ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2017/2018

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1 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA DIPATIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2017/2018 Esercizi 3 Piani di ammortamento Esercizio 1. Un prestito di 12000e viene rimborsato in 10 anni con rate mensili e piano all italiana al tasso annuo i = 4%. Dopo 5 anni, il tasso viene rivisto e portato a i 1 = 6%. Calcolate la differenza tra l ultima rata del piano rispettivamente con e senza cambiamento di tasso. Soluzione. La generica rata k, ad una determinata epoca intermedia k compresa tra 1 e n, in un piano all italiana, è data dalla formula k = C (1+i (n k +1)), ove C è la quota capitale costante, data da C = D 0 /n, mentre i è il tasso annuo. Poiché noi dobbiamo calcolare l ultima rata, ossia per k = n = 120 (12 rate mensili per 10 anni fa 120 rate in tutto), e il tasso in gioco è quello mensile i m, si ha che 120 = C (1+i m ), quindi la differenza cercata è 120 (i 1,m ) 120 (i m ) = D 0 n (i 1,m i m ) = D ) 0 ((1+i n 1 ) (1+i) 12, (1) ove nell ultimo passaggio abbiamo trasformato il tasso mensile in annuo, evitando troppe approssimazioni, con la solita formula i 1,m = (1+i 1 ) e im = (1+i) Inserendo i dati numerici nella (1), si ha che 120 (i 1,m ) 120 (i m ) 0,1594 0,16. Esercizio 2. Non potendo pagare l ultima rata n, pari a 1000e, di un mutuo a tasso i = 10%, ottenete di chiudere il prestito pagando tre rate costanti pari a alle epoche t = n+1, t = n+2 e t = n+3 sempre con lo stesso tasso. A quanto ammonta? 1

2 2 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA Soluzione. L equazione da impostare è la seguente: Siccome si trova che da cui D n 1 = n (1+i) = (1+i) 2 + (1+i) 3 + D n 1 = n (1+i), (1+i) 2 + (1+i) 3 + (1+i) 4. (1+i) 4, n = 1+i + (1+i) 2 + (1+i) 3 = a 3 i, ossia, poiché il tasso rimane lo stesso, l ultima rata è uguale al valore attuale riferito all epoca t = n di ciascuna delle tre nuove rate pari a. Dunque abbiamo = n i = n 402,11e. a 3 i 1 (1+i) 3 Esercizio 3. Un prestito di 70000e viene rimborsato in 25 anni con rate mensili costanti al tasso annuo i = 5,2%. Dopo 10 anni, il tasso annuo viene rivisto e portato a i 1 = 6,2%. Se è la rata costante dei primi 10 anni e è quella costante degli ultimi 15 anni, determinare. Soluzione. La prospettiva da cui partire, come se fosse per il momento l epoca iniziale, è all epoca t = 10. Da tale epoca, per 15 anni, ossia per 180 rate mensili, si ha un normale ammortamento alla francese di rata costante, che è data dalla solita formula i 1,m = D (1+i 1,m ) 180, ove D 120 è il debito residuo dopo 10 anni, ossia dopo 120 rate mensili pagate al vecchiotassoannuoi,mentrei 1,m èilnuovotassosubasemensile.convienetrasformare il tasso mensile in annuo, evitando troppe approssimazioni, ossia pertanto i 1,m = (1+i 1 ) , (1) (1+i 1 ) (1+i 1 ) 1 = D 120 ( ) 1 (1+i 1 ) = D (1+i 12 1 ) (2)

3 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA 3 Ora, il problema è trovare il debito residuo D 120 : qui conviene usare la formula compatta che dice che il debito residuo ad una generica epoca intermedia k, nell ammortamento alla francese di complessive epoche n, ad un arbitrario tasso annuo x, è data da D k = D 0 1 (1+x) n+k 1 (1+x) n. Se applicate tale formula al vostro caso, in cui n = 300 e k = 120 e il tasso è mensile e non annuo, risulta D 120 = D 0 1 (1+i m) (1+i m ) 300 = D 0 ( 1 1 (1+i) 1 12 ( (1+i) 1 12 ) 180 ) 300 = D 0 1 (1+i 1) 15 1 (1+i 1 ) 25, ove nel penultimo passaggio abbiamo usato come al solito la(1). Inserendo quest ultimo risultato nella (2), tenendo conto che D 0 = 70000e, si trova che = D 0 1 (1+i 1) 15 1 (1+i 1 ) 25 (1+i 1 ) ,71e. 1 (1+i 1 ) 15 Esercizio 4. edigere un piano di ammortamento all italiana in 4 anni, sapendo che i dati sono le 4 quote in conto capitale, costanti e pari a C, ed il tasso annuo pari a i. Supposto poi di dover allungare la durata del piano da 4 a 5 anni, dimezzando l originaria ultima quota in conto capitale in due parti, una per il quarto e l altra per il quinto anno, riscrivere gli ultimi due anni del nuovo piano. Soluzione. Primo Caso. Poiché il piano è all italiana, la quota capitale è costante, allora abbiamo che D 0 = 4C. Impostiamo il piano relativo al primo anno. Abbiamo che I 1 = D 0 i = 4Ci; 1 = I 1 +C = 4Ci+C = C (1+4i); D 1 = D 0 C = 4C C = 3C. Procedendo in modo analogo per le epoche 2,3,4, abbiamo il seguente piano di ammortamento:

4 4 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA k C k I k k D k C 1 C 4Ci C (1+4i) 3C 2 C 3Ci C (1+3i) 2C 3 C 2Ci C (1+2i) C 4 C Ci C (1+i) 0 Secondo Caso. Dobbiamo scrivere gli ultimi due anni del nuovo piano, sapendo che C 1 = C 2 = C 3 = C e C 4 = C 5 = C 2, dunque il piano di ammortamento è il seguente: k C k I k k D k C 1 C 4Ci C (1+4i) 3C 2 C 3Ci C (1+3i) 2C 3 C 2Ci C (1+2i) C 4 C/2 Ci C (i+(1/2)) C/2 5 C/2 (C/2)i (C/2) (1+i) 0 Esercizio 5. (Difficile) In un piano di ammortamento alla francese su prestito iniziale di e, a rate mensili, durata pari a 10 anni e tasso annuo i = 4%, dopo due anni il tasso passa a i 1 = 5%. Supposto che voi non riusciate a pagare piú di 1020 e mensili, di quanto (eventualmente) si allunga il vostro piano? Soluzione. La rata del nostro piano alla francese, con la variazione del tasso da mensile ad annuo, data dalla solita formula di conversione i m = 12 1+i 1, è pari a 12 1+i 1 = D 0 1 (1+i) 10, ove D 0 = L esercizio non richiede espressamente di calcolare, in ogni caso, se lo faceste, risulterebbe = 1009,06e. Dopo k = 2 anni, cambia il tasso e passa a i 1 = 5%, quindi la nuova rata, usando la precedente formula con i 1 al posto di i, il debito residuo D k (con k = 2) al posto di D 0 e con durata che ora dovrebbe essere quella residua, ossia 8 anni, risulterebbe pari a (1) = D i (1+i 1 ) 8,

5 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA 5 ove D 2 si puó determinare attraverso la seguente formula generale, valida in un arbitario piano alla francese: Nel nostro caso D k = D 0 1 (1+i) n+k 1 (1+i) n. D 2 = D 0 1 (1+i) 8 1 (1+i) 10. Se inseriamo tale formula in eq. (??), troviamo (2) = D 0 1 (1+i) i (1+i) 10 1 (1+i 1 ) 8. Se ora inserite i dati, troverete = 1046,50e, quindi sopra il vostro tetto mensile max = 1020e. Conseguentemente, essendo ora evidente che, potendovi permettere di pagare al massimo max ogni mese, la durata residua si debba allungare, dovete riscrivete la formula data in eq. (??), con max al posto di e x al posto di 8, perché ora la vostra vera incognita è la nuova durata del piano. Pertanto la nuova formula diviene max = D 0 1 (1+i) (1+i) 10 1+i (1+i 1 ) x, da cui, con qualche passaggio algebrico, si arriva a ( log 1 D 0 max 1 (1+i) 8 ( 12 ) 1+i 1 (1+i) x = ) log(1+i 1 ) = 8,2558, ossialaduratasuperaoragli8annidicirca0,25anni,ilchesignifica(approssimando per leggero difetto) 3 mesi. Esercizio 6. (Difficile) A due anni dall estinzione di un prestito a rata costante a tasso i = 5,5%, siete di fronte a due possibili scelte. La prima consiste nel chiudere anticipatamente il prestito, con una penale α > 0 da definirsi, proporzionale al debito residuo. Supponendo peró di non possedere la cifra necessaria per la chiusura anticipata, ve la fate prestare da un altra istituzione finanziaria, presso la quale vi impegnate in un ammortamento in 2 anni a rata costante, detta α, sempre a tasso i. La seconda, invece, consiste nel continuare il piano originario, ma sapendo questa volta che il tasso subirá un innalzamento, passando da i = 5,5% a i 1 = 6%, il che ovviamente produrrá una rata 1 piú gravosa negli ultimi 2 anni. La domanda è: per quali α è piú conveniente uscire anticipatamente piuttosto che continuare?

6 6 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA Soluzione. Se si esce anticipatamente, si deve pagare il debito residuo D n 2 piú la penale pari a α D n 2, ossia in tutto D n 2 (1+α). Ci facciamo prestare tale somma da un altra banca, presso la quale ci si impegna in un piano alla francese a tasso i in 2 anni, quindi, usando la solita formula generale dell ammortamento alla francese, si ha che (3) D n 2 (1+α) = α a 2 i, ove ricordiamo che, in generale, si ha a n i = 1 (1+i) n. i Se, invece, optiamo per la seconda scelta, riapplichiamo la formula precedente sostituendo D n 2 (1+α) con D n 2, perché non vi é penale, ma anche i con i 1, a causa dell aggravio di tasso, ottenendo quindi (4) D n 2 = 1 a 2 i1. Se ora si sostituisce D n 2 ricavato dalla (??) nella (??), si trova che 1 (1+α) a 2 i1 = α a 2 i, da cui, con un semplice passaggio algebrico, si ha che (5) α 1 = (1+α) a2 i 1 a 2 i. Poiché la maggiore convenienza nell uscire anticipatamente piuttosto che continuare é ovviamente equivalente a dire che α < 1 o, che é lo stesso, che α 1 < 1, allora, inserendo questa condizione nella (??), si trova facilmente che ossia α < 1 (1+i) 2 i dunque α < 0,7051%. α < a 2 i a 2 i1 1, i 1 1 (1,055) 2 0,06 1 (1+i 1 ) 2 1 = 0,055 1 (1,06) 2 1 0,007051

7 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA 7 Piani di ammortamento ad interessi anticipati Esercizio 7. Un bene del valore di 4329, 4766e è venduto a rate. L acquirente effettua 5 pagamenti rateali annuali con piano alla francese. Sapendo che il tasso annuo è i = 5%, scrivere il piano di ammortamento. edigere poi un piano di ammortamento a interessi anticipati, con stesso tasso e numero di anni del precedente, con i vincoli che il finanziamento netto complessivo e le rate siano uguali al piano precedente. Infine, redigere anche un piano di ammortamento alla tedesca. NOTA BENE: la rata del piano alla francese deve venire un numero esatto, mentre tutte le altre voci dello stesso piano vanno approssimate alla seconda cifra decimale. Soluzione. Nel piano alla francese la rata è pari a: = D 0 i 1000e. 1 (1+i) 5 Abbiamo dunque il seguente piano di ammortamento: t C k I k k D k , ,53 216, , ,70 177, , ,84 136, , ,03 92, , ,38 47, Dobbiamo redigere un piano di ammortamento a interessi anticipati, sempre al tasso del 5%, alle seguenti condizioni: - il finanziamento netto complessivo iniziale è lo stesso del precedente piano, ossia 4329, 4766e; - le rate complessive sono le stesse del precedente piano; dunque valgono le seguenti formule: I k = I k+1 per k = 0,...,4; I 5 = 0; D k = D k (1+i) per k = 0,...,5, dove I k e D k indicano rispettivamente la quota in conto di interesse e il debito residuo del nuovo piano. Il piano di ammortamento è dunque il seguente:

8 8 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA k C k I k k D k ,47 216, , ,70 177, , ,84 136, , ,03 92, , ,38 47, Infine, nell ultimo tipo di piano da stilare, ossia quello alla tedesca, avendo a disposizione il corrispondente piano alla francese, sappiamo che la rata tedesca, denominata (T), é data da (T) = ,05 = 952,38, e i debiti residui e le quote capitale sono identiche a quelle del corrispondente piano alla francese, mentre le quote interessi si possono ricavare per differenza tra la rata e le quote capitale. Il piano di ammortamento alla tedesca è dunque il seguente: t C k I k k D k ,16 206, , ,53 168,85 952, , ,70 129,68 952, , ,84 88,54 952, , ,03 45,35 952,38 952, , ,38 0 Esercizio 8. Un debito di 20000e viene estinto in 5 anni con un piano di ammortamento a interessi anticipati. Sapendo che: a) C 1 = 4000e; C 2 = 6000e; C 3 = 2000e; C 4 = 5000e; C 5 = 3000e; i b) il tasso annuo i è tale che: 1+i = 8%; redigere il piano di ammortamento. Soluzione. Poiché il piano è a interessi anticipati, vale la seguente formula: I k = i 1+i D k per k = 0,...,n. Osserviamo che in tale piano il debitore effettua un pagamento virtuale pari a I 0 = i 1+i D 0 = 1600e,

9 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA 9 quindi riceve in prestito D 0 I 0 = 18400e, anziché D 0 = 20000e.

10 10 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA Il piano di ammortamento è il seguente: k C k I k k D k Esercizio 9. Un bene di 6000e viene venduto a rate. La rateazione è all italiana, a tasso annuo i = 5% su 5 anni. edigere poi un piano di ammortamento a interessi anticipati, con stesso tasso e numero di anni del precedente, con i vincoli che il finanziamento netto complessivo e le rate complessive siano uguali al piano precedente. Soluzione. Nel piano all italiana la quota capitale è pari a: C = D 0 5 = 1200e. Abbiamo il seguente piano di ammortamento: k C k I k k D k Dobbiamo ora redigere un piano di ammortamento a interessi anticipati, sempre al tasso del 5%, alle seguenti condizioni: - il finanziamento netto complessivo iniziale è lo stesso del precedente piano, ossia 6000e; - le rate complessive sono le stesse del precedente piano; dunque valgono le seguenti formule: I k = I k+1 per k = 0,...,4; I 5 = 0; D k = D k (1+i) per k = 0,...,5, dove I k e D k indicano rispettivamente la quota in conto di interesse e il debito residuo del nuovo piano. Il piano di ammortamento è dunque il seguente:

11 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA 11 k C k I k k D k Esercizio finale Esercizio 10. Un finanziamento di 1000e viene restituito in 4 anni a tassi i = 12% per i primi due anni e i 1 = 10% negli ultimi due anni. Sapendo che la prima e la terza rata sono uguali, mentre la seconda è pari a 320e e l ultima a 394,064e, determinare la rata del primo e terzo anno. Soluzione. Per risolvere questo problema, è sufficiente impostare la condizione di chiusura finanziaria, dove peró bisogna fare attenzione al fatto che il tasso non è costante, quindi essa diviene 1 (1+i) + 2 (1+i) (1+i) 2 (1+i 1 ) + 4 (1+i) 2 (1+i 1 ) 2 = 1000, ove 1 = 3 = è l incognita, mentre 2 = 320 e 4 = 394,064. Se si isola l incognita, si arriva alla soluzione = (1000 (1+i)2 (1+i 1 ) 2 394, (1+i 1 ) 2 ) (1+i 1 ) (1+(1+i)(1+i 1 )) = 300.