x BP, controllando che risulta :

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1 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE SESSIONE SUPPLETIA Tm di: MATEMATICA. s. 9- PROBLEMA E dt un circonrnz di cntro O dimtro AB. Sul prolungmnto dl dimtro AB dll prt di B si prnd un punto P d sso si conduc un tngnt ll circonrnz.. Dtti T il punto di tngnz Q il punto di intrszion di qust tngnt con l tngnt in A ll circonrnz si clcoli il rpporto: sprsso in unzion di TQ AP BP controldo ch risult : ). (. Prscindndo dll qustion gomtric si studi l unzion () s n trcci il grico γ.. Si clcolino i numri c in modo ch risulti: c ().. Tnndo prsnt l scomposizion () si clcoli l r dll rgion pin itt d γ dl suo sintoto orizzontl dll rtt d quzion =. PROBLEMA In un sistm di ririmnto crtsino Oy si dnoti con Γ il grico dll unzion - ( ) ( ) dov è un prmtro rl positivo d è il numro di Npro.. Si dimostri ch l vrir di l curv Г tglino l ss dll scondo lo stsso ngolo

2 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- α. Si dtrmini l mpizz di α in grdi primi sssgsimli.. Si dimostri ch l tngnt Г nl punto di lsso dscriv l vrir di un scio di rtt prlll. Si dtrmini l quzion di tl scio.. Posto = si studi ( ) si trcci Г.. Si clcoli l r S(k) dll rgion di pino dl primo qudrnt ditt d dll ss dll rtt = k con k >. Cos si può dir di S(k) qundo k? QUESTIONARIO. In cim d un rocci picco sull riv di un ium è stt costruit un torrtt d ossrvzion lt mtri. L mpizz dgli ngoli di dprssion pr un punto situto sull riv oppost dl ium misurt rispttivmnt dll s dll sommità dll torrtt sono pri 8. Si dtrmini l lrghzz dl ium in qul punto.. Considrt l unzion ( ) dov è un costnt rl positiv si dtrmini tl costnt spndo ch ( ).. Su un pino orizzontl α si pongono un cono circolr rtto il cui rggio di s è r l ltzz r un sr di rggio r. A qul distnz dl pino α isogn sgr qusti du solidi con un pino orizzontl ß prché l somm dll r dll szioni così ottnut si mssim?. Si dimostri ch pr gli zri di un unzion ( ) c vl l rlzion ( ) ( ) si di un intrprtzion gomtric dll rmzion dimostrt. ( ). Si clcoli il vlor mdio dll unzion ( ) nll intrvllo.. Si dtrmini il punto dll prol y = più vicino l punto di coordint ( -). 7. Si considri l quzion. Si dimostri ch ss mmtt un soluzion rl tl ch < <. Avvdosi di un qulsisi procdimnto itrtivo si dtrmini mno di /. 8. Nl pino crtsino Oy è dto il crchio C con cntro nll origin rggio r = ; sino

3 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- P( ) Q( ) punti di C. Si clcoli il volum dl solido ottnuto dll rotzion ttorno ll ss dl qudriltro mistilino PORQ ( con R proizion di Q sull ss ). 9. Sino dti un ottdro rgolr di spigolo l l sr in sso inscritt; si sclg cso un punto ll intrno dll ottdro. Si dtrmini l proilità ch tl punto risulti intrno ll sr.. Un urn contin pllin ch possono ssr ross o zzurr. Qunt sono qull zzurr s strndo pllin snz riporr l prim strtt l proilità di strrr lmno un pllin zzurr è 7/8? Durt mssim dll prov: or. È consntito l uso dll clcoltric non progrmmil. Non è consntito lscir l Istituto prim ch sino trscors or dll dtttur dl tm.

4 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA Punto Considrimo l igur di sguito. Bnlmnt si h BP AB AP ; pplicndo il torm di Pitgor l tringolo O si ricv OT OP. Pr il torm dll tngnti un circonrnz TQ pr cui pplicndo il torm di Pitgor l tringolo P si ottin: AP AP AP AP TQ AP QP AP L unzion richist è quindi Punto Studimo l unzion Dominio: ; A B P T Q O

5 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- Intrszion ss sciss: non v n sono in qunto è un quntità smpr positiv; Intrszion ss ordint: non v n sono in qunto non pprtin l dominio; Simmtri: l unzion non è né pri né dispri; Positività: ; Asintoti vrticli: quindi sono du sintoti vrticli Asintoti orizzontli: pr cui y è sintoto orizzontl dstro sinistro; Asintoti oliqui: non v n sono in qunto l unzion è rzionl rtt l prsnz dll sintoto orizzontl sclud l prsnz di qullo oliquo; Crscnz dcrscnz: l drivt prim è pr cui ; l unzion prsnt un mssimo rltivo ll sciss un minimo rltivo ll sciss ; Concvità convssità: l drivt scond è Pr ricvr i lssi st trovr gli zri dll drivt scond quindi risolvr l quzion 8 g ; in prticolr ttrvrso considrzioni st sul comportmnto gli strmi sull crscnz concvità di g dducimo ch g

6 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- mmtt un solo zro pprtnnt ll intrvllo : intti in tl intrvllo è strttmnt dcrscnt d ssum vlor discord gli strmi pr cui norm dl torm dgli zri sist un unico zro in. Tl zro è ricvil ttrvrso uno di mtodi numrici com qullo di Nwton-Rphson ch prmtt di ricvr ricorsivmnt lo zro ttrvrso l ormul g n n n con punto inizil g n. Di sguito il mtodo in orm tllr n n n+ rr= n+ - n Con un rror inrior dducimo ch il lsso è posizionto ll sciss 8. Il grico è di sguito prsntto: Punto Ettundo il minimo comun multiplo si h: c c

7 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9-7 sruttndo il principio di idntità di polinomi ricvimo il sgunt sistm di tr quzioni in tr incognit c c. Punto L sintoto orizzontl intrsc l curv in un punto l cui sciss si ricv risolvndo l quzion d cui ricvimo ; il punto di intrszion è llor. L r richist è pri : 8 8 d d S

8 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA Punto L curv dll migli h quzion y m dov m intrscno l ss dll sciss in. L tngnt in ; l drivt prim è pr cui m d cui dducimo ch l curv Г tglino l ss dll scondo lo stsso ngolo m rctn rctn. Punto L drivt scond dll migli è nnull in inlssionl in in cui l migli di curv prsnt un lsso tngnt oliqu. L tngnt h quzion y m dov m l quzion è y coicint ngolr Punto m. Studimo l unzion Dominio: R; si pr cui ch rpprsnt un scio di rtt prlll di Intrszion ss sciss: Intrszion ss ordint: Simmtri: l unzion non è né pri né dispri Positività: Asintoti vrticli: non v n sono in qunto il dominio è R; Asintoti orizzontli: ; 8

9 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- D LHospitl F.I quindi y è sintoto orizzontl dstro; Asintoti oliqui: non sistono in qunto ; Crscnz dcrscnz: l drivt prim è cioè l unzion è strttmnt crscnt in dcrscnt in ; il punto M è di mssimo rltivo; pr cui Concvità convssità: l drivt scond è pr cui l unzion prsnt concvità vrso l lto in strttmnt pr cui vrso il sso in ; l unzion prsnt quindi un lsso tngnt oliqu F tngnt inlssionl di quzion Di sguito il grico: y. con Punto 9

10 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- L r richist è pri Sk d S k k d k. Applicndo l intgrzion pr prti si h: k k k k k k d k In prticolr Sk k k k k k k k k. Pr il it k k ssndo un orm k indtrmint possimo pplicr il torm di D L Hospitl si h: k k k k k k pr cui Sk k k k k k.

11 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- QUESTIONARIO Qusito Considrimo l igur lto. Doimo clcolr l lunghzz dl sgmnto PO. Applicndo il torm di tringoli rttngoli i tringoli POT OH si h l rlzion PO tn PO 9m PO tn8 d cui Qusito Il it richisto si prsnt nll orm indtrmint pr cui possimo pplicr il torm di d l Hospitl: Qusito si h Imponndo 7 Si considri l igur A sgunt: 7. O K L D E B H C F Indichimo con r l distnz tr pini.

12 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- L intrszioni dl pino con il cono l sr sono du circonrnz rispttivmnt di rggio R C KL R S DE. L somm dll r dll szioni è quindi or i du rggi: Rggio RC S R C R S. Clcoo I tringolo AKL AHC sono simili ssndo ntrmi rttngoli con un ngolo in comun pr cui vl l sgunt proporzion tr lti omologhi: AK : KL AH : HC d cui AK HC r r KL r pr cui l r dll circonrnz di rggio AH r KL r è Rggio RS A C RC r ; Il tringolo ODE è rttngolo pr cui pr cui l r dll circonrnz di rggio R S DE OE OD r r r R S DE r è AS RS r. r r r r L somm dll r è quindi. Notimo ch l unzion S r il mssimo nll sciss dl vrtic mssim pr r vl S S r con è un prol con concvità vrso il sso ch prsnt r r ; quindi l somm dll du r è 9 r r r r r Altrntivmnt possimo prosguir mdint drivzion: l drivt prim dll unzion è S r pr cui S r d cui dducimo ch S crscnt in r Qusito r strttmnt dcrscnt in r r è l sciss dl mssimo.. ; inoltr S S è strttmnt pr cui Gli zri dll quzion c sono c c ; l

13 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- drivt prim di c è pr cui c c c c d cui dducimo ch. Pr dr un intrprtzion gomtric l risultto ottnuto riscrivimo l somm : ss è pri imponndo ch si null ottnimo o quivtmnt. L rlzion ppn ricvt ci dic ch l smisomm dll soluzioni è pri ch è l sciss dl vrtic; in ltri trmini gli zri dll prol sono simmtrici risptto ll rtt coincidnt con l ss di simmtri dll prol. Qusito Il vlor mdio di un unzion in è d M. Nl cso in sm d M ; pplicndo l intgrzion pr prti si h d d d M Qusito Il gnrico punto P dll prol di quzion y h coordint P ; l mssimizzzion dll distnz di P d Q(-) è quivt ll mssimizzzion dl qudrto dll distnz stss; in prticolr PQ. L mssimizzzion l ttuimo mdint drivzion; l drivt prim è

14 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- d cui notimo ch pr cui ss è divisiil pr scomporr l drivt prim com. In prticolr possimo ; poiché R h cioè l unzion è strttmnt crscnt in si strttmnt dcrscnt in in prticolr ssum vlor minimo in. In conclusion il punto distnz minim d Q(-) è P() l distnz minim vl PQ. Qusito 7 L cuic h com drivt prim dducimo ch ss è strttmnt crscnt in tutto il dominio R; inoltr prticolr ssndo d cui poiché dducimo ch sist un unico zro in tutto il dominio. In dducimo ch l unico zro pprtin ll intrvllo (). Esso è clcolil mdint uno di qulsisi mtodi numrici com qullo dll tngnti o di Nwton-Rphson ch prmtt di ricvr ricorsivmnt lo zro ttrvrso l ormul n n n con punto inizil n n n n+ rr= n+ - n Di sguito il mtodo in orm tllr Con un rror inrior dducimo ch lo zro è. Qusito 8 Si considri l igur sgunt. Il volum richisto lo si clcol pr dirnz tr il volum dl solido gnrto dll rotzion dl qurto di circonrnz POS P Q cui v sottrtto il volum dl solido gnrto dll rotzion dll rco circolr QS. Il volum dl solido gnrto dll O R S rotzion dl qurto di circonrnz è pri 9 d 9 8 mntr il volum dl solido gnrto dll rotzion dll rco circolr QS di quzion y 9 in [] è pri

15 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s d 9 ; di consgunz il volum richisto è pri 8 PORQ 8. Altrntivmnt vrmmo potuto clcolr il volum dirttmnt com 9 d 9 PORQ. Qusito 9 Considrimo l ottdro lto. Il rggio dll sr inscritt corrispond ll ltzz dl tringolo rttngolo COH rltiv ll s CH. L ltzz CH è pri CH l mntr OH l pr cui CO l ; l r dl tringolo COH è S OH CO l 8 d cui dducimo ch il rggio dll sr inscritt è S r CH l l l. Il volum dll sr inscritt è S r l mntr qullo dll ottdro è pri l doppio dl 7 volum di un dll du pirmidi componnti. Il volum di qust ultim è P A h A CO l pr cui il volum dll ottdro è O l. L proilità ch il punto pprtng ll sr è dto dl rpporto tr i volumi dll sr dll ottdro cioè p S O l 7 l %. 9 Qusito Indichimo con il numro di pllin ross; di consgunz il numro di pllin zzurr è. Estrtt du pllin snz rimmission dll prim l proilità di ottnr lmno un pllin zzurr è pri l complmnto dll proilità di ottnr du pllin ross cioè

16 Corso sprimntl - Sssion suppltiv -.s. 9- Pr lmno pllin zzurr Pr pllin ross 8. Imponndo Prlmno pllin zzurr si h Scrtndo l soluzion ngtiv il numro di pllin ross dv ssr di consgunz il numro di qull zzurr 9 pr ssicurr ch l proilità di ottnr lmno un pllin zzurr 7 strndon snz rimmission dll prim si. 8