra d poter affermare che l montante, alla fne d t ann, sa: C t = C t. Ed effettvamente è così. Per provarlo basta rcorrere al prncpo d nduzone matematca. Ora, la base dell nduzone, per t=1, è certamente vera essendo C 1=C 0(1+). Dmostramo che è vero l passo nduttvo, vale a dre: ammesso che sa C t=c 0(1+) t, dmostramo che rsulta C t+1=c 0(1+) t+1. In effett: C t+1 = C t 1 + = C t 1 + = C t+1. Che è cò che s voleva dmostrare. In conclusone, rtornando ad ndcare con M l montante al posto d C t e con C l captale al posto d C 0, s ha: [6] M = C 1 + t. È questa la legge d captalzzazone cercata. Concepta come funzone M=M(t), rappresenta un modello d crescta esponenzale (Fg. 3). FIG. 3 FIG. 4 Da essa, rsolvendo rspetto a C, s rcava subto la legge d attualzzazone (o d sconto) ad nteresse composto: C = M 1 + t e questa legge, consderata come funzone C=C(t), esprme un modello d decrescta esponenzale (Fg. 4) La formula [6], con qualche adattamento, è utlzzata anche quando la captalzzazone avvene con scadenza perodca dversa dall anno (per esempo: ogn mese, ogn semestre, eccetera). In generale, ammesso che la captalzzazone (composta) avvenga k volte all anno e ammesso noltre che sa l tasso annuo, allora l nteresse relatvo ad ogn perodo (par ad 1/k d anno) è /k. Pertanto, constatato che per t ann perod d captalzzazone sono kt, la formula [6] assume la seguente forma: M = C 1 + k kt. 6 Matematca per le scuole superor

7 Essa, n defntva, calcola l montante M d un captale C nvestto per t ann al tasso annuo con captalzzazone (composta) che avvene k volte all anno. Un esempo. Il montante M d un captale C = , nvestto per 4 ann al tasso annuo dell 1,5% con captalzzazone (composta) quadrmestrale (k=3), è l seguente: M = , ,77. 3 L nteresse maturato, alla scadenza de 4 ann, è pertanto: I = M C = , = 616,77. In realtà, l ente fnanzaro che pratca a propr clent questa modaltà d calcolo dell nteresse, ne trae qualche benefco sul pano economco. Speghamo perché. Se l ente dchara d captalzzare k volte all anno al tasso annuo, l tasso effettvo ad ogn perodo non dovrebbe essere /k bensì un valore j leggermente pù grande. Per calcolare questo tasso j, osservamo che esso è l nteresse prodotto n un anno t=1 dal captale C=1 mpegato al tasso /k. Dunque: j = k Questa formula permette d calcolare j, not e k. Da essa, rsolvendo rspetto ad, s ottene una formula che permette d calcolare, not j e k. S trova esattamente: k 3 4 = k 1 + j 1 k 1. Il tasso s chama tasso annuo nomnale convertble k volte all anno. È l tasso che d norma gl - sttut fnanzar pratcano a loro clent. Invece l tasso j è l tasso annuo effettvo corrspondente al tasso nomnale annuo. Ed è <j, come s potrebbe dmostrare n generale, ma che andamo a verfcare n qualche caso partcolare. ESERCIZIO 1. Calcolare quale tasso effettvo annuo corrsponde al tasso nomnale annuo del 2,5%: a) convertble 4 volte all anno; b) convertble 3 volte all anno. RISOLUZIONE. Bsogna tener presente che =0,025 mentre k=4 nel prmo caso e k=3 nel secondo. Per cu: a) j= 1 + k 1= 1 + 0, ,523% ; b) j= 1 + k 1= 1 + 0, ,520%. k 4 k 3 In ogn caso: j>. ESERCIZIO 2. Calcolare seguent tass corrspondent al tasso annuo effettvo dell 1,8%: a) tasso nomnale annuo convertble 2 volte all anno; b) tasso nomnale annuo convertble 3 volte all anno. RISOLUZIONE. Bsogna tener presente che j=0,018 e che k=2 nel prmo caso e k=3 nel secondo. Per cu: a) =k 1 + j 1 k 1 =2 1+0, ,791% ; b) =k 1 + j 1 k 1 =3 1+0, =1,789%. In ogn caso <j. Matematca per le scuole superor 7

8 Sottoponamo adesso alla tua attenzone alcun esercz rsolt utlzzando la formula [6]. S ntende che ammettamo dsponble una calcolatrce avente le funzon esponenzale e logartmo. Come, del resto, negl esercz precedent. ESERCIZIO 1. La somma d è mpegata per 10 ann, n regme d captalzzazone composta, al tasso annuo del 2,4%. Calcolare l nteresse che essa frutterà alla scadenza dell operazone. RISOLUZIONE. Sccome l nteresse I è uguale ad M C, dove M è l montante e C l captale mpegato, e sccome C= ( ), bsogna calcolare M. Il suo valore è fornto drettamente dalla [6]: M = (1 + 0,024) Dunque: I = M C = = ESERCIZIO 2. Calcolare l tasso annuo d nteresse al quale bsogna nvestre la somma d per rscuotere, dopo 4 ann, la somma d , n regme d captalzzazone composta. RISOLUZIONE. Dalla [6], concepta come un equazone nell ncognta, s rcava: 1 + t = M C, da cu segue: 1 + = M C 1 t e qund: = M C 1 t 1. Pertanto: = ,94% ESERCIZIO 3. Calcolare n quant ann la somma d , mpegata n regme d captalzzazone composta al tasso annuo del 2,3%, produce un nteresse d RISOLUZIONE. Dalla [6], concepta come un equazone nell ncognta t, s rcava: 1+ t = M C, da cu segue: ln 1+ t = ln M C, o anche: t ln 1+ = ln M C, e nfne: t= ln M C ln 1+. Pertanto, constatato che M=C+I= =95.000, s ottene: ln t = ln 1 + 0,023 13,43. Dunque la somma deve essere mpegata per quas 13 ann e mezzo ACCUMULAZIONI, RENDITE E AMMORTAMENTI Prendamo n consderazone l seguente problema: Maro Ross, n seguto ad un eredtà rcevuta, ha acqusto l drtto d rscuotere all anno per 10 ann, a partre dalla fne dell anno che nza ogg. Oltre alla rscossone cadenzata d tal somme, egl valuta altre due strade: 1) Depostare mmedatamente n banca le somme che va va rscuote e rtrarle alla scadenza del 10 anno. Sapendo che la banca gl corrsponde un tasso d nteresse composto del 2,1% annuo, calcolare quale somma Maro Ross avrà accumulato a tale scadenza. 2) Cedere l drtto d rscossone delle somme ad una banca rcevendone n cambo l equvalente fnanzaro attuale. 8 Matematca per le scuole superor

9 Calcolare quale somma dovrebbe versargl ogg la banca per acqusre l suddetto drtto nel presupposto che gl rconosca lo stesso nteresse composto del 2,1% annuo. Provamo a rsolvere l problema, ncomncando ad occuparc della domanda 1). Per questo rappresentamo grafcamente la stuazone n fgura 5. FIG. 5 Possamo fare alcune consderazon: La somma depostata alla fne dell anno 1 frutterà per successv 9 ann tanto da produrre, alla fne del 10 anno, l montante M 1 = ,021 9 euro. La somma depostata alla fne dell anno 2 frutterà per successv 8 ann tanto da produrre, alla fne del 10 anno, l montante M 2 = ,021 8 euro. Così va, la somma depostata alla fne dell anno 9 frutterà per l anno successvo tanto da produrre, alla fne del 10 anno, l montante M 9 = ,021 1 euro. Infne bsogna consderare l ultma rata d , che verrà rscossa propro alla fne dell anno 10. Pertanto, alla scadenza de 10 ann, Maro Ross avrà accumulato la seguente somma: M= , , ,021 9 ( ). S tratta della somma d 10 termn n progressone geometrca d ragone 1+0,02=,021 e d prmo termne Per cu, n base ad una nota formula, rsulta: M = , , Dunque Maro Ross avrà accumulato, alla scadenza del 10 anno, la somma d Passando al punto 2), se egl decdesse d cedere alla banca l drtto d rscuotere le vare rate alla scadenze prescrtte, ogg sempre nell potes che la banca gl rconosca un tasso d nteresse composto del 2,1% annuo potrebbe dsporre d una somma par al valore attuale C del suddetto montante M, calcolato per l appunto al tasso d nteresse composto del 2,1% annuo per 10 ann. Vale a dre: C = M 1 + t = , Naturalmente questa somma C poteva anche essere calcolata, con un procedmento pù complcato, effettuando la somma de valor attual del montante d alle vare scadenze. Ossa: C= , = 1+0, , , , ,021 1 In conclusone, rspetto al tasso d nteresse del 2,1% annuo, n regme d captalzzazone composta, sono operazon equvalent dal punto d vsta fnanzaro quelle d rscuotere: a) all anno per 10 ann a partre dalla fne dell anno che nza ogg; b) alla scadenza dell anno 10; c) ogg. Prma d procedere t proponamo d rsolvere le due seguent queston: Matematca per le scuole superor 9

10 1) I gentor d Maro decdono d versare su un lbretto d rsparmo ntestato al propro fglolo la somma d 3000 n occasone d ogn suo compleanno a partre dal 10 anno d età e fno al 17. La banca rconosce un tasso d nteresse composto del 2,0% annuo. Calcolare la somma accumulata per Maro l gorno del suo 18 compleanno. 2) Lug ha acceso ogg un mutuo con la sua banca. Lo estnguerà versando alla banca ogn anno, per 15 ann a partre dalla fne dell anno che nza ogg, la somma d Sapendo che la banca gl pratca un tasso d nteresse composto del 3,5% annuo, calcolare quale somma ha rcevuto ogg Lug I problem descrtt nel paragrafo precedente possono essere estes ad una stuazone generca: Tzo deposta alla fne d determnate scadenze perodche, per n perod, una somma costante R. Gl vene rconoscuto un tasso d nteresse composto per perodo. 1) Quale somma M avrà accumulato Tzo alla fne dell n-esmo perodo? 2) Qual è l valore attuale C d tale somma? Il problema s rsolve ragonando come ne cas precedent e generalzzandol. Per cu (Fg. 6): FIG. 6 la somma depostata alla fne del 1 perodo frutterà per successv n 1 perod tanto da produrre, alla fne dell n-esmo perodo, l montante M 1 =R 1+ n 1 ; la somma depostata alla fne del 2 perodo produrrà ne successv n 2 perod l montante M 2 =R 1+ n 2 ; così contnuando, la somma depostata alla fne del perodo n 1 produrrà nel successvo perodo n l montante M n-1 =R 1+ 1 ; nfne bsogna consderare la somma R depostata alla scadenza dell n-esmo perodo. Coscché, alla scadenza dell n-esmo perodo, Tzo avrà accumulato la somma: M=R+R R R 1+ n 2 +R 1+ n 1. S tratta della somma d n termn n progressone geometrca d ragone 1+ e prmo termne R. Per cu s ha: M = R 1 + n ossa: 7 M = R 1 + n 1. Il valore attuale d questo montante M è, n vrtù della [6]: C = M 1 + n = R 1 + n 1 + n 1, coè, a cont fatt: 8 n C = R. La successone degl mport R che vengono versat alle scadenze prestablte s chama rendta. Ogn mporto R s dce rata (o termne) della rendta. 10 Matematca per le scuole superor

11 La somma M accumulata s dce montante (o valore fnale) della rendta. L mporto C, par al valore attuale del montante della rendta, s dce appunto valore attuale della rendta. Esso è uguale alla somma de valor attual delle rate della rendta, calcolat all nzo del prmo perodo. Questo può essere dmostrato: basta generalzzare l ragonamento esposto verso la fne del paragrafo e rferto lì ad una stuazone partcolare. Detto per completezza, trattat d matematca fnanzara ndcano con S ed A rspettvamente l montante ed l valore attuale d una rendta. Utlzzano noltre due partcolar smbol per le espresson: 1 + n n e. S tratta de smbol, rspettvamente: s n e a n, qual s leggono nell ordne: s fgurato n al tasso ed a fgurato n al tasso. Ess rappresentano rspettvamente l montante ed l valore attuale d una rendta R=1. D modo che le due formule [7] e [8] sono scrtte nel modo seguente: S = R s n e A = R a n In consderazone del fatto che le rate della rendta sono esgbl (coè rscotbl) alla fne d ogn perodo, contate a partre dall stante attuale, quella presa n consderazone s chama pù propramente rendta postcpata. In effett tal rate potrebbero essere esgbl all nzo de var perod. In tal caso la rendta è detta rendta antcpata. Ora, la rata R, versata all nzo d un perodo, frutta n tale perodo l nteresse R, per cu alla fne del perodo stesso essa dventa R+R, coè R(1+). Coscché versare la somma R all nzo d un perodo equvale a versare la somma R(1+) alla fne dello stesso perodo. FIG. 7 S desume che (Fg. 7): l valore fnale M d una rendta antcpata d durata n, rata R e tasso, è uguale al valore fnale d una rendta postcpata della stessa durata n, dello stesso tasso, ma d rata R(1+); l valore attuale C d tale rendta è uguale al valore attuale d M. Pertanto, tenendo present nell ordne le formule [7] e [8], dove adesso sosttuamo R(1+) al posto d R, per una rendta antcpata s ha rspettvamente: 9 M = R n 1. n C = R 1 +. Matematca per le scuole superor 11

12 Occupamoc adesso d alcun esercz n cu sono applcate le nozon esposte sopra. ESERCIZIO 1. È stato contratto un debto d Calcolare quale somma bsogna versare alla fne d ogn semestre per estnguerlo n 10 ann al tasso d nteresse annuo nomnale del 3,4%. RISOLUZIONE. S tratta d calcolare la rata R d una rendta postcpata d n=20 rate, al tasso tale che = 0,034 =0,017. S sa che l valore attuale della rendta è C= Basta allora servrs della formula [8], consderata come un equazone nell ncognta R. S ottene: C ,017 R = = n , ESERCIZIO 2. Voglo accumulare n 10 ann a partre da ogg un captale d Calcolare quale somma devo depostare alla fne d ogn mese sapendo che la banca cu m sono affdato m rconosce un tasso d nteresse annuo nomnale dell 1,8%. RISOLUZIONE. S tratta d calcolare la rata R d una rendta postcpata d n=120 rate, al tasso = 0,018 =0,0015. S conosce l montante M della rendta, uguale a ( ). Basta rcorrere alla 12 formula [7], consderata come un equazone nell ncognta R. S ottene: M ,0015 R = 1 + n = , ,60. ESERCIZIO 3. Calcolare quanto bsogna versare all nzo d ogn anno affnché, alla fne del 10 anno, s venga ad accumulare un captale d , sapendo che vene rconoscuto un tasso d nteresse composto dell 1,5% annuo. RISOLUZIONE. L eserczo è rsolto dalla seguente formula: ,015 R = 1 + 0, , Ne lascamo a te la spegazone ed l calcolo La formula [8] ha, oltre a quella gà spegata, un altra nterpretazone: quella evdenzata nella seconda delle due queston proposte n per eserczo. Precsamente C può essere concepta come la somma che Tzo rceve, per esempo da un sttuto bancaro, nel momento n cu accende un mutuo, ed R come la rata che egl verserà alla banca alla fne d ogn perodo prestablto, per n perod al tasso d nteresse composto (rferto naturalmente al perodo), a partre dalla fne del perodo che nza nel momento n cu l mutuo è acceso. L operazone n questo modo attvata s chama ammortamento progressvo a rata costante postcpata. R è la rata dell ammortamento. Il suo valore, una volta not C,, n, s rcava dalla formula [8] rsolvendo rspetto ad R. S trova: 11 R = C n. Il termne progressvo attrbuto a questo metodo d ammortamento (detto anche metodo francese) derva dal fatto che la rata R che rsulta formata da una quota captale e una quota nteresse è tale che le quote captale aumentano Soffermamoc dunque sulla faccenda delle quote che compongono la rata d ammortamento per far vedere che le quote captale aumentano n un modo partcolare. 12 Matematca per le scuole superor

13 Intanto rlevamo che ogn rata d ammortamento è composta da due part: una serve a restture al credtore una parte del captale che egl ha antcpato, l altra a coprre gl nteress sul valore resduo del debto. La prma delle due part s dce quota captale, la seconda quota nteresse. Indchamo con Vj l valore resduo del debto alla fne del perodo j (coè la dfferenza fra l captale C e la somma delle quote captale versate) e con Kj la quota captale della rata j-esma. All nzo del perodo 1 (j=1) l debto è charamente C. L nteresse su C per 1 perodo al tasso è C, per cu la rata R versata dal mutuataro (1) alla fne del perodo 1 è costtuta dalla quota nteresse C e dalla quota captale K 1=R C. All nzo del perodo 2 (j=2) l debto resduo è esattamente quello determnatos alla fne del perodo 1, coè: V1=C K1. L nteresse su V1 per 1 perodo al tasso è V 1, per cu la rata R versata dal mutuataro alla fne del perodo 2 copre la quota nteresse V 1 e la quota captale K 2 =R V 1. All nzo del perodo 3 (j=3) l debto resduo è esattamente quello determnatos alla fne del perodo 2, coè: V2=C (K1+K2). La rata R versata dal mutuataro alla fne del perodo 3 copre la quota nteresse V 2 e la quota captale K 3 =R V 2. Contnuando nel ragonamento, alla fne del perodo n (j=n) s ha che la rata R copre la quota nteresse V n 1, dove Vn 1=C (K1+K2+ +Kn 1), e la quota captale K n =R V n-1. Dunque le quote captale delle n rate d ammortamento sono: - K 1 =R C; - K 2 =R V 1 =R C K 1 = R C +K 1 =K 1 +K 1 =K 1 1+ ; - K 3 =R V 2 =R C K 1 +K 2 = R C +K 1 +K 2 = - ; =K 1 +K 1 +K 1 1+ =K K 1 1+ =K ; - K n =K 1 1+ n 1. Evdentemente tal quote crescono n progressone geometrca d ragone Quando s contrae un muto con una banca, d norma questa elabora un apposto tabulato, come quello sottostante (Tab. 1), chamato pano d ammortamento, n cu, una volta calcolata la rata costante R, ad ogn scadenza j sono ndcat la quota captale K(j), la quota nteresse I(j), l debto estnto E(j) e nfne l debto resduo V(j). Rata N j PIANO DI AMMORTAMENTO Mutuo N Rata: Rate N. Tasso relatvo ad un perodo: Quota captale K(j) Quota nteresse I(j) Debto estnto E(j) Debto resduo V(j) 1 Mutuataro è colu che ha contratto l mutuo. Matematca per le scuole superor 13

14 n TAB. 1 Vedamo un pao d esercz sull argomento. ESERCIZIO 1. Redgere l pano d ammortamento (ottenuto col metodo progressvo) per un mutuo d , estnguble n 15 ann al tasso nomnale annuo del 3,5%, con rate semestral versate alla fne d ogn semestre, contate a partre dal gorno n cu è stato stpulato l contratto d mutuo. RISOLUZIONE. L enttà del mutuo è charamente l valore V(0) del debto resduo alla scadenza 0, coè all nzo dell operazone. Dunque: V(0) = Sottntendamo da qu n avant che le somme sano espresse n euro. Calcolamo la rata dell ammortamento. Per questo occorre rfars alla formula [8], dove: C = V 0 = , = 0,035 = 0,0175, n = Dunque: 0,0175 R = , Rprendamo adesso quanto esposto n e adattamolo alla stuazone n esame ntegrando opportunamente e facendo attenzone agl arrotondament, n partcolare nell ultma rata: Alla fne del 1 semestre rsulta: - K 1 = R V 0 = ,0175 = 3.076, - I 1 = R K 1 = = 2.100, - E(1) = K(1) = 3.076, - V 1 = V 0 E 1 = = Alla fne del 2 semestre rsulta: - K(2) = K(1) (1 + ) = (1 + 0,0175) = 3.130, - I 2 = R K 2 = = 2.046, - E(2) = E(1) + K(2) = = 6.206, - V 2 = V 0 E 2 = = Alla fne del 3 semestre rsulta: - K(3) = K(2) (1 + ) = (1 + 0,0175) = 3.185, - I 3 = R K 3 = = 1.991, - E(3) = E(2) + K(3) = = 9.390, - V 3 = V 0 E 3 = = Allo stesso modo s procede fno al 30 semestre, allorché s ha la seguente stuazone: - K(30) = K(29) (1 + ) = ( ) = 5.087, - I 30 = R K 30 = = 89, - E 30 = E 29 + K 30 = = , - V 30 = V 0 E 30 = = 17. Il debto resduo d 17 euro, nvece d 0 euro, dpende dagl arrotondament. Per cu, n realtà, l ultma rata non è d ma d Matematca per le scuole superor

15 Il pano d ammortamento completo può essere ottenuto faclmente servendos n manera adeguata d un foglo elettronco. No l abbamo fatto ed abbamo ottenuto l pano sntetzzato nella sottostante tabella 2. Rata N j PIANO DI AMMORTAMENTO Mutuo N RATA: 5176 Rate semestral N 30 Tasso relatvo ad un perodo:1,75% Quota captale K(j) Quota nteresse I(j) Debto estnto E(j) Debto resduo V(j) TAB. 2 ESERCIZIO 2. Redgere l pano d ammortamento (ottenuto col metodo progressvo) per un mutuo d , estnguble n 15 ann al tasso effettvo annuo del 3,5%, con rate semestral versate alla fne d ogn semestre, contate a partre dal gorno n cu è stato stpulato l contratto d mutuo. Matematca per le scuole superor 15

16 RISOLUZIONE (tracca). S tratta d un eserczo uguale n tutto al precedente tranne che nel valore del tasso. Adesso è assegnato, nfatt, l tasso annuo effettvo e non quello nomnale, per cu quello effettvo semestrale è nferore al 3,5%. Precsamente, chamato tale tasso semestrale, bsogna determnarlo sapendo che 1 euro, mpegato per 2 perod al tasso, produce un nteresse composto del 3,5% d 1 euro, vale a dre d 0,035 e percò un montante d 1,035. Pertanto, n base alla formula [6], deve rsultare: 1,035 = 1 + 2, da cu segue: = 1, , Per la stesura del pano d ammortamento, a questo punto, basta procedere come nel caso precedente. Cosa che puo fare da te. In partcolare trovera che la rata semestrale è d e che l ultma rga del pano d ammortamento è la seguente, con valor espress ovvamente n euro: K(30) = 5.077, I(30) = 88, E(30) = , V(30) = Esstono altr metod d ammortamento, ma non ce ne occuperemo, anche perché l metodo progressvo è d fatto l pù usato. Ad ogn buon conto, qualcosa proporremo per eserczo nella sezone verfche (cfr.: esercz n. 64 e n. 65). Bsogna dre po che, n partcolare nel caso d mutu su mmobl (case, terren, ecc.), che d solto comportano un numero d rate puttosto elevato e qund una lunga durata, s fa rcorso a pan d ammortamento a rata varable. Precsamente la rata vara n base al debto resduo e soprattutto n base alla varazone del tasso d nteresse, che nel lungo perodo può subre per l appunto oscllazon mportant. Ma non tratteremo neppure d questa tpologa d ammortament. Ch prosegurà gl stud n ambto unverstaro nel settore economco-fnanzaro avrà modo d approfondre questo argomento. Quello che no abbamo qu proposto basta per dare un dea d massma Ogggorno, come precsato pù volte, l fatto d dsporre d strument d calcolo automatco comporta che l uso delle formule [7], [8], [9], [10], [11] non mplch sere dffcoltà d calcolo. La cosa non era, nvece, semplcssma quando tal strument non esstevano, ovvero fno agl ann Ottanta del XX secolo. Allora matematc, per semplfcare calcol che le operazon connesse a problem d matematca fnanzara mplcavano, avevano elaborato apposte tabelle, dette tavole fnanzare, che permettevano d trovare rapdamente valor delle seguent espresson: 1 + n, 1 + n 1 + n n,,, n. n corrspondenza d un gran numero d valor assegnat alle varabl ed n. Tanto per fornre un esempo, la seguente tabella (Tab. 3) mostra un pezzo delle suddette tavole rguardo a valor dell espressone lì ndcata, approssmat a meno d Rbadamo che al gorno d ogg possamo trovare quest valor drettamente con un doneo strumento d calcolo automatco. Cosa che rende pratcamente nutl quelle tavole fnanzare che fno a qualche decenno fa costtuvano uno strumento ndspensable per commercalst. Tab. 3 Valor d 1+ n 1 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% n 6 6, , , , , , , , , , , , , , Matematca per le scuole superor

17 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,57789 Naturalmente con un doneo software matematco ma n qualche crcostanza anche con una semplce calcolatrce che, però, abba tast delle funzon esponenzale e logartmo è possble calcolare mmedatamente anche l valore d n quando s conoscono quell della varable e dell espressone presa n consderazone. È pure possble calcolare l valore d quando s conoscono quell dell espressone e della varable n, ma non senza dffcoltà, questa volta. Qualche esempo n proposto può rvelars utle. 1+ n 1 ESERCIZIO 1. Calcolare n sapendo che rsulta =13,8184 per =0,034. RISOLUZIONE. S tratta d rsolvere la seguente equazone esponenzale nella varable n: 1 + 0,034 n 1 = 13, ,034 Esstono software matematc che la rsolvono drettamente. Per mezzo d uno d quest abbamo ottenuto rapdamente l valore n 11,5. Ma a questo valore s poteva gungere anche senza dsporre d un tale software, a condzone d dsporre, però, d una calcolatrce con tast della funzone logartmo. A partre dalla precedente equazone, nfatt, ottenamo d seguto: 1,034 n = ,8184 0,034, coè: 1,034 n = 1, e da qu, passando a logartm natural d entramb membr dell equazone, s ottene: ln 1, n ln 1,034 = ln 1, e percò: n = ln 1,034 11,5. n 1 1+ ESERCIZIO 2. Calcolare sapendo che rsulta =18,1025 per n=30. RISOLUZIONE. S tratta d rsolvere la seguente equazone nella varable : = 18,1025. In questo caso anche l software matematco può ncontrare qualche dffcoltà nel fornre drettamente la soluzone dell equazone; meno che ma è n grado d fornrla una semplce calcolatrce. Ma sa l uno sa l altra autano ad arrvarc. Ma seguendo un altra strada, che utlzza l nterpolazone lneare. Per questo, attraverso tentatv mrat, s consdera dapprma l espressone: f = ; bsogna trovare due valor d, ed, tal che rsult: f <18,1025<f. Fatt debt tentatv, trovamo: f(0,037) = 17,9397, f(0,036) = 18,1637; per cu: f(0,037) < f()=18,1025 < f(0,036). Da qu, con un processo d nterpolazone lneare, s ottene: f f( ) = f f(") 18, , , ,9397, ossa: = " 0,037 0,036 0,037 Matematca per le scuole superor 17

18 e nfne, una volta rsolta la precedente equazone n, s trova: =0,03627=3,627%. In realtà, una apposta verfca, fa vedere che rsulta: , = 18, ,03627 Non è esattamente l valore assegnato, ma l approssmazone è eccellente. ESERCIZIO 3. Per estnguere un debto d s versano per 15 ann alla fne d ogn semestre, a partre dal semestre n cu l debto è stato contratto. Calcolare l tasso d nteresse nomnale annuo applcato nella crcostanza. RISOLUZIONE. S tratta d una rendta postcpata della durata d n=30 rate, ognuna del valore R d 4.600, al tasso semestrale. D essa s conosce l valore attuale C, uguale a Il tasso nomnale annuo è = 2. Dunque bsogna calcolare. Per questo è necessaro rsolvere la seguente equazone, ottenuta sosttuendo nella formula [8] valor qu assegnat alle varabl C, R, n: = , ossa: = 23,9130. S tratta d un equazone dello stesso tpo d quello descrtto nel precedente eserczo. S procede come n quel caso. Dunque, posto: f = per tentatv s cercano due valor d f() entro qual è compreso 23,9130; s ottene: f(0,015) = 24,0158, f(0,016) = 23,6788. Proseguendo adesso con l nterpolazone lneare, s ha: 23, , , ,0158 = 0,015 0,016 0,015 da cu segue: =0,0153. Pertanto =0,0306=3,06%. Alcun esercz per te: 1 + n 1 1. Sapendo che l valore dell espressone è a) 7,3707 e che =3,50%, calcolare n; b) 5,9290 e che n=10, calcolare. 2. Sapendo che l valore dell espressone n è a) 7,3707 e che =3,50%, calcolare n; b) 5,9290 e che n=10, calcolare. VERIFICHE Stuazon economche e prncpo d equvalenza fnanzara (nn. 1-6): 1. S consderno le due stuazon economche (C,0) e (M,t). Stablre se sono equvalent o no n base alla seguente legge: M C = 1 Ct, sapendo che s ha: 10 a) C= , t=3, M= ; 18 Matematca per le scuole superor

19 b) C= , t=5, M= ; c) C= , t=4, M= S consderno le due stuazon economche (C,0) e (M,t). Stablre se sono equvalent o no n base alla seguente legge: M = C 1,06 t, sapendo che s ha: a) C= , t=3, M= ; b) C= , t=5, M= ; c) C= , t=4, M= Le due stuazon economche (C,0) e (M,t) rsultano equvalent n base alla seguente legge: M=C t. Completare la seguente tabella: M C t S S 4. Le due stuazon economche (C,0) e (M,t) rsultano equvalent n base alla seguente legge: M = C 1,025 t. Completare la seguente tabella: M C t S S 5. Tzo deposta n banca la somma C al tempo 0 per rscuotere la somma M al tempo t. Il calcolo d M può essere ottenuto medante una delle seguent legg d captalzzazone: a) M=C (1+0,03 t), b) M=C 1,02 t. Stablre quale delle due legg è pù favorevole a Tzo se l deposto è fatto per un tempo t tale che: 1) t=1; 2) t=5; 3) t=10; 4) t= Un commercante ha accettato n pagamento, a saldo della vendta d cert prodott, una cambale d che scade fra t ann. Egl però vuole ncassare subto denaro lqudo e per questo s rvolge alla sua banca, la quale è dsposta ad accollars la cambale rconoscendo al commercante la somma C n base ad una delle seguent legg d sconto: a) C= (1 0,035 t), b) C= ,765 t. Stablre quale delle due legg è pù favorevole alla banca se la cambale scade fra un tempo t tale che: 1) t = 6 mes; 2) t = 1 anno; 3) t = 18 mes. Captalzzazone semplce (nn. 7-21): 7. Consderata la legge dell nteresse semplce: I=C t, rappresentarla n un pano rferto ad un sstema d ass cartesan ortogonal n cu s rportno n ordnate valor d I e n ascsse valor: Matematca per le scuole superor 19

20 a) del captale C (con, t costant); b) del tasso (con C, t costant); c) del tempo t (con C, costant). Qual è l sgnfcato economco del prodotto C? 8. Consderata la legge d captalzzazone semplce: M=C 1+ t, rappresentarla n un pano rferto ad un sstema d ass cartesan ortogonal n cu s rportno n ordnate valor d M e n ascsse valor: a) del captale C (con, t costant); b) del tasso (con C, t costant); c) del tempo t (con C, costant). Qual è l sgnfcato economco del prodotto C(1+)? 9. Calcolare l nteresse prodotto dal captale d 8000 mpegato, n regme d captalzzazone semplce, al tasso del 2,5% annuo per un tempo t tale che: a) t = 3 ann; b) t = 8 mes; c) t = 2 ann e 5 mes. [R. a) 600; b) 133; ] 10. Calcolare quale captale, mpegato n regme d captalzzazone semplce al tasso per un tempo t, produce l nteresse I, sapendo che: a) I = 750, = 1.2% annuo, t = 2 ann; b) I = 1200, = 1.175% annuo, t = 18 mes; c) I = 9300, = 2.05% annuo, t = 3 ann e 3 mes. [R. a) 31250; ] 11. Calcolare l tasso annuo al quale bsogna mpegare, n regme d captalzzazone semplce, l captale d 4000 affnché produca l nteresse I n un tempo t, sapendo che: a) I = 900, t = 2 ann; b) I = 1110, t = 30 mes; c) I = 930, t = 8 mes. [R. a) 11,25%; ] 12. Calcolare n quanto tempo l captale C, mpegato n regme d captalzzazone semplce al tasso, produce l nteresse I, sapendo che: a) C = 5000, I = 100, = 1,2% annuo; b) C = 9000, I = 120, = 1,175% annuo; c) C = 2800 I = 200, = 2,05% annuo. [R. a) 1 anno e 8 mes; ] 13. Calcolare l montante d un captale C mpegato, n regme d captalzzazone semplce, al tasso per un tempo t, sapendo che: a) C = 5000, = 1,2% annuo, t = 5 ann e 8 mes; b) C = 2300, = 3,0% annuo, t = 3 ann e 6 mes; c) C = 7200, = 3,5% annuo, t = 2 ann e 4 mes. [R. a) 5340; ] 14. Calcolare quale captale, mpegato n regme d captalzzazone semplce al tasso per un tempo t, produce l montante M, sapendo che: a) M = 5000, = 1,2% annuo, t = 5 ann e 8 mes; b) M = 2300, = 3,0% annuo, t = 3 ann e 6 mes; c) M = 7200, = 3,5% annuo, t = 2 ann e 4 mes. 20 Matematca per le scuole superor

21 [R. a) 4681; ] 15. Calcolare l tasso annuo al quale bsogna mpegare, n regme d captalzzazone semplce, l captale C perché produca l montante M n un tempo t, sapendo che: a) C = 5000, M = 6000, t = 5 ann e 8 mes; b) C = 2300, M = 2500, t = 3 ann e 6 mes; c) C = 7200, M = 8000, t = 2 ann e 4 mes. [R. a) 3,53%; ] 16. Calcolare n quanto tempo l captale C mpegato, n regme d captalzzazone semplce al tasso, produce l montante M, sapendo che: a) C = 5000, = 1,2% annuo, M = 6000; b) C = 2300, = 3,0% annuo, M = 2500; c) C = 7200, = 3,5% annuo, M = [R. a) 16 ann e 8 mes; ] 17. Un captale, mpegato n regme d captalzzazone semplce al tasso, raddoppa l suo valore n un tempo t. a) Calcolare sapendo che t = 15 ann. b) Calcolare t sapendo che = 3% annuo. [R. a) 6,67%; b) 33 ann e 4 mes] 18. Per estnguere un debto che ho contratto al tasso d nteresse semplce del 5% annuo, pagherò 5000 fra 6 mes ed 7000 fra 9 mes. Calcolare l ammontare del debto. [R ] 19. Tzo deve pagare ad un sttuto d credto, che gl pratca un nteresse semplce del 5% annuo, le seguent somme: 800 fra 6 mes; 600 fra 9 mes; 500 fra 12 mes; 800 fra 15 mes. Egl s accorda con l sttuto per pagare tutto l debto n un unca soluzone fra 10 mes. Calcolare l ammontare della somma che Tzo dovrà pagare a tale scadenza. [R. 2695] 20. Fra 6 mes m scade una cambale del valore nomnale d Calcolare lo sconto commercale se la cambale vensse saldata ogg al tasso d nteresse semplce del 5% annuo. [R. 59,52] 21. Ho due debt con la stessa banca: uno d 9000 m scade fra 4 mes, un altro d 7000 fra 6 mes. Se saldo ogg l debto complessvo, posso pagare la somma scontata d Quale tasso d sconto commercale m vene pratcato? [R. 4,6%] Captalzzazone composta (nn ): 22. Calcolare l montante d un captale d mpegato n regme d captalzzazone composta al tasso per 5 ann sapendo che: a) = 2,75% annuo; b) = 2,75% semestrale; c) = 2,75% trmestrale. [R. a ; b 15740; c ] 23. Calcolare l nteresse prodotto dal captale d mpegato, n regme d captalzzazone composta, al tasso per 4 ann, sapendo che: a) = 2,5% annuo; b) = 1,75% semestrale; c) = 1,5% trmestrale. [R. a ; b 3722; c ] Matematca per le scuole superor 21

22 24. Calcolare quale captale, mpegato n regme d captalzzazone composta al tasso per un tempo t, produce l montante M, sapendo che: a) M = , = 1,75% annuo, t = 5 ann; b) M = , = 3,0% annuo, t = 3 ann; c) M = , = 3,5% annuo, t = 2 ann. [R. a) 45845; ] 25. Calcolare n quanto tempo l captale C mpegato, n regme d captalzzazone composta al tasso, produce l montante M, sapendo che: a) C = , = 1,8% annuo, M = ; b) C = , = 3,0% annuo, M = ; c) C = , = 3,5% annuo, M = [R. a) 18 ann e 10 mes; ] 26. Calcolare n quanto tempo l captale C mpegato, n regme d captalzzazone composta al tasso, frutta l nteresse I, sapendo che: a) C = , = 1,2% annuo, I = 6.000; b) C = , = 3,0% annuo, I = 2.500; c) C = , = 3,5% annuo, I = [R. ; d 34 ann; ] 27. Calcolare l tasso annuo al quale bsogna mpegare, n regme d captalzzazone composta, l captale C perché produca l montante M n un tempo t, sapendo che: a) C = , M = , t = 5 ann; b) C = , M = , t = 3 ann e 6 mes; c) C = , M = , t = 2 ann e 4 mes. [R. a) 6,96%; 28. Calcolare l tasso annuo al quale bsogna mpegare, n regme d captalzzazone composta, l captale d affnché frutt l nteresse I n un tempo t, sapendo che: a) I = , t = 5 ann; b) I = 4.000, t = 3 ann e 6 mes; c) I = 3.000, t = 2 ann e 4 mes. [R. a) 4,56%; 29. Un captale, mpegato n regme d captalzzazone composta al tasso, raddoppa l suo valore n un tempo t. a) Calcolare sapendo che t = 12 ann. b) Calcolare t sapendo che = 3,75% annuo. [R. a) 5,94%; b) 18 ann e 10 mes] 30. Calcolare quale tasso effettvo annuo corrsponde a seguent tass: a) 3,0% nomnale annuo convertbl 3 volte all anno; b) 2,5% nomnale annuo convertble 4 volte all anno; c) 1,75% nomnale annuo convertble 3 volte all anno; d) 0,75% trmestrale; e) 0,23% bmestrale; f) 1,35% semestrale. [R. a) 3,03%; ; d 3,79%; 22 Matematca per le scuole superor

23 31. Calcolare seguent tass, corrspondent al tasso effettvo annuo del 2,75%: a) tasso nomnale annuo convertble 3 volte all anno; b) tasso nomnale annuo convertble 4 volte all anno; c) tasso nomnale annuo convertble 6 volte all anno; d) tasso trmestrale; e) tasso bmestrale; f) tasso semestrale. [R. a) 2,72 %; ; d 0,68%; 32. Per estnguere un debto d pago subto 2.000, fra un anno e l saldo fra 3 ann. Sapendo che m vene pratcato l nteresse composto dell 1,80% semestrale, quale somma dovrò versare a saldo del debto alla scadenza fra 3 ann? [R. 5966,12] 33. Per estnguere un debto d pago subto 2.000, fra 6 mes e fra 12 mes l saldo d Sapendo che l operazone s svolge n regme d captalzzazone composta semestrale, calcolare l tasso d nteresse semestrale pratcato. [R. 1,80%] 34. Tzo contrae un debto che s mpegna a rmborsare n tre rate del medesmo mporto d 5.000: la prma fra un anno, la seconda fra 2 ann e la terza fra 3 ann. Sapendo che gl vene pratcato l tasso d nteresse composto del 4,5% annuo, calcolare l ammontare del debto. [R ] 35. Un operatore fnanzaro contrae un debto d , che s mpegna a rmborsare n due rate d uguale mporto: la prma fra 6 mes, la seconda fra 12 mes. Sapendo che l operazone è effettuata n regme d captalzzazone composta al tasso d nteresse del 2,70% semestrale, calcolare l mporto della rata. [R ] 36. Un commercante deve pagare ad un sttuto bancaro le seguent somme: fra un anno; fra 18 mes; fra 2 ann. Egl vorrebbe saldare subto l debto. Se l sttuto gl pratca uno sconto del 2% annuo, quale somma dovrebbe pagare? [R ] 37. Un captale d è mpegato per 3 ann al tasso d nteresse composto del 2,75% annuo. Alla scadenza l montante, mpegato per altr 2 ann n regme d captalzzazone composta, frutta un ulterore nteresse d Calcolare l nuovo tasso d nteresse. [R. 2,87%] 38. Tzo vuole estnguere un debto d che scade fra 3 ann. L sttuto bancaro con cu ha contratto l debto gl pratca un tasso d sconto del 2,75% annuo. Calcolare quanto Tzo deve pagare ogg e quant è lo sconto effettuato dall sttuto. [R ; ] 39. Un commercante salda con un pagamento d un debto d che scade fra 4 ann. Calcolare l tasso d sconto annuo che gl è stato pratcato. [R. 3,76%] 40. Tzo salda un debto che scade fra 3 ann e 6 mes e per questo ottene uno sconto d 748 al tasso d sconto del 2,75% annuo. Calcolare l ammontare del debto. [R. 8044] 41. Un commercante salda con un pagamento d un debto d Sapendo che gl è stato pratcato un tasso d sconto del 3,0% annuo, calcolare fra quanto tempo sarebbe scaduto l debto. [R. 4 ann] Queston che rchedono un po d mmagnazone (nn ): 42. Un commercante salda con un pagamento d un debto d che scade fra 4 ann. Lo gudcherest partcolarmente avveduto? Matematca per le scuole superor 23

24 43. Un soggetto ha condotto operazon fnanzare che l hanno portato a ncrementare l suo captale d un qunto del suo valore n 5 ann. Lo gudcherest partcolarmente able negl affar? 44. M sono offerte due possbltà: a) rcevere subto ; b) rcevere fra 3 ann. Cosa m convene fare? 45. Una cambale del valore nomnale d , con scadenza fra 8 mes, vene scontata ogg pagando Gudcherest questa operazone partcolarmente brllante? 46. Un captale, mpegato per un tempo t al tasso, produce l montante M. Questo montante, rempegato per un tempo t sempre al tasso, produce l montante M. Lo stesso captale, mpegato senza nterruzone per l tempo t +t al medesmo tasso, produce l montante M. S può affermare che M=M? Se M M, è M>M oppure M<M? Rendte e ammortament (nn ): 47. Una rendta postcpata annua è costtuta da n rate d enttà R. Calcolare, al tasso annuo, l montante e l valore attuale della rendta, sapendo che: a) R = 3500, n = 15, = 3,75%; b) R = 5000, n = 10, = 3,50%; c) R = 7000, n = 12, = 4,25%. [R. a) M , C ; ] 48. Una rendta antcpata annua è costtuta da n rate d enttà R. Calcolare, al tasso annuo, l montante e l valore attuale della rendta, sapendo che: a) R = 3500, n = 15, = 3,75%; b) R = 5000, n = 10, = 3,50%; c) R = 7000, n = 12, = 4,25%. [R. a) M 71374, C 41088; ] 49. Calcolare la rata annua postcpata donea ad estnguere n n rate l debto D contratto al tasso annuo, sapendo che: a) D = , n = 15, = 3,50%; b) D = , n = 10, = 4,85%; c) D = , n = 12, = 4,5%. [R. a) R 9550; 50. Calcolare la rata annua antcpata donea ad estnguere n n rate l debto D contratto al tasso annuo, sapendo che: a) D = , n = 15, = 3,50%; b) D = , n = 10, = 4,85%; c) D = , n = 12, = 4,5%. [R. a) R 9227; 51. Tzo, n seguto ad un eredtà rcevuta, ha acqusto l drtto d rscuotere all anno per 15 ann, a partre dalla fne dell anno che nza ogg. a) Ammesso che egl depost n banca le somme va va rscosse per rtrarle alla scadenza del 15 anno, calcolare quale somma avrà accumulato a tale scadenza nell potes che la banca gl rconosca un nteresse composto del 2,75% annuo. 24 Matematca per le scuole superor

25 b) Ammesso che Tzo ceda ad un sttuto d credto l drtto d rscossone delle somme, calcolare quale somma deve pretendere ogg dall sttuto stesso nell potes che questo sa dsposto a rconoscergl l medesmo nteresse composto del 2,75% annuo. [R. a) ; ] 52. Un operao, pensando d costturs un gruzzoletto per la vecchaa, decde d depostare n banca una parte del suo stpendo, esattamente 120 al mese a partre dalla fne d questo mese. La banca gl rconosce l tasso d nteresse composto dello 0,20% mensle. Quale somma l lavoratore ruscrà ad accumulare alla scadenza d 10 ann? [R ] 53. Ogg ho acceso un mutuo con la ma banca e lo estnguerò versando ogn 6 mes per 10 ann, a partre dalla fne d questo semestre, la somma d Sapendo che la banca m pratca un tasso d nteresse composto del 4,25% nomnale annuo rnnovable 2 volte all anno, calcolare l ammontare del mutuo. [R ] 54. Tzo, n seguto ad un eredtà, ha acqustato l drtto d rscuotere all anno per 15 ann, a partre da ogg. a) Ammesso che egl depost n banca le somme va va rscosse per rtrarle alla fne del 15 anno, calcolare quale somma ruscrà ad accumulare a tale scadenza nell potes che la banca gl rconosca un nteresse composto del 2,75% annuo. b) Ammesso che Tzo ceda ad un sttuto d credto l drtto alla rscossone delle somme, calcolare quale somma deve pretendere ogg dall sttuto stesso nell potes che questo sa dsposto a rconoscergl l medesmo nteresse del 2,75% annuo. 55. Un debto può essere estnto versando per 5 ann, ogn 6 mes a partre da ogg, la somma d La banca con cu è stato contratto l debto pratca un tasso d nteresse nomnale annuo del 4,5%, ma captalzza gl nteress ogn 6 mes. Calcolare l ammontare del debto. 56. Una persona, n seguto ad un eredtà, ha acqustato l drtto d rscuotere all anno per 10 ann, ma rscuoterà la prma rata esattamente fra 5 ann. Ammesso che egl ceda ad una banca l drtto alla rscossone delle somme, calcolare quale somma deve pretendere ogg dalla banca nell potes che questa gl rconosca un nteresse del 3,50% annuo. 57. All nzo d ogn semestre, per 10 ann, una persona deposta n banca la somma d La banca gl corrsponde un tasso d nteresse del 2,75% nomnale annuo ma captalzza gl nteress due volte all anno. Calcolare quale somma accumulerà quella persona alla fne del 12 anno. 58. Tzo contrae con una banca un debto che s mpegna ad estnguere con 15 versament semestral del valore costante d , a partre dall nzo del terzo anno dopo la stpula del contratto. Sapendo che la banca esge un tasso d nteresse nomnale annuo del 4,95% e captalzza gl nteress due volte all anno, calcolare l ammontare del debto. 59. Tzo contrae con una banca un debto d che s mpegna ad estnguere con 15 versament semestral d valore costante, a partre dalla fne del semestre n cu ha stpulato l contratto. Sapendo che la banca esge un tasso d nteresse nomnale annuo del 4,95% convertble due volte all anno, calcolare l ammontare della rata. 60. Redgere, per mezzo d un foglo elettronco, l pano d ammortamento per l estnzone d un debto D, con n rate annual costant postcpate, al tasso annuo, sapendo che: a) D = , n = 15, = 4,95%; b) D = , n = 20, = 4,75%; Matematca per le scuole superor 25