INDICE. MODULO 1 Raccordo con il biennio 11. MODULO 2 Coordinate cartesiane e rappresentazione grafica di funzioni 37
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- Marisa Amato
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1 INDICE 5 INDICE MODULO 1 Raccordo con il biennio 11 Richiami di geometria 12 M 1. Il metodo della geometria euclidea 12 Geometria razionale euclidea 12 Enti primitivi, assiomi, teoremi 12 M 2. Figure piane e loro congruenza 13 Movimento rigido e congruenza di figure piane 13 I poligoni e in particolare il triangolo 13 M 3. Parallelismo e perpendicolaritaá 13 Rette parallele 13 Rette incidenti e rette perpendicolari 14 Somma degli angoli interni di un poligono 14 Distanze e proiezioni 14 M 4. Luogo geometrico 15 M 5. Quadrilateri particolari e teoremi a essi relativi 15 M 6. Punti notevoli di un triangolo 16 Circocentro 16 Incentro 16 Ortocentro 16 Baricentro 16 M 7. Circonferenza e cerchio 16 ProprietaÁ fondamentali della circonferenza 16 Parti della circonferenza e del cerchio 17 Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza 18 Angoli al centro e angoli alla circonferenza 19 Poligoni inscritti e circoscritti 20 M 8. Equivalenza tra figure piane 20 Superfici equivalenti 20 M 9. Teoremi di Euclide e di Pitagora 21 M 10. Misura di una grandezza 21 Classe di grandezze 21 Misura di una grandezza 21 M 11. Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo 22 M 12. Fascio di rette parallele 22 Fascio di rette parallele improprio 22 Teorema di Talete 23 M 13. Similitudine tra due figure piane 23 Triangoli simili 23 Poligoni simili 24 M 14. Formulario di geometria piana 25 M 15. Formulario di geometria solida 27 Richiami di algebra 29 M 1. Scopo 29 M 2. Equazioni razionali a un'incognita 29 GeneralitaÁ 29 Equazioni di primo grado a un'incognita 30 Equazioni di secondo grado a un'incognita 30 M 3. Sistemi di equazioni razionali 31 GeneralitaÁ 31 Sistemi lineari 31 Sistemi di secondo grado 33 M Verifica di fine Modulo 34 MODULO 2 Coordinate cartesiane e rappresentazione grafica di funzioni 37 Le coordinate cartesiane 38 M 1. Coordinate di punti su una retta e nel piano 38 Coordinate ascisse sulla retta 38 Distanza orientata e assoluta tra due punti di una retta orientata 40 Ascissa del punto medio di un segmento 41 Coordinate cartesiane ortogonali nel piano 42 Coordinate di punti particolari 44 Distanza assoluta tra due punti di un piano cartesiano 45 Coordinate del punto medio di un segmento 46 M 2. Traslazione degli assi cartesiani 47 Cambiamento del sistema di riferimento 47 Traslazione di un sistema di riferimento 47 M ESERCIZI 49 M Verifica di fine UnitaÁ 62
2 6 INDICE Le funzioni e la loro rappresentazione grafica 63 M 1. Il concetto di funzione 63 Costanti e variabili 63 Variabili indipendenti, dipendenti, univocamente dipendenti 63 Campo di definizione, dominio, codominio di una funzione 64 Funzione analitica e funzione sperimentale 66 M 2. Rappresentazione grafica di una funzione 66 Grafico o diagramma cartesiano 66 Studio di una funzione per punti e suoi limiti: funzione analitica e funzione empirica 66 M 3. Zeri di una funzione 69 M 4. Altri sistemi di riferimento 70 Assi cartesiani non ortogonali 70 Coordinate polari: modulo e anomalie 70 M INSERTO STORICO: La rivoluzione del metodo analitico 72 M ESERCIZI 74 M Verifica di fine UnitaÁ 77 M Verifica di fine Modulo 78 MODULO 3 La retta 79 Equazioni della retta 80 M 1. Luoghi geometrici piani 80 Luogo geometrico piano e sua equazione 80 Traccia per la determinazione dell'equazione di un luogo geometrico 81 M 2. Equazione della retta 81 Equazione della retta parallela a un asse 81 Equazione della retta passante per l'origine delle coordinate cartesiane. Coefficiente angolare. Bisettrice dei quadranti 82 Equazione della retta non passante per l'origine e non parallela agli assi cartesiani. Ordinata all'origine 84 Rette di equazione condizionata 85 L'equazione generica di retta ax by c ˆ 0 86 Fascio proprio di rette di sostegno P 88 M 3. Applicazioni pratiche delle funzioni lineari 89 M ESERCIZI 91 M Verifica di fine UnitaÁ 101 Problemi relativi alla retta 102 M 1. Condizioni di parallelismo e perpendicolaritaá tra rette 102 Rette parallele 102 Fascio improprio di rette 103 Rette perpendicolari 103 M 2. Equazione della retta soddisfacente determinate condizioni 104 Equazione della retta passante per un punto e di dato coefficiente angolare 104 Equazione della retta passante per due punti dati 105 M 3. Coordinate del punto d'intersezione tra due rette 106 Rette incidenti 106 Rette parallele non coincidenti 106 Rette coincidenti 106 M 4. Distanza di un punto da una retta 107 M 5. Equazione dell'asse di un segmento 108 M 6. Equazioni delle bisettrici degli angoli individuati da due rette incidenti 109 M 7. Significato goniometrico del coefficiente angolare. Angolo di due rette 110 Espressione goniometrica del coefficiente angolare di una retta 110 Angolo formato da due rette 111 M ESERCIZI 113 M Verifica di fine UnitaÁ 136 M Verifica di fine Modulo 137 MODULO 4 Le coniche 139 La circonferenza 140 M 1. Equazione della circonferenza 140 Descrizione della circonferenza e sua equazione 140 Determinazione delle coordinate del centro e della misura del raggio 142 Circonferenza reale, degenere, non reale 142 Circonferenze condizionate 143 M 2. Alcuni problemi relativi alla circonferenza 145 Intersezioni tra retta e circonferenza 145 Equazione della circonferenza passante per tre punti assegnati 147 Equazioni delle rette tangenti a una circonferenza uscenti da un punto assegnato 148 M INSERTO STORICO: I cerchi di Apollonio 152 M ESERCIZI 153 M Verifica di fine UnitaÁ 177
3 INDICE 7 La parabola 178 M 1. La parabola come luogo geometrico 178 Direttrice, fuoco, asse di simmetria della parabola 178 Vertice e parametro p della parabola 179 Costruzione della parabola 179 La parabola come particolare conica 179 M 2. Equazione della parabola avente come asse di simmetria uno degli assi cartesiani e il vertice nell'origine 180 Asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate 180 Effetto del parametro a sulla parabola di equazione y ˆ ax Determinazione del fuoco e della direttrice di una data parabola y ˆ ax Asse di simmetria coincidente con l'asse delle ascisse 183 M 3. Equazione della parabola avente asse di simmetria parallelo a uno degli assi cartesiani 184 Modifica dell'equazione di una parabola a seguito di traslazione degli assi di riferimento 184 Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate 185 Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse 187 M 4. Parabole condizionate 188 Parabole di particolari proprietaá: condizioni sui coefficienti 188 Determinazione dei coefficienti di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate 190 Determinazione dei coefficienti di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse 191 M 5. Problemi relativi alla parabola 191 Determinazione delle intersezioni tra retta e parabola 191 Ricerca delle equazioni delle rette tangenti a una parabola e uscenti da un punto P di coordinate date 192 M 6. Applicazioni pratiche delle funzioni di 2ë grado 193 M 7. Studio del segno del trinomio di 2ë grado 193 M INSERTO STORICO: Archimede e l'area del segmento parabolico 197 M ESERCIZI 198 M Verifica di fine UnitaÁ 224 UNITAÁ 3 L'ellisse 225 M 1. L'ellisse come luogo geometrico e come conica 225 Descrizione dell'ellisse 225 Condizione di esistenza del luogo geometrico 226 Caratteristiche dell'ellisse 226 Metodi pratici per disegnare un'ellisse 226 L'ellisse come conica 227 M 2. Equazione dell'ellisse riferita ai propri assi 228 Condizione di appartenenza di un punto P all'ellisse 228 Procedimenti per rendere razionale l'equazione del luogo. Equazione canonica dell'ellisse 229 I vertici dell'ellisse 229 Gli assi dell'ellisse 230 L'eccentricitaÁ dell'ellisse 230 Equazione dell'ellisse avente i fuochi sull'asse delle ordinate 233 Procedura alternativa di costruzione di un'ellisse per punti 233 M 3. Problemi relativi all'ellisse 235 Equazione dell'ellisse riferita ai propri assi passante per due punti dati 235 Equazione delle rette tangenti a un'ellisse uscenti da un punto assegnato 236 M ESERCIZI 237 M Verifica di fine UnitaÁ 248 UNITAÁ 4 L'iperbole 249 M 1. L'iperbole come luogo geometrico e come conica 249 Descrizione dell'iperbole 249 Condizione di esistenza del luogo geometrico 249 Caratteristiche dell'iperbole 250 Costruzione dell'iperbole 250 L'iperbole come conica 251 M 2. Equazione dell'iperbole riferita ai propri assi 252 Iperbole con fuochi sull'asse delle ascisse 252 I vertici dell'iperbole 253 Gli assi dell'iperbole: asse trasverso e asse non trasverso, asse focale 253 L'eccentricitaÁ dell'iperbole 253 Delimitazione delle zone di sviluppo dell'iperbole 254 Andamento dell'iperbole 254 Iperbole con fuochi sull'asse delle ordinate 256
4 8 INDICE M 3. Problemi relativi all'iperbole 257 Equazione dell'iperbole riferita ai propri assi passante per i punti P x 1 ; y 1 e Q x 2 ; y Equazione delle rette tangenti a un'iperbole e parallele alla bisettrice del primo e terzo quadrante 259 M 4. L'iperbole equilatera 259 Equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri assi e suoi asintoti 259 Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e sua equazione 260 Iperbole equilatera e proporzionalitaá inversa 262 M INSERTO STORICO: Breve storia sulle coniche e loro applicazioni: da Apollonio a Keplero 262 M ESERCIZI 264 M Verifica di fine UnitaÁ 282 UNITAÁ 5 Complementi sulla retta e sulle coniche 283 M 1. Equazioni parametriche di una linea 283 Equazioni parametriche 283 Equazioni parametriche di una retta data 284 M 2. Ricerca di particolari luoghi geometrici 284 M 3. Risoluzione grafica di disequazioni e di sistemi di disequazioni 284 Disequazioni di primo grado 284 Disequazioni di secondo grado 286 Sistemi di disequazioni 287 M 4. Diagramma di equazioni contenenti valori assoluti di espressioni 289 M ESERCIZI 290 M Verifica di fine UnitaÁ 312 M Verifica di fine Modulo 313 MODULO 5 Goniometria 315 Angoli, archi e loro misura 316 M 1. Angoli ed archi di circonferenza 316 L'angolo 316 L'arco circolare 316 M 2. Misura degli angoli e degli archi 317 UnitaÁ di misura degli angoli 317 UnitaÁ di misura degli archi 317 Conversione della misura di un angolo e di un arco da gradi a radianti e viceversa 317 Misure in radianti di alcuni angoli particolari 318 M 3. Altre unitaá di misura di angoli e archi 318 Sistemi di misura sessagesimale e circolare 318 Sistema sessadecimale 318 Sistema centesimale 319 M 4. Angoli e archi orientati e loro misura 319 Angolo orientato 319 Senso orario e senso antiorario di un angolo 319 Angoli e archi positivi e negativi 320 M 5. Un ampliamento del concetto di angolo 320 M ESERCIZI 321 M Verifica di fine UnitaÁ 327 Le funzioni goniometriche 328 M 1. Le funzioni goniometriche di un angolo (o di un arco) orientato 328 La funzione goniometrica 328 Le funzioni goniometriche elementari di un angolo orientato: seno, coseno, tangente, cotangente 329 M 2. La circonferenza goniometrica e l'interpretazione grafica delle funzioni goniometriche 330 Circonferenza goniometrica 330 Interpretazione grafica delle funzioni goniometriche mediante la circonferenza goniometrica 330 Secante e cosecante di un angolo e loro interpretazione geometrica 332 M 3. Variazione delle funzioni goniometriche elementari 333 Variazione delle funzioni seno e coseno 333 Variazione della funzione tangente 335 Variazione della funzione cotangente 336 M 4. Relazioni tra funzioni goniometriche elementari 337 Relazione fondamentale della goniometria 337 Formule di relazione tra funzioni goniometriche elementari 338 M 5. Valori di funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari 340 Angolo di 30 e angolo di Angolo di Angolo di M 6. Relazioni tra funzioni goniometriche di angoli associati 342 Angoli complementari 342 Angoli supplementari 343 Angoli opposti 344 Altre coppie di angoli 344 M 7. Calcolo dei valori di funzioni goniometriche e misura di angoli corrispondenti 347 Le calcolatrici tascabili 347 Le tavole goniometriche 347
5 INDICE 9 Uso delle tavole goniometriche 347 M 8. Le inverse delle funzioni goniometriche elementari 349 Le funzioni inverse 349 Le funzioni inverse delle funzioni goniometriche elementari 349 M INSERTO STORICO: Origine dei nomi delle funzioni goniometriche 350 M ESERCIZI 351 M Verifica di fine UnitaÁ 372 UNITAÁ 3 Le formule goniometriche 373 M 1. Considerazioni preliminari 373 M 2. Formule di sottrazione 374 Formula di sottrazione per il coseno 374 Formula di sottrazione per il seno 375 Formula di sottrazione per la tangente e per la cotangente 375 M 3. Formule di addizione 376 M 4. Formule di duplicazione 378 M 5. Formule di bisezione 380 M 6. Formule di prostaferesi 381 Formule di prostaferesi per i seni e i coseni 381 Formule di prostaferesi per le tangenti e le cotangenti 382 M 7. Formule di Werner 383 M 8. Espressioni razionali delle funzioni goniometriche elementari in funzione di tg a/2 384 M 9. Funzioni goniometriche di angoli particolari 385 M ESERCIZI 386 M Verifica di fine UnitaÁ 401 UNITAÁ 4 IdentitaÁ, equazioni e disequazioni goniometriche 402 M 1. GeneralitaÁ sulle identitaá e sulle equazioni goniometriche 402 Espressione letterale goniometrica 402 IdentitaÁ goniometrica 402 Equazione goniometrica 403 M 2. Verifica di un'identitaá goniometrica 403 M 3. Equazioni goniometriche elementari di base 404 Equazione sen x ˆ a 404 Equazione cos x ˆ a 405 Equazione tg x ˆ a e ctg x ˆ a 405 M 4. Altre equazioni goniometriche elementari 406 M 5. Equazioni goniometriche non elementari 408 Equazioni goniometriche omogenee in seno e coseno 408 Equazioni goniometriche lineari in seno e coseno 410 Equazioni goniometriche simmetriche in seno e coseno 412 M 6. Sistemi di equazioni goniometriche 413 M 7. Disequazioni goniometriche elementari di base 415 M 8. Sistemi di disequazioni goniometriche elementari di base 418 M ESERCIZI 420 M Verifica di fine UnitaÁ 467 M Verifica di fine Modulo 468 MODULO 6 La trigonometria e le sue applicazioni 471 La trigonometria e le sue applicazioni geometriche 472 M 1. Teoremi relativi al triangolo rettangolo 472 Denominazione degli elementi di un triangolo rettangolo 472 Il triangolo rettangolo in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale 473 Funzioni goniometriche di un angolo acuto di un triangolo rettangolo 473 Relazioni goniometriche tra gli elementi di un triangolo rettangolo 473 M 2. Risoluzione di un triangolo rettangolo 474 M 3. Il teorema della corda e il teorema dei seni 475 Il teorema della corda 475 Il teorema dei seni 476 M 4. Il teorema delle proiezioni e il teorema del coseno 476 Il teorema delle proiezioni 476 Il teorema del coseno 477 M 5. Risoluzione di un triangolo qualunque 478 M 6. Altre applicazioni geometriche della trigonometria 480 Calcolo dell'area di un triangolo 481 Calcolo dell'area di un quadrilatero 481 Determinazione del raggio del cerchio circoscritto a un triangolo 482 Mediane e bisettrici di un triangolo 483 M 7. Applicazioni alla geometria analitica. Coordinate polari ed equazione polare della retta 484
6 10 INDICE Relazioni tra coordinate polari e coordinate cartesiane di un punto 485 Equazione polare della retta 486 M INSERTO STORICO: Breve storia della trigonometria 489 M ESERCIZI 491 M Verifica di fine UnitaÁ 518 La trigonometria applicata ad alcuni problemi scientifici 519 M 1. Somma di vettori e scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate 519 Somma di vettori 519 Scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate 520 M 2. Il piano inclinato 521 M 3. Un problema di balistica 523 M 4. Un problema di ottica geometrica: la rifrazione della luce 524 La legge della rifrazione della luce 524 L'angolo limite e la rifrazione totale 525 M 5. Misurazioni altimetriche 526 Torre visibile e accessibile 526 Torre visibile ma non accessibile 526 M 6. Problemi di topografia 527 Distanza tra due punti accessibili ma non visibili l'uno dall'altro 527 Distanza tra due punti visibili l'uno dall'altro ma non entrambi accessibili 528 Distanza tra due punti entrambi inaccessibili 528 M INSERTO STORICO: La trigonometria nelle misure astronomiche 530 M ESERCIZI 532 M Verifica di fine UnitaÁ 557 M Verifica di fine Modulo 558 MODULO 7 Vettori e numeri complessi 559 Calcolo vettoriale e funzioni goniometriche 560 M 1. Vettori e versori 560 M 2. Scomposizione cartesiana di un vettore piano 561 M 3. Definizione di seno e coseno di un angolo mediante le componenti di un versore 561 M 4. Operazioni con vettori in forma cartesiana 562 Prodotto di un numero reale per un vettore 562 Somma e differenza tra due vettori 562 Prodotto scalare di due vettori e di due versori 562 Prodotto vettoriale tra due vettori e sue proprietaá 563 M ESERCIZI 565 M Verifica di fine UnitaÁ 569 Numeri immaginari e numeri complessi 570 M 1. L'unitaÁ immaginaria e i numeri immaginari 570 UnitaÁ immaginaria 570 Numero immaginario 571 Operazioni tra numeri immaginari 571 M 2. I numeri complessi 572 Numero complesso 572 Forma algebrica di un numero complesso 572 Operazioni tra numeri complessi 573 M 3. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi 575 Rappresentazione mediante i punti del piano 575 Rappresentazione mediante vettori 576 M 4. Rappresentazione vettoriale della somma di due numeri complessi 577 M 5. Modulo e argomento di un numero complesso 578 M 6. Operazioni con i numeri complessi espressi in forma trigonometrica 580 Forma trigonometrica di un numero complesso 580 Operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica 580 M 7. Le radici n-esime dell'unitaá 584 Il sistema delle radici n-esime dell'unitaá 584 Inscrizione di un poligono regolare in una circonferenza mediante le radici n-esime dell'unitaá 584 Le proprietaá delle radici n-esime dell'unitaá 585 M 8. Il numero complesso come operatore 586 M 9. Forma esponenziale di un numero complesso 587 M INSERTO STORICO: K.F. Gauss e l'ingresso dei numeri complessi nello scenario della matematica 588 M ESERCIZI 589 M Verifica di fine UnitaÁ 602 M Verifica di fine Modulo 603 M Tavole goniometriche 604 M Risposte ai quesiti delle Verifiche di fine Modulo 607
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