Confronto tra due popolazioni Lezione 6

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1 Last updated May 9, 06 Confronto tra due popolazioni Lezione 6 G. Bacaro Statistica CdL in Scienze e Tecnologie per l'ambiente e la Natura I anno, II semestre

2 Concetti visti nell ultima lezione Le media del campione è uguale e quella di una popolazione nota???

3 Confronto FRA due campioni Non conosco le popolazioni!? 3

4 Il test t su due campioni Ipotesi: H0: le due medie sono uguali Ha: le medie sono diverse (o > o <) Assunzioni generali:. Indipendenza delle osservazioni (posso correggere per questo). Normalità delle popolazioni a confronto 3. Omogeneità della varianza (posso correggere per questo) 4

5 . Indipendenza delle osservazioni Ogni osservazione corrisponde ad una vera replica? Attenzione al campionamento!!! 5

6 . Normalità delle popolazioni a confronto I due campioni devono provenire da popolazioni normali! 6

7 . Normalità delle popolazioni a confronto Operazioni per verificare la normalità. Confrontare le caratteristiche dei dati con quelle teoriche della distribuzione normale (es. mediana media). Analisi grafica (es. istogrammi) 3. Eseguire dei test (non considerati durante il corso) 7

8 . Normalità delle popolazioni a confronto Analisi dell istogramma Simmetria (media mediana) - c. /3 dei dati in un intervallo μ±σ - c. 95% dei dati in un intervallo μ±σ

9 3. Omogeneità della varianza Il livello di variabilità delle popolazioni a confronto deve essere simile! μ=5 e σ= μ=5 e σ=

10 3. Omogeneità della varianza: Il test F s F s Varianza maggiore Varianza minore Distribuzione di probabilità che dipende dalla numerosità dei due campioni (n e n ) 0

11 3. Omogeneità della varianza: Il test F s F calcolato s Varianza maggiore Varianza minore H0: le due varianze sono uguali Ha: le due varianze sono diverse Test di ipotesi:. Calcolo la varianza dei due campioni. Determino il valore di F calcolato 3. Decido il livello di significatività (alpha) 4. Determino il valore di F critico (se la tavola dà P per alpha/) 5. Se F calcolato > F critico rifiuto H0 6. Conclusione: le varianze sono DIVERSE!

12 3. Omogeneità della varianza: Il test F Numeratore: n - Denominatore: n - La tavola dà un valore di F per una coda! Gli F qua sotto corrispondono a α=0.05 a due code! F calcolato

13 Il test t t calcolato = Misura legata alla differenza fra le medie Misura di variabilità dentro i gruppi Differenza medie Variabilità dei gruppi 3

14 Il test t Caso Caso Variabile Differenza fra le medie A B A Caso 3 Caso 4 B Variabilità A Variabilità B Variabile A B A B 4

15 Il test t t calcolato = Differenza fra le medie Errore standard della differenza t t Differenza fra medie Variabilità dentro i gruppi Più estremo sarà t calcolato maggiore sarà la probabilità di rifiutare H0 5

16 Il test t t calcolato = Differenza fra le medie Errore standard della differenza + estremo sarà t calcolato maggiore la probabilità di rifiutare H0 P -T critico T critico 6

17 Come scegliere il test t giusto a partire dalle assunzioni Indipendenza NO Test t appaiato D t SD n SÌ Test t non appaiati s s Test t per pop. omoschedastiche t S ( x p n x ) n s s Test t per pop. eteroschedastiche Welch t-test (formula complessa richiesto un PC) 7

18 8 Campioni independenti omoschedastici: Test t! ) ( n n S x x t p calcolato? ) ) ( ) ( ) ( ) ( n n S n S n S p Varianza combinata ( pooled ) I gradi di libertà sono n + n - per T critico

19 Campioni independenti omoschedastici: Test t! H0: le due medie sono uguali Ha: le due medie sono diverse Test di ipotesi:. Calcolo la varianza combinata dei due campioni. Determino il valore di t calcolato 3. Decido il livello di significatività (alpha, o code?) 4. Determino il valore di t critico 5. Se t calcolato > t critico rifiuto H0 6. Conclusione: le medie sono DIVERSE! I gradi di libertà sono n +n - per T critico 9

20 Campioni appaiati: casi. Misure ripetute. Correlazione nello spazio Studente Prima Dopo A 3 B 3 4 C 4 4 D 5 5 E 0 F 8 8 G 8 8 H 9 0 Misura a monte Misura a valle Fiume A Fiume B Fiume C Industria tessile [Ammoniaca] in acqua 0

21 Campioni appaiati: Test t t D S D n D S D n D i ( Di D ) n Media delle differenze Deviazione standard delle differenze n Numero di coppie D i Studente Prima Dopo A 3 B 3 4 C D E 0 F G H 9 0 I gradi di libertà sono n- per t critico

22 Campioni appaiati: Test t H0: le due medie sono uguali Ha: le due medie sono diverse? Test di ipotesi:. Determino il valore di t calcolato. Decido il livello di significatività (alpha, o code?) 3. Determino il valore di t critico 4. Se t calcolato > t critico rifiuto H0 5. Conclusione: le medie sono DIVERSE! I gradi di libertà sono n- per t critico